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TextaufgabenDie Sinusfunktion zeichnen

Fünf Sachaufgaben, in denen du das Gerüst einer Sinuskurve selbst aufbaust: Mittellinie, Startpunkt, Periode, Hoch- und Tiefpunkte — von der Schaukel bis zur Tonkurve am Synthesizer.

1

Schaukel auf dem Spielplatz

AFB I

Auf einem Spielplatz schwingt eine Schaukel gleichmäßig hin und her. Für die Auslenkung aus der Ruhelage — nach vorn positiv, nach hinten negativ — gilt $$y(t)=1{,}2\cdot\sin(2t)\qquad\text{mit}\quad [y]=\mathrm{m}.$$ Dabei ist \(t\) die Zeit in Sekunden seit dem Anstoßen, alle Winkel werden im Bogenmaß gerechnet. Die Reibung wird vernachlässigt.

  1. Gib an die Werte der vier Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) sowie die Gleichung der Mittellinie.
  2. Berechne die Dauer einer vollen Schwingung und den Abstand zweier benachbarter Nullstellen.
  3. Zeichne das Schaubild von \(y\) im Intervall \(0\le t\le 2\pi\), indem du die vier Schritte der Anleitung der Reihe nach abarbeitest.
Hinweis zu Aufgabe a)
Vergleiche den Term mit der allgemeinen Form \(f(x)=a\cdot\sin\big(b\cdot(x+c)\big)+d\). Steht in der Klammer kein Summand oder hinter dem Sinus keine Zahl, so ist der zugehörige Parameter null.„Gib an“ verlangt nur die Angabe ohne Herleitung — dafür aber vollständig.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der Vergleich mit \(f(x)=a\cdot\sin\big(b\cdot(x+c)\big)+d\) liefert \(a=1{,}2\), \(b=2\), \(c=0\) und \(d=0\).

Wegen \(d=0\) ist die Mittellinie die Gerade \(y=0\), also die \(t\)-Achse selbst; sie beschreibt die Ruhelage der Schaukel. Wegen \(c=0\) bleibt der Startpunkt im Ursprung \((0|0)\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Für die Periode gilt \(p=\frac{2\pi}{|b|}\). Zwei benachbarte Nullstellen liegen genau eine halbe Periode auseinander.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit dazu.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(p=\frac{2\pi}{|b|}=\frac{2\pi}{2}=\pi\approx 3{,}14\). Eine volle Schwingung dauert also rund \(3{,}14\) Sekunden.

Der Abstand zweier benachbarter Nullstellen ist die halbe Periode: \(\frac{p}{2}=\frac{\pi}{2}\approx 1{,}57\), also rund \(1{,}57\) Sekunden. Nach dieser Zeit ist die Schaukel wieder in der Ruhelage, allerdings in der Gegenrichtung unterwegs.

Hinweis zu Aufgabe c)
Trage zuerst die Nullstellen im Abstand \(\frac{\pi}{2}\) ein, also bei \(0\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\), \(\frac{3\pi}{2}\) und \(2\pi\). Die Extrempunkte liegen genau dazwischen.„Zeichne“ verlangt eine hinreichend exakte Darstellung: Achsen beschriften, Maßstab wählen, Punkte eintragen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Schritt 1: \(d=0\) — die \(t\)-Achse ist die Mittellinie, eine zusätzliche gestrichelte Linie ist nicht nötig. Schritt 2: \(c=0\) — der Startpunkt bleibt bei \((0|0)\).

Schritt 3: Periode \(\pi\); die Nullstellen liegen bei \(t=0\), \(\frac{\pi}{2}\approx 1{,}57\), \(\pi\approx 3{,}14\), \(\frac{3\pi}{2}\approx 4{,}71\) und \(2\pi\approx 6{,}28\). Schritt 4: Wegen \(a=1{,}2>0\) verläuft die erste Phase oberhalb der Achse. Hochpunkte bei \(t=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}79\) und \(t=\frac{5\pi}{4}\approx 3{,}93\) mit \(y=1{,}2\ \mathrm{m}\); Tiefpunkte bei \(t=\frac{3\pi}{4}\approx 2{,}36\) und \(t=\frac{7\pi}{4}\approx 5{,}50\) mit \(y=-1{,}2\ \mathrm{m}\).

Durch dieses Gerüst zeichnest du zwei vollständige Schwingungen: In gut sechs Sekunden erreicht die Schaukel zweimal den vordersten und zweimal den hintersten Punkt.

2

Kolbenpumpe im Wasserwerk

AFB II

In einem Wasserwerk hebt und senkt eine Kolbenpumpe ihren Kolben gleichmäßig. Für die Höhe der Kolbenoberkante über dem Zylinderboden gilt $$h(t)=6\cdot\sin\big(\pi\cdot(t-0{,}5)\big)+20\qquad\text{mit}\quad [h]=\mathrm{cm}.$$ Dabei ist \(t\) die Zeit in Sekunden seit dem Einschalten der Pumpe.

  1. Bestimme die Gleichung der Mittellinie und den Startpunkt, mit denen die Zeichnung beginnt.
  2. Berechne die Periode der Kolbenbewegung und daraus die Anzahl der vollständigen Hübe pro Minute.
  3. Ermittle die Koordinaten aller Hoch- und Tiefpunkte im Zeitintervall von \(0\) bis \(4\) Sekunden.
  4. Zeichne das Schaubild von \(h\) für \(0\le t\le 4\) und beschrifte beide Achsen mit ihren Einheiten.
Hinweis zu Aufgabe a)
Das sind die Schritte 1 und 2 der Anleitung. Achte auf das Vorzeichen in der Klammer: \(t-0{,}5\) bedeutet \(c=-0{,}5\).„Bestimme“ verlangt einen dargestellten Lösungsweg und ein formuliertes Ergebnis.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Schritt 1: Aus \(d=20\) folgt die Mittellinie \(y=20\), also eine gestrichelte Waagerechte in \(20\ \mathrm{cm}\) Höhe. Sie beschreibt die mittlere Kolbenhöhe.

Schritt 2: Wegen \(t-0{,}5\) ist \(c=-0{,}5<0\); der Startpunkt wird also um \(0{,}5\) nach rechts verschoben und liegt bei \((0{,}5|20)\). Dort schneidet der Graph die Mittellinie steigend.

Hinweis zu Aufgabe b)
Nutze \(p=\frac{2\pi}{|b|}\) mit \(b=\pi\). Teile anschließend \(60\ \mathrm{s}\) durch die Dauer eines Hubs.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit dazu.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(p=\frac{2\pi}{|\pi|}=2\). Ein vollständiger Hub dauert also 2 Sekunden.

In einer Minute sind das \(\frac{60}{2}=30\), also 30 Hübe pro Minute. Zwei benachbarte Schnittpunkte mit der Mittellinie liegen eine halbe Periode, also \(1\ \mathrm{s}\), auseinander.

Hinweis zu Aufgabe c)
Die Extrempunkte liegen jeweils in der Mitte zwischen zwei Nullstellen, im Abstand \(|a|\) zur Mittellinie. Gehe vom Startpunkt \(t=0{,}5\) in Schritten von \(0{,}5\ \mathrm{s}\) weiter.„Ermittle“ verlangt einen nachvollziehbaren Weg zum Ergebnis, hier über das Nullstellenraster.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Schnittpunkte mit der Mittellinie bei \(t=0{,}5\), \(t=1{,}5\), \(t=2{,}5\) und \(t=3{,}5\); genau dazwischen liegen die Extrempunkte. Wegen \(a=6>0\) folgt auf den Startpunkt zuerst ein Hochpunkt.

Hochpunkte: \((1|26)\) und \((3|26)\). Tiefpunkte: \((0|14)\), \((2|14)\) und \((4|14)\). Kontrolle: \(h(1)=6\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+20=26\) und \(h(0)=6\cdot\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+20=14\).

Der Kolben bewegt sich also zwischen \(14\ \mathrm{cm}\) und \(26\ \mathrm{cm}\); der gesamte Hubweg beträgt \(26-14=12\ \mathrm{cm}\), das ist \(2\cdot|a|\).

Hinweis zu Aufgabe d)
Wähle für die Höhenachse einen Ausschnitt von etwa \(12\ \mathrm{cm}\) bis \(28\ \mathrm{cm}\), damit die Welle gut sichtbar wird. Mittellinie, Nullstellen und Extrempunkte hast du bereits bestimmt.„Zeichne“ verlangt eine hinreichend exakte grafische Darstellung mit beschrifteten Achsen und eingetragenen Punkten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Gerüst: gestrichelte Mittellinie bei \(y=20\), Startpunkt \((0{,}5|20)\), Schnittpunkte mit der Mittellinie im Abstand \(1\ \mathrm{s}\), Hochpunkte bei \(y=26\), Tiefpunkte bei \(y=14\).

Der Graph beginnt bei \(t=0\) im Tiefpunkt \((0|14)\), steigt bis \((1|26)\), fällt bis \((2|14)\) und wiederholt das bis \(t=4\). In vier Sekunden sind genau zwei vollständige Hübe zu sehen — passend zur Periode von \(2\ \mathrm{s}\).

3

Tageslänge über das Jahr

AFB II

Für einen Ort in Süddeutschland beschreibt ein idealisiertes Modell die Länge des lichten Tages durch $$L(t)=4\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot(t-3)\right)+12\qquad\text{mit}\quad [L]=\mathrm{h}.$$ Dabei zählt \(t\) die Monate seit dem 1. Januar, also \(t=0\) für den 1. Januar und \(t=6\) für den 1. Juli.

  1. Bestimme die Mittellinie, den Startpunkt und die Periode des Schaubilds.
  2. Berechne die Tageslänge am 1. Januar und am 1. Juli.
  3. Zeichne das Schaubild von \(L\) für \(0\le t\le 12\).
  4. Ermittle mithilfe deiner Zeichnung die beiden Zeitpunkte, zu denen der lichte Tag \(14\) Stunden dauert, und bestätige sie durch eine Rechnung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Lies \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) aus dem Term ab. Für die Periode gilt \(p=\frac{2\pi}{|b|}\) — kürze dabei \(\pi\) heraus.„Bestimme“ heißt: Lösungsweg darstellen und das Ergebnis formulieren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Aus dem Term liest du \(a=4\), \(b=\frac{\pi}{6}\), \(c=-3\) und \(d=12\) ab.

Mittellinie: \(y=12\) — im Mittel dauert der lichte Tag \(12\) Stunden. Startpunkt: wegen \(c=-3<0\) um \(3\) nach rechts verschoben, also \((3|12)\); Anfang April schneidet der Graph die Mittellinie steigend. Periode: \(p=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{6}}=2\pi\cdot\frac{6}{\pi}=12\), also 12 Monate — das Modell wiederholt sich jedes Jahr.

Hinweis zu Aufgabe b)
Setze \(t=0\) bzw. \(t=6\) ein und vereinfache zuerst das Argument des Sinus. Der Taschenrechner muss im Bogenmaß rechnen.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit dazu.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(L(0)=4\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot(-3)\right)+12=4\cdot\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+12=4\cdot(-1)+12=8\), also 8 Stunden am 1. Januar.

\(L(6)=4\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot 3\right)+12=4\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+12=4+12=16\), also 16 Stunden am 1. Juli. Die beiden Werte sind zugleich der Tiefpunkt und der Hochpunkt des Modells.

Hinweis zu Aufgabe c)
Trage zuerst die Mittellinie \(y=12\) und den Startpunkt bei \(t=3\) ein. Die weiteren Schnittpunkte mit der Mittellinie folgen im Abstand einer halben Periode, also alle \(6\) Monate.„Zeichne“ verlangt eine hinreichend exakte Darstellung: Achsen beschriften, Maßstab wählen, Punkte eintragen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Schritt 1: gestrichelte Mittellinie bei \(y=12\). Schritt 2: Startpunkt \((3|12)\). Schritt 3: Periode \(12\), also Schnittpunkte mit der Mittellinie bei \(t=3\) und \(t=9\). Schritt 4: Wegen \(a=4>0\) folgt auf den Startpunkt zuerst ein Hochpunkt \((6|16)\); die Tiefpunkte liegen bei \((0|8)\) und \((12|8)\).

Die Kurve steigt vom 1. Januar bis zum 1. Juli von \(8\) auf \(16\) Stunden und fällt bis zum Jahresende wieder auf \(8\) Stunden.

Hinweis zu Aufgabe d)
Zeichne die Waagerechte \(y=14\) ein und lies die Schnittstellen ab. Für die Rechnung löst du \(\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)=0{,}5\) — der Sinus hat den Wert \(0{,}5\) bei \(\frac{\pi}{6}\) und bei \(\frac{5\pi}{6}\).„Ermittle“ verlangt, dass der Weg zum Ergebnis erkennbar ist — hier Ablesen und Nachrechnen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Ablesen: Die Waagerechte \(y=14\) schneidet die Kurve bei \(t=4\) und \(t=8\).

Rechnung: Aus \(4\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)+12=14\) folgt \(\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)=0{,}5\). Mit \(\frac{\pi}{6}(t-3)=\frac{\pi}{6}\) ergibt sich \(t-3=1\), also \(t=4\); mit \(\frac{\pi}{6}(t-3)=\frac{5\pi}{6}\) ergibt sich \(t-3=5\), also \(t=8\).

Der lichte Tag dauert im Modell demnach am 1. Mai und am 1. September jeweils \(14\) Stunden. Beide Termine liegen symmetrisch zum längsten Tag am 1. Juli — genau das zeigt auch die Zeichnung.

4

Körpertemperatur im Tagesverlauf

AFB II

Die Körperkerntemperatur eines gesunden Menschen schwankt im Lauf eines Tages regelmäßig. Für eine Versuchsperson beschreibt ein Modell diese Temperatur durch $$T(t)=0{,}4\cdot\sin\left(\frac{\pi}{12}\cdot(t-9)\right)+36{,}8\qquad\text{mit}\quad [T]={}^{\circ}\mathrm{C}.$$ Dabei zählt \(t\) die Stunden seit Mitternacht, also \(t=0\) für 0 Uhr und \(t=15\) für 15 Uhr.

  1. Bestimme die Amplitude, die Periode und die Mittellinie dieses Modells.
  2. Ermittle die Uhrzeiten des Maximums und des Minimums sowie die zugehörigen Temperaturen.
  3. Zeichne das Schaubild von \(T\) für \(0\le t\le 24\) und wähle für die Temperaturachse den Ausschnitt von \(36{,}0\) bis \(37{,}5\ {}^{\circ}\mathrm{C}\).
  4. Erkläre warum die Temperaturachse hier sinnvollerweise erst bei \(36{,}0\ {}^{\circ}\mathrm{C}\) beginnt, und welche Gefahr dieser Ausschnitt für die Deutung des Schaubilds birgt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Amplitude ist \(|a|\), die Mittellinie liegt bei \(y=d\), und für die Periode gilt \(p=\frac{2\pi}{|b|}\).„Bestimme“ heißt: Lösungsweg darstellen und das Ergebnis formulieren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Aus dem Term liest du \(a=0{,}4\), \(b=\frac{\pi}{12}\), \(c=-9\) und \(d=36{,}8\) ab.

Amplitude: \(|a|=0{,}4\ {}^{\circ}\mathrm{C}\) — so weit weicht die Temperatur nach oben und nach unten ab; die gesamte Schwankungsbreite beträgt \(2\cdot 0{,}4=0{,}8\ {}^{\circ}\mathrm{C}\). Periode: \(p=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{12}}=24\), also 24 Stunden — der Rhythmus wiederholt sich täglich. Mittellinie: \(y=36{,}8\ {}^{\circ}\mathrm{C}\), die mittlere Körpertemperatur.

Hinweis zu Aufgabe b)
Der Startpunkt liegt wegen \(c=-9\) bei \(t=9\). Von dort aus folgt der erste Hochpunkt eine Viertelperiode später; der Tiefpunkt liegt eine Viertelperiode davor.„Ermittle“ verlangt einen nachvollziehbaren Weg zum Ergebnis.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Startpunkt: \((9|36{,}8)\), die Viertelperiode beträgt \(\frac{24}{4}=6\) Stunden.

Maximum: \(t=9+6=15\), also um 15 Uhr. Kontrolle: \(T(15)=0{,}4\cdot\sin\left(\frac{\pi}{12}\cdot 6\right)+36{,}8=0{,}4\cdot 1+36{,}8=37{,}2\), also \(37{,}2\ {}^{\circ}\mathrm{C}\). Minimum: \(t=9-6=3\), also um 3 Uhr mit \(T(3)=0{,}4\cdot(-1)+36{,}8=36{,}4\), also \(36{,}4\ {}^{\circ}\mathrm{C}\).

Am wärmsten ist der Körper also am späten Nachmittag, am kühlsten in den frühen Morgenstunden.

Hinweis zu Aufgabe c)
Die Mittellinie liegt hier nicht auf der \(t\)-Achse, sondern bei \(y=36{,}8\). Trage sie gestrichelt ein und setze dann Startpunkt, Nullstellenraster und Extrempunkte.„Zeichne“ verlangt eine hinreichend exakte Darstellung: Achsen beschriften, Maßstab wählen, Punkte eintragen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Schritt 1: gestrichelte Mittellinie bei \(y=36{,}8\). Schritt 2: Startpunkt \((9|36{,}8)\). Schritt 3: Periode \(24\); die Schnittpunkte mit der Mittellinie liegen eine halbe Periode auseinander, im Fenster also bei \(t=9\) und \(t=21\). Schritt 4: Hochpunkt \((15|37{,}2)\), Tiefpunkt \((3|36{,}4)\).

Am Rand gilt \(T(0)=0{,}4\cdot\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+36{,}8\approx 36{,}52\), also beginnt die Kurve bei rund \(36{,}52\ {}^{\circ}\mathrm{C}\) und endet wegen der Periode \(24\) bei \(t=24\) genau wieder dort.

Hinweis zu Aufgabe d)
Vergleiche die Amplitude \(0{,}4\) mit dem Wert der Mittellinie \(36{,}8\). Überlege, wie hoch die Welle bei einer Achse von \(0\) bis \(40\ {}^{\circ}\mathrm{C}\) auf dem Papier wäre.„Erkläre“ verlangt, den Sachverhalt auf Ursachen zurückzuführen und in einen nachvollziehbaren Zusammenhang einzuordnen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Ursache: Die Schwankung ist winzig gegenüber dem Grundwert. Bei einer Achse von \(0\) bis \(40\ {}^{\circ}\mathrm{C}\) mit \(1\ \mathrm{cm}\) je \(5\ {}^{\circ}\mathrm{C}\) wäre die gesamte Schwankungsbreite von \(0{,}8\ {}^{\circ}\mathrm{C}\) nur \(0{,}16\ \mathrm{cm}\) hoch — die Sinuskurve sähe aus wie eine gerade Linie, Hoch- und Tiefpunkte wären nicht mehr unterscheidbar.

Wirkung des Ausschnitts: Im Fenster von \(36{,}0\) bis \(37{,}5\ {}^{\circ}\mathrm{C}\) — etwa \(1\ \mathrm{cm}\) je \(0{,}1\ {}^{\circ}\mathrm{C}\) — wird dieselbe Schwankung \(8\ \mathrm{cm}\) hoch, also \(50\)-mal so groß dargestellt. Erst dadurch ist das Gerüst aus Mittellinie, Nullstellen und Extrempunkten überhaupt zeichenbar.

Gefahr: Wer die Achsenbeschriftung übersieht, hält die Tagesschwankung für dramatisch, obwohl sie nur \(0{,}8\ {}^{\circ}\mathrm{C}\) beträgt. Der abgeschnittene Achsenanfang muss deshalb deutlich gekennzeichnet und beim Interpretieren mitgelesen werden.

5

Zwei Töne am Synthesizer

AFB III

Ein Synthesizer erzeugt einen reinen Ton. Ein Messgerät zeichnet die Auslenkung \(y\) der Lautsprechermembran aus der Ruhelage in Millimetern auf, die Zeit \(t\) wird in Millisekunden gemessen.

Für Ton A ergaben sich diese Werte: bei \(t=1\) ist \(y=0\) und die Membran bewegt sich gerade nach vorn, bei \(t=3\) ist \(y=0{,}6\), bei \(t=5\) ist \(y=0\), bei \(t=7\) ist \(y=-0{,}6\) und bei \(t=9\) ist \(y=0\). Zwischen den Messpunkten verläuft die Kurve sinusförmig, die Ruhelage liegt bei \(y=0\).

  1. Ermittle aus den Messwerten eine Funktionsgleichung der Form \(y(t)=a\cdot\sin\big(b\cdot(t+c)\big)+d\) für Ton A.
  2. Zeichne das Schaubild von Ton A im Intervall \(0\le t\le 16\).
  3. Beurteile die Zeichnung eines Mitschülers: Er hat aus dem Term die Periode \(p=\frac{\pi}{4}\) abgelesen und deshalb die Hochpunkte im Abstand von rund \(0{,}79\ \mathrm{ms}\) eingetragen.
  4. Vergleiche das Schaubild von Ton A mit dem des zweiten Tons \(y_{B}(t)=0{,}3\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\cdot(t-1)\right)\) hinsichtlich Gerüst und Zeichnung und entscheide, welcher der beiden Töne höher und welcher lauter klingt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Ruhelage liefert \(d\), der größte Ausschlag liefert \(a\). Zwei benachbarte Nullstellen liegen eine halbe Periode auseinander — daraus erhältst du \(p\) und über \(p=\frac{2\pi}{|b|}\) den Wert von \(b\).„Ermittle“ verlangt einen nachvollziehbaren Weg vom Datensatz zum Term.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Mittellinie: Die Membran schwingt um die Ruhelage, also \(d=0\). Amplitude: Der größte Ausschlag beträgt \(0{,}6\ \mathrm{mm}\), also \(a=0{,}6\); da auf die steigende Nullstelle bei \(t=1\) zuerst ein Hochpunkt folgt, ist \(a>0\).

Periode: Die benachbarten Nullstellen \(t=1\) und \(t=5\) haben den Abstand \(4\ \mathrm{ms}\), das ist die halbe Periode. Also \(p=8\ \mathrm{ms}\) und \(b=\frac{2\pi}{p}=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\). Verschiebung: Der steigende Nulldurchgang liegt bei \(t=1\), der Startpunkt ist also um \(1\) nach rechts verschoben, das heißt \(c=-1\).

Damit gilt $$y(t)=0{,}6\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\cdot(t-1)\right).$$ Kontrolle an den Messwerten: \(y(3)=0{,}6\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=0{,}6\) und \(y(7)=0{,}6\cdot\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-0{,}6\). Die Frequenz beträgt \(f=\frac{1}{8\ \mathrm{ms}}=125\ \mathrm{Hz}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Trage die Nullstellen ab \(t=1\) im Abstand einer halben Periode ein, also alle \(4\ \mathrm{ms}\). Die Hoch- und Tiefpunkte liegen genau dazwischen, \(0{,}6\ \mathrm{mm}\) über bzw. unter der Ruhelage.„Zeichne“ verlangt eine hinreichend exakte Darstellung mit beschrifteten Achsen und eingetragenen Punkten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Mittellinie ist die \(t\)-Achse, Startpunkt \((1|0)\). Nullstellen bei \(t=1\), \(5\), \(9\) und \(13\); Hochpunkte \((3|0{,}6)\) und \((11|0{,}6)\); Tiefpunkte \((7|-0{,}6)\) und \((15|-0{,}6)\).

Am linken Rand gilt \(y(0)=0{,}6\cdot\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\approx -0{,}42\), die Kurve startet also knapp unterhalb der Ruhelage. Im Fenster von \(16\ \mathrm{ms}\) sind genau zwei vollständige Schwingungen zu sehen, denn \(\frac{16}{8}=2\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche seinen Wert mit \(p=\frac{2\pi}{|b|}\). Rechne zusätzlich aus, welche Frequenz sein Schaubild darstellen würde, und halte sie gegen die Messreihe.„Beurteile“ verlangt ein eigenständiges, begründetes Urteil — Fehler benennen, richtigstellen und die Folge im Sachzusammenhang angeben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Fehler: Der Mitschüler hat den Parameter \(b\) mit der Periode verwechselt. Richtig ist \(p=\frac{2\pi}{|b|}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}}=8\), also \(8\ \mathrm{ms}\). Sein Wert \(\frac{\pi}{4}\approx 0{,}79\ \mathrm{ms}\) ist rund zehnmal zu klein, denn \(\frac{8}{0{,}79}\approx 10{,}2\).

Folge im Sachzusammenhang: Sein Schaubild stellt eine Frequenz von \(\frac{1}{0{,}79\ \mathrm{ms}}\approx 1270\ \mathrm{Hz}\) dar statt der gemessenen \(125\ \mathrm{Hz}\) — statt eines tiefen Brummtons also einen hohen Pfeifton. Im Fenster \(0\le t\le 16\) lägen rund \(20\) Schwingungen statt \(2\).

Urteil: Die Zeichnung ist nicht haltbar. Sie widerspricht schon der Messreihe, denn dort liegen die Nullstellen erkennbar \(4\ \mathrm{ms}\) auseinander. Eine einfache Kontrolle hätte den Fehler sofort gezeigt: Ein richtiges Schaubild muss die gegebenen Messpunkte treffen.

Hinweis zu Aufgabe d)
Bestimme für beide Töne Amplitude und Periode und rechne die Perioden über \(f=\frac{1}{p}\) in Frequenzen um. Die Tonhöhe hängt an der Frequenz, die Lautstärke an der Amplitude.„Vergleiche“ verlangt, Gemeinsamkeiten und Unterschiede nach klaren Kriterien zu ermitteln und darzustellen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Ton A: \(a=0{,}6\ \mathrm{mm}\), \(p=8\ \mathrm{ms}\), also \(f_{A}=\frac{1}{8\ \mathrm{ms}}=125\ \mathrm{Hz}\). Ton B: \(a=0{,}3\ \mathrm{mm}\), \(p=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}=4\), also \(4\ \mathrm{ms}\) und \(f_{B}=\frac{1}{4\ \mathrm{ms}}=250\ \mathrm{Hz}\).

Gemeinsam: Beide Kurven haben dieselbe Mittellinie \(y=0\) und denselben Startpunkt \((1|0)\), denn in beiden Termen steht \(c=-1\). Unterschiede beim Zeichnen: Bei Ton B liegen die Nullstellen nur \(2\ \mathrm{ms}\) statt \(4\ \mathrm{ms}\) auseinander, und die Extrempunkte liegen nur \(0{,}3\ \mathrm{mm}\) statt \(0{,}6\ \mathrm{mm}\) von der Mittellinie entfernt. Im Fenster \(0\le t\le 16\) zeichnest du von Ton B vier vollständige Schwingungen, von Ton A nur zwei.

Entscheidung: Wegen \(f_{B}=2\cdot f_{A}\) klingt Ton B höher — genau eine Oktave über Ton A. Wegen der doppelten Amplitude klingt Ton A lauter.