Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDie vier Parameter und ihre Wirkung auf das Schaubild — samt der Formel für die Periode.
Nächster SchrittZu den TextaufgabenFünf Sachaufgaben rund um Amplitude, Periode, Mittellinie und Verschiebung: Riesenrad, Gezeiten, Wechselspannung, Eisabsatz und Gewächshaus — am Ende stellst du die Sinusfunktion selbst aus Messwerten auf.
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Übungsaufgaben
Zwanzig Aufgaben. Der Schwerpunkt liegt auf dem Rechnen: Perioden aus \(b\), Amplituden aus \(a\), Wertebereiche aus \(a\) und \(d\) — und am Ende der Weg zurück vom Schaubild zum Term.
1Die vier Parameter ablesenAFB I
\(f(x)=3\cdot\sin\big(2\cdot(x+4)\big)+1\)
Lies die vier Parameter ab.Nur die Zahl eintragen. Alle vier Felder werden gemeinsam geprüft.
\(a=\) \(b=\)
\(c=\) \(d=\)
\(a\) steht vor dem Sinus, \(b\) als Faktor direkt vor der Klammer, \(c\) in der Klammer bei \(x\) und \(d\) ganz am Ende. Wichtig ist die Bauform \(b\cdot(x+c)\): Nur wenn \(b\) ausgeklammert ist, kannst du \(c\) direkt ablesen.
2Perioden berechnenAFB II
Es gilt \(p=\frac{2\pi}{|b|}\). Berechne die Periode und runde auf zwei Nachkommastellen.
Nur die Zahl eintragen. Alle vier Felder werden gemeinsam geprüft.
\(\frac{2\pi}{2}=\pi\approx 3{,}14\), \(\frac{2\pi}{0{,}5}=4\pi\approx 12{,}57\), \(\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\approx 1{,}57\) und \(\frac{2\pi}{3}\approx 2{,}09\). Beim letzten Fall steht der Betrag im Nenner — ein negatives \(b\) spiegelt nur, es verkürzt die Periode nicht zusätzlich.
3Die Kurve von \(\sin(2x)\)AFB II
Klicke die markanten Stellen von \(f(x)=\sin(2x)\) an. Die graue gestrichelte Kurve ist \(\sin(x)\) zum Vergleich.
Cursor mit der Maus oder mit ←/→ bewegen, Klick bzw. Enter setzt die Marke.
Mit \(b=2\) ist die Periode nur noch \(p=\frac{2\pi}{2}=\pi\). Alle markanten Stellen rücken deshalb auf die Hälfte zusammen: Hochpunkt bei \(\frac14\pi\) statt \(\frac12\pi\), Nullstelle bei \(\frac12\pi\) statt \(\pi\). Der Abstand zweier Hochpunkte ist genau eine Periode.
4Die Amplitude bestimmenAFB II
Gib die Amplitude von \(f(x)=-4\cdot\sin(3x)+2\) an.
Nur die Zahl eintragen. Enter prüft.
Die Amplitude ist der Betrag von \(a\), also \(|-4|=4\). Das Minuszeichen spiegelt die Kurve nur an der Mittellinie — wie weit sie ausschlägt, ändert sich dadurch nicht. Weder \(b=3\) noch \(d=2\) haben Einfluss auf die Amplitude.
5Funktion und PeriodeAFB II
Verbinde jede Funktion mit ihrer Periode.
Wähle links eine Funktion aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts die passende Periode an.
Immer \(p=\frac{2\pi}{|b|}\): Je größer \(b\), desto enger die Wellen. Für \(b<1\) wird die Periode dagegen länger als \(2\pi\) — die Kurve wird auseinandergezogen.
6Stimmt das?AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie neu.
Die beiden falschen Aussagen betreffen die typischen Verwechslungen: \(a\) und \(b\) beim Spiegeln, \(a\) und \(d\) beim Höhenunterschied. Merke: \(a\) und \(d\) wirken senkrecht, \(b\) und \(c\) waagerecht.
7Was bewirkt der Parameter \(a\)?AFB II
Markiere alle Aussagen, die richtig sind.
Mehrere Antworten können richtig sein.
Der Vorfaktor multipliziert jeden Funktionswert — er wirkt also ausschließlich senkrecht. Verschieben ist Sache von \(d\), die Periode gehört zu \(b\).
8Rechenkette: alles über eine FunktionAFB II
\(f(x)=-2\cdot\sin\big(0{,}5\cdot(x-\pi)\big)+3\)
Bestimme Schritt für Schritt Amplitude, Periode und die beiden Extremwerte.Zahlen mit Komma oder Punkt. Enter prüft die aktuelle Zeile.
- Wie groß ist die Amplitude?
- Wie groß ist die Periode? (zwei Nachkommastellen)
- Welchen größten Wert nimmt \(f\) an?
- Welchen kleinsten Wert nimmt \(f\) an?
Amplitude \(|-2|=2\), Periode \(\frac{2\pi}{0{,}5}=4\pi\approx 12{,}57\). Die Mittellinie liegt bei \(y=d=3\), und von dort geht es genau \(2\) nach oben und \(2\) nach unten: \(W=[1\,;\,5]\). Das Minuszeichen bei \(a\) ändert daran nichts — es vertauscht nur, wo Hoch- und Tiefpunkte liegen.
9Einen Term zu Vorgaben aufstellenAFB III
Gesucht ist eine Sinusfunktion mit der Amplitude 3, der Periode \(\pi\), ohne waagerechte und ohne senkrechte Verschiebung. Gib ihren Term an.
Schreibe zum Beispiel
3*sin(2*x) oder kurz 3sin(2x). Enter prüft.Die Amplitude liefert \(a=3\). Aus \(p=\frac{2\pi}{|b|}=\pi\) folgt \(|b|=2\). Ohne Verschiebung sind \(c=0\) und \(d=0\), also \(f(x)=3\cdot\sin(2x)\). Auch \(-3\cdot\sin(-2x)\) beschreibt dieselbe Kurve — zwei Spiegelungen heben sich auf.
10Drei Kenngrößen auf einmalAFB II
\(f(x)=1{,}5\cdot\sin\big(4\cdot(x+\pi)\big)-2\)
Bestimme Amplitude, Periode (zwei Nachkommastellen) und die Höhe der Mittellinie.Alle Felder ausfüllen, dann gemeinsam prüfen.
Amplitude \(|1{,}5|=1{,}5\), Periode \(\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\approx 1{,}57\), Mittellinie \(y=d=-2\). Der Parameter \(c=\pi\) taucht in keiner der drei Antworten auf — er verschiebt die Kurve nur waagerecht.
11Welcher Parameter tut das?AFB II
Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz.
In jeder Zeile gehört genau ein Kreuz.
| \(a\) | \(b\) | \(c\) | \(d\) | |
|---|---|---|---|---|
| streckt oder staucht in \(y\)-Richtung | ||||
| verändert die Periode | ||||
| verschiebt waagerecht | ||||
| verschiebt senkrecht | ||||
| spiegelt an der \(x\)-Achse, wenn er negativ ist | ||||
| spiegelt an der \(y\)-Achse, wenn er negativ ist |
Die vier Parameter teilen sich sauber auf: \(a\) und \(d\) wirken senkrecht (strecken bzw. verschieben), \(b\) und \(c\) waagerecht. Jeder von ihnen spiegelt, wenn er negativ ist — aber an der jeweils zugehörigen Achse.
12Fehlersuche in einer KurvendiskussionAFB II
Untersucht wird \(f(x)=-2\cdot\sin\big(3\cdot(x-1)\big)+5\).
Klicke genau die Zeilen an, die falsch sind.Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Beide Fehler sind Vorzeichenfehler, aber von verschiedener Art: einmal wird ein Betrag vergessen, einmal die Verschieberichtung verwechselt. Der Wertebereich in Zeile 6 stimmt übrigens trotzdem — er hängt nur von \(|a|\) und \(d\) ab.
13Nach der Periode ordnenAFB II
Ordne die sechs Funktionen nach ihrer Periode — von der kürzesten zur längsten.
Ziehe die Zeilen oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.
1\(\sin(6x)\)
2\(\sin(4x)\)
3\(\sin(2x)\)
4\(\sin(x)\)
5\(\sin(0{,}5x)\)
6\(\sin(0{,}25x)\)
Die Perioden lauten \(\frac{\pi}{3}\approx 1{,}05\), \(\frac{\pi}{2}\approx 1{,}57\), \(\pi\approx 3{,}14\), \(2\pi\approx 6{,}28\), \(4\pi\approx 12{,}57\) und \(8\pi\approx 25{,}13\). Weil \(b\) im Nenner steht, ist die Reihenfolge der Perioden genau umgekehrt zur Reihenfolge der \(b\)-Werte.
14Das passende \(b\) findenAFB II
Bestimme, welchen Wert \(b>0\) haben muss, damit \(f(x)=\sin(bx)\) die Periode \(\frac12\pi\) hat, und stelle den Regler darauf.
15In welche Richtung verschoben?AFB II
Ordne jede Funktion der passenden Gruppe zu. Achte auf das Vorzeichen in der Klammer.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs.
1nach links verschoben
2nach rechts verschoben
3waagerecht nicht verschoben
Entscheidend ist allein das Vorzeichen von \(c\) in der Form \(b\cdot(x+c)\): Ein Plus in der Klammer schiebt nach links, ein Minus nach rechts. Die letzte Karte ist eine Falle: \(+4\) steht außerhalb der Klammer und verschiebt nach oben, nicht zur Seite.
16Ablauf: den Wertebereich bestimmenAFB III
\(f(x)=-3\cdot\sin\big(2\cdot(x+1)\big)+4\)
Spiele die Bestimmung des Wertebereichs Schritt für Schritt durch.Was ist der nächste richtige Schritt? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Die Regel dahinter: \(W=[\,d-|a|\;;\;d+|a|\,]\). Hier also \([4-3\;;\;4+3]=[1\;;\;7]\). Die Parameter \(b\) und \(c\) tauchen in dieser Rechnung nie auf — sie wirken nur waagerecht.
17Die Periode als Vielfaches von \(\pi\)AFB II
Die Periode von \(f(x)=\sin(6x)\) lässt sich als \(\frac{z}{n}\cdot\pi\) schreiben. Gib den vollständig gekürzten Bruch an.
Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Enter prüft.
\(p=\frac{2\pi}{6}=\frac{2}{6}\pi=\frac13\pi\approx 1{,}05\). Der Bruch \(\frac26\) muss noch gekürzt werden — das ist der eigentliche Rechenschritt.
18Eine verschobene Sinuskurve lesenAFB III
Klicke die geforderten Stellen von \(f(x)=2\cdot\sin(x)+1\) an. Die graue gestrichelte Kurve ist \(\sin(x)\) zum Vergleich.
Cursor mit der Maus oder mit ←/→ bewegen, Klick bzw. Enter setzt die Marke.
Die Kurve schwingt jetzt um die Mittellinie \(y=1\) statt um die \(x\)-Achse, und zwar mit der Amplitude \(2\): von \(1-2=-1\) bis \(1+2=3\). Die Stellen der Hoch- und Tiefpunkte haben sich gegenüber \(\sin(x)\) nicht verändert, denn \(b=1\) und \(c=0\).
19Den Term zusammenbauenAFB III
Gesucht ist eine Sinusfunktion mit Amplitude 4, Periode \(\pi\), um \(\frac12\pi\) nach rechts und um 2 nach oben verschoben. Setze den Term aus den Bausteinen zusammen.
Vier Plätze von links nach rechts. Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, Klick im Bauplan legt ihn zurück.
Amplitude \(4\) gibt \(a=4\); aus \(p=\pi\) folgt \(b=\frac{2\pi}{\pi}=2\); „nach rechts“ bedeutet \(c<0\), also \(-\frac12\pi\) in der Klammer; „nach oben“ bedeutet \(d=+2\). Fertig: \(f(x)=4\cdot\sin\left(2\cdot\left(x-\frac12\pi\right)\right)+2\).
20Vom Schaubild zur AmplitudeAFB III
Eine Sinusfunktion der Form \(f(x)=a\cdot\sin\big(b\cdot(x+c)\big)+d\) hat alle Hochpunkte auf der Höhe \(y=7\) und alle Tiefpunkte auf der Höhe \(y=-1\).
Berechne die Amplitude \(|a|\).Nur die Zahl eintragen. Enter prüft.
Zwischen Tiefpunkt und Hochpunkt liegen \(7-(-1)=8\) Höheneinheiten. Die Mittellinie liegt genau in der Mitte, also ist die Amplitude die halbe Differenz: \(|a|=\frac{8}{2}=4\). Nebenbei bekommst du auch \(d\) geschenkt: die Mittellinie liegt bei \(y=\frac{7+(-1)}{2}=3\).