Riesenrad auf dem Jahrmarkt
AFB IEin Riesenrad auf dem Herbstjahrmarkt dreht sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Für die Höhe einer Gondel über dem Boden gilt $$h(t)=9\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot(t-3)\right)+11\qquad\text{mit}\quad [h]=\mathrm{m}.$$ Dabei ist \(t\) die Zeit in Minuten, gezählt ab dem Moment, in dem du einsteigst. Alle Winkel werden im Bogenmaß gerechnet.
- Berechne die Höhe der Gondel über dem Boden nach \(6\) Minuten und nach \(9\) Minuten.
- Gib an den größten und den kleinsten Abstand, den die Gondel vom Boden hat.
- Bestimme die Dauer einer vollen Umdrehung des Riesenrads.
- Beschreibe welche Bedeutung der Summand \(d=11\) im Sachzusammenhang hat.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: Einsetzen in den Funktionsterm. \(h(6)=9\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot(6-3)\right)+11=9\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+11=9\cdot 1+11=20\), also 20 m.
\(h(9)=9\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot(9-3)\right)+11=9\cdot\sin(\pi)+11=9\cdot 0+11=11\), also 11 m. Nach 6 Minuten steht die Gondel im höchsten Punkt, nach 9 Minuten genau auf Nabenhöhe.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Wegen \(-1\le\sin(\dots)\le 1\) liegt der Funktionswert zwischen \(11-9=2\) und \(11+9=20\). Der größte Abstand beträgt 20 m, der kleinste 2 m. Der Wertebereich im Sachzusammenhang ist damit \(W=[2\,;\,20]\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Aus dem Term liest du \(b=\frac{\pi}{6}\) ab. Damit ist \(p=\frac{2\pi}{\left|\frac{\pi}{6}\right|}=2\pi\cdot\frac{6}{\pi}=12\). Eine volle Umdrehung dauert also 12 Minuten. Zur Kontrolle: \(h(0)=9\cdot\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+11=2\) und \(h(12)=9\cdot\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)+11=2\) — nach 12 Minuten ist die Gondel wieder unten.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Der Wert \(d=11\) legt die Mittellinie des Schaubilds bei \(y=11\) fest. Im Sachzusammenhang ist das die Höhe der Radachse über dem Boden. Die Gondel schwingt um diese Höhe herum, nämlich \(9\ \mathrm{m}\) nach oben bis \(20\ \mathrm{m}\) und \(9\ \mathrm{m}\) nach unten bis \(2\ \mathrm{m}\). Ohne den Summanden \(d\) verliefe die halbe Bewegung unterhalb des Bodens — das Modell wäre sinnlos.
Gezeiten im Hafenbecken
AFB IIAn der Nordseeküste steigt und fällt der Wasserstand im Rhythmus der Gezeiten. Für ein Hafenbecken beschreibt ein idealisiertes Modell die Wassertiefe über dem Hafengrund durch $$h(t)=1{,}8\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot(t-4)\right)+3{,}2\qquad\text{mit}\quad [h]=\mathrm{m}.$$ Dabei zählt \(t\) die Stunden seit Mitternacht, also \(t=0\) für 0 Uhr und \(t=7\) für 7 Uhr.
- Bestimme die Amplitude, die Periode und die Höhe der Mittellinie dieses Modells.
- Ermittle den höchsten und den niedrigsten Wasserstand sowie die Uhrzeiten, zu denen sie zum ersten Mal nach Mitternacht auftreten.
- Berechne den Wasserstand um 3 Uhr und um 9 Uhr.
- Überprüfe die Aussage eines Hafenmitarbeiters: „Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Höchstständen liegen genau sechs Stunden.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Aus dem Term liest du \(a=1{,}8\), \(b=\frac{\pi}{6}\) und \(d=3{,}2\) ab.
Amplitude: \(|a|=1{,}8\ \mathrm{m}\) — so weit schwankt der Wasserstand nach oben und nach unten. Periode: \(p=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{6}}=12\), also 12 Stunden von einem Hochwasser zum nächsten. Mittellinie: \(y=d=3{,}2\ \mathrm{m}\) — die mittlere Wassertiefe.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Werte: \(h_{\max}=3{,}2+1{,}8=5{,}0\ \mathrm{m}\) und \(h_{\min}=3{,}2-1{,}8=1{,}4\ \mathrm{m}\).
Zeitpunkte: Aus \(\frac{\pi}{6}\cdot(t-4)=\frac{\pi}{2}\) folgt \(t-4=3\), also \(t=7\): Der Höchststand von \(5{,}0\ \mathrm{m}\) tritt um 7 Uhr ein. Aus \(\frac{\pi}{6}\cdot(t-4)=-\frac{\pi}{2}\) folgt \(t-4=-3\), also \(t=1\): Der Tiefststand von \(1{,}4\ \mathrm{m}\) tritt um 1 Uhr ein. Wegen der Periode von 12 Stunden wiederholen sich beide um 19 Uhr bzw. um 13 Uhr.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(h(3)=1{,}8\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot(3-4)\right)+3{,}2=1{,}8\cdot\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)+3{,}2=1{,}8\cdot(-0{,}5)+3{,}2=-0{,}9+3{,}2=2{,}3\), also 2,3 m.
\(h(9)=1{,}8\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot 5\right)+3{,}2=1{,}8\cdot\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)+3{,}2=1{,}8\cdot 0{,}5+3{,}2=4{,}1\), also 4,1 m. Um 3 Uhr läuft das Wasser noch auf, um 9 Uhr läuft es bereits wieder ab.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Zwei aufeinanderfolgende Höchststände liegen genau eine Periode auseinander, also \(p=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{6}}=12\ \mathrm{h}\). Konkret: Höchststände um 7 Uhr und um 19 Uhr, das sind 12 Stunden.
Die Aussage ist damit nicht zutreffend. Der Mitarbeiter verwechselt die Periode mit der halben Periode: Sechs Stunden liegen zwischen einem Höchststand und dem darauf folgenden Tiefststand (7 Uhr und 13 Uhr).
Wechselspannung aus der Steckdose
AFB IIAus der Steckdose kommt keine gleichbleibende Spannung, sondern eine Wechselspannung: Sie wechselt ständig ihr Vorzeichen. Für das europäische Stromnetz gilt $$u(t)=325\cdot\sin(0{,}1\pi\cdot t)\qquad\text{mit}\quad [u]=\mathrm{V}.$$ Die Zeit \(t\) wird dabei in Millisekunden gemessen. Die Frequenz \(f\) gibt an, wie viele volle Schwingungen in einer Sekunde durchlaufen werden; es gilt \(f=\frac{1}{p}\), wenn man die Periodendauer \(p\) in Sekunden einsetzt. Auf dem Typenschild von Geräten steht die Angabe \(230\ \mathrm{V}\).
- Bestimme die Periodendauer der Netzspannung in Millisekunden und daraus die Frequenz in Hertz.
- Berechne die Spannung nach \(5\ \mathrm{ms}\) und nach \(15\ \mathrm{ms}\) und deute die beiden Vorzeichen.
- Zeige dass der Scheitelwert \(325\ \mathrm{V}\) näherungsweise dem \(\sqrt{2}\)-fachen der aufgedruckten Netzspannung von \(230\ \mathrm{V}\) entspricht.
- Ermittle den Wert von \(b\), den man für das nordamerikanische Netz mit \(60\ \mathrm{Hz}\) einsetzen müsste, wenn \(t\) weiterhin in Millisekunden gemessen wird.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Periodendauer: \(p=\frac{2\pi}{0{,}1\pi}=\frac{2}{0{,}1}=20\), also \(p=20\ \mathrm{ms}\).
Frequenz: \(20\ \mathrm{ms}=0{,}02\ \mathrm{s}\), damit \(f=\frac{1}{0{,}02}=50\), also \(f=50\ \mathrm{Hz}\). Die Netzspannung durchläuft in jeder Sekunde 50 volle Schwingungen — das ist genau der bekannte Wert des europäischen Stromnetzes.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(u(5)=325\cdot\sin(0{,}5\pi)=325\cdot 1=325\), also 325 V. \(u(15)=325\cdot\sin(1{,}5\pi)=325\cdot(-1)=-325\), also \(-325\ \mathrm{V}\).
Beide Zeitpunkte sind Scheitelpunkte der Kurve: Nach einer Viertelperiode ist der positive Scheitelwert erreicht, nach drei Vierteln der negative. Das Vorzeichen gibt die Richtung an, in die der Strom fließt — sie kehrt sich 100-mal pro Sekunde um.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Es gilt \(230\cdot\sqrt{2}=230\cdot 1{,}41421\ldots=325{,}27\ldots\). Gerundet sind das \(325\ \mathrm{V}\), also genau der Vorfaktor \(a=325\) im Term. Die Behauptung ist damit bestätigt.
Die aufgedruckten \(230\ \mathrm{V}\) sind ein Mittelwert über die ganze Schwingung; die Isolierung eines Gerätes muss dagegen dem Scheitelwert von rund \(325\ \mathrm{V}\) standhalten.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Periodendauer: \(p=\frac{1}{60}\ \mathrm{s}=\frac{1000}{60}\ \mathrm{ms}=16{,}67\ \mathrm{ms}\) (gerundet).
Umstellen: Aus \(p=\frac{2\pi}{|b|}\) folgt \(|b|=\frac{2\pi}{p}=\frac{2\pi\cdot 60}{1000}=0{,}12\pi\approx 0{,}377\).
Man müsste also \(b=0{,}12\pi\) einsetzen: \(u(t)=325\cdot\sin(0{,}12\pi\cdot t)\). Weil \(b\) größer ist als \(0{,}1\pi\), wird die Kurve in \(x\)-Richtung gestaucht — die Wellen liegen enger beieinander.
Absatz einer Eismanufaktur
AFB IIEine Eismanufaktur wertet die Absatzzahlen mehrerer Jahre aus. Der monatliche Absatz lässt sich näherungsweise durch $$E(t)=180\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot(t-4)\right)+320\qquad\text{mit}\quad [E]=\mathrm{t}$$ beschreiben. Dabei steht \(t=1\) für Januar, \(t=2\) für Februar und so weiter bis \(t=12\) für Dezember. Die Angabe \(\mathrm{t}\) bedeutet Tonnen.
- Berechne den Absatz für Januar, für April und für Juli.
- Bestimme den Monat mit dem größten Absatz und den zugehörigen Wert.
- Erkläre welche Wirkung der Wert \(c=-4\) im Modell hat.
- Prüfe die Behauptung eines Praktikanten: „Erhöht man \(d\) auf \(400\), so werden in jedem Monat mehr als \(200\ \mathrm{t}\) abgesetzt.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(E(1)=180\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot(-3)\right)+320=180\cdot\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+320=180\cdot(-1)+320=140\), also 140 t.
\(E(4)=180\cdot\sin(0)+320=320\), also 320 t. \(E(7)=180\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+320=180+320=500\), also 500 t.
Der Absatz im Juli ist damit mehr als dreieinhalbmal so groß wie im Januar.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(\frac{\pi}{6}\cdot(t-4)=\frac{\pi}{2}\). Beide Seiten mit \(\frac{6}{\pi}\) multiplizieren ergibt \(t-4=3\), also \(t=7\).
Der größte Absatz fällt damit in den Juli. Sein Wert ist \(E(7)=180+320=\) 500 t — das entspricht auch der Rechnung \(d+|a|=320+180\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Wegen \(c=-4\) wird das Schaubild um \(4\) Einheiten nach rechts verschoben (bei negativem \(c\) nach rechts, bei positivem nach links). Form und Höhe der Kurve ändern sich dabei nicht.
Ohne diese Verschiebung, also für \(c=0\), läge das Maximum bei \(\frac{\pi}{6}\cdot t=\frac{\pi}{2}\), das heißt bei \(t=3\) und damit im März. Die Verschiebung um vier Monate sorgt dafür, dass der Absatzgipfel im Juli liegt und der mittlere Absatz von \(320\ \mathrm{t}\) im April erreicht wird — erst dadurch passt das Modell zum tatsächlichen Jahresverlauf.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Mit \(d=400\) lautet das Modell \(E(t)=180\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot(t-4)\right)+400\). Der Vorfaktor \(a=180\) bleibt unverändert, also bleibt die Amplitude \(180\ \mathrm{t}\).
Der kleinste Funktionswert ist \(d-|a|=400-180=220\), er wird im Januar angenommen. Wegen \(220>200\) liegt tatsächlich jeder Monatswert über \(200\ \mathrm{t}\). Die Behauptung ist zutreffend. Der neue Wertebereich lautet \(W=[220\,;\,580]\).
Temperatur im Gewächshaus
AFB IIIIn einem Gärtnereibetrieb wird die Lufttemperatur in Gewächshaus I über einen wolkenlosen Sommertag hinweg aufgezeichnet. Die Messung ergibt zwei markante Werte: Der Tiefstwert von \(12\ ^\circ\mathrm{C}\) tritt um 4 Uhr auf, der Höchstwert von \(28\ ^\circ\mathrm{C}\) um 16 Uhr. Der Verlauf soll durch eine Funktion der Form $$f(t)=a\cdot\sin\big(b\cdot(t+c)\big)+d$$ mit der Periode \(24\) Stunden beschrieben werden; \(t\) ist die Uhrzeit in Stunden nach Mitternacht.
Gewächshaus II besitzt einen Wärmespeicher. Dort misst man am selben Tag $$g(t)=5\cdot\sin\left(\frac{\pi}{12}\cdot(t-10)\right)+21\qquad\text{mit}\quad [g]=\ ^\circ\mathrm{C}.$$ Die angebauten Jungpflanzen gedeihen nur bei Temperaturen von mindestens \(15\ ^\circ\mathrm{C}\) und höchstens \(26\ ^\circ\mathrm{C}\).
- Ermittle die Werte von \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) für Gewächshaus I und gib den vollständigen Funktionsterm \(f(t)\) an.
- Berechne mit deinem Term aus a) die Temperatur in Gewächshaus I um 7 Uhr und um 13 Uhr, gerundet auf eine Nachkommastelle.
- Beurteile ob sich das Modell \(f\) auch dazu eignet, die Temperatur in Gewächshaus I über ein ganzes Jahr vorherzusagen.
- Entscheide in welchem der beiden Gewächshäuser die Jungpflanzen an diesem Tag besser aufgehoben sind.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Mittellinie: \(d=\frac{28+12}{2}=20\). Amplitude: \(a=\frac{28-12}{2}=8\).
Periode: Aus \(24=\frac{2\pi}{|b|}\) folgt \(|b|=\frac{2\pi}{24}=\frac{\pi}{12}\).
Verschiebung: Der Hochpunkt liegt dort, wo das Argument \(\frac{\pi}{2}\) beträgt: \(\frac{\pi}{12}\cdot(16+c)=\frac{\pi}{2}\) ergibt \(16+c=6\), also \(c=-10\).
Damit ist \(f(t)=8\cdot\sin\left(\frac{\pi}{12}\cdot(t-10)\right)+20\). Probe: \(f(4)=8\cdot\sin\left(\frac{\pi}{12}\cdot(-6)\right)+20=8\cdot\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+20=12\) — der Tiefstwert um 4 Uhr wird korrekt getroffen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f(7)=8\cdot\sin\left(\frac{\pi}{12}\cdot(-3)\right)+20=8\cdot\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)+20=8\cdot(-0{,}7071)+20=20-5{,}657=14{,}343\), gerundet 14,3 °C.
\(f(13)=8\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)+20=8\cdot 0{,}7071+20=25{,}657\), gerundet 25,7 °C. Beide Werte liegen symmetrisch zur Mittellinie \(y=20\), denn 7 Uhr und 13 Uhr haben denselben Abstand von \(t=10\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Urteil: Das Modell ist für ein ganzes Jahr nicht geeignet.
Begründung: Eine Sinusfunktion mit fester Periode \(24\ \mathrm{h}\), fester Amplitude \(8\) und fester Mittellinie \(20\) sagt für jeden Tag exakt denselben Verlauf voraus. Sie liefert also auch für einen Januartag um 16 Uhr \(28\ ^\circ\mathrm{C}\), was unrealistisch ist. Im Jahresverlauf ändern sich sowohl die Mittellinie \(d\) (im Winter deutlich niedriger) als auch die Amplitude \(|a|\) (kleinere Tagesschwankung bei kürzerer Sonnenscheindauer). Hinzu kommen Wetter, Bewölkung und Lüftung, die das Modell überhaupt nicht abbildet.
Gültigkeitsbereich: Brauchbar ist \(f\) nur für einen einzelnen wolkenlosen Sommertag, also etwa für \(0\le t\le 24\). Eine bessere Beschreibung des Jahres erhielte man, indem man \(a\) und \(d\) selbst als Sinusfunktionen mit der Periode \(365\) Tage ansetzt.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Gewächshaus I: \(d=20\), \(|a|=8\), also \(W_f=[12\,;\,28]\). Die Temperatur sinkt nachts bis auf \(12\ ^\circ\mathrm{C}\) und liegt damit unter der geforderten Untergrenze von \(15\ ^\circ\mathrm{C}\); nachmittags steigt sie auf \(28\ ^\circ\mathrm{C}\) und liegt über der Obergrenze von \(26\ ^\circ\mathrm{C}\). Das Fenster wird also an beiden Enden verlassen.
Gewächshaus II: \(d=21\), \(|a|=5\), also \(W_g=[16\,;\,26]\). Der tiefste Wert \(16\ ^\circ\mathrm{C}\) liegt über \(15\ ^\circ\mathrm{C}\), der höchste Wert \(26\ ^\circ\mathrm{C}\) erreicht die Obergrenze genau, überschreitet sie aber nicht.
Entscheidung: Die Pflanzen sind in Gewächshaus II besser aufgehoben. Der Wärmespeicher wirkt sich vor allem auf die Amplitude aus: Sie sinkt von \(8\) auf \(5\), die Tagesschwankung wird also gedämpft. Einschränkend gilt, dass die Obergrenze punktgenau erreicht wird — ein etwas wärmerer Tag oder eine Messungenauigkeit würde sie bereits überschreiten, weshalb eine zusätzliche Beschattung sinnvoll bleibt.