Zum NachschlagenZurück zur ErklärungWarum \(\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)=\sin(x)\) gilt — und wie man es nachprüft.
Nächster SchrittZu den TextaufgabenFünf Sachaufgaben zur Verschiebung um ein halbes Pi: Terme ineinander umschreiben, Werte ohne Taschenrechner bestimmen, die Verschieberichtung samt Vorzeichen prüfen und ein Modell aus Messdaten beurteilen.
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Übungsaufgaben
Zwanzig Aufgaben. Du prüfst den Merksatz an konkreten Stellen nach, rechnest mit gegebenen Werten und übst vor allem eines: die Verschieberichtung und ihr Vorzeichen in der Klammer.
1Die verschobene CosinuskurveAFB I
Gezeichnet ist \(f(x)=\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)\), gestrichelt daneben \(\sin(x)\). Klicke die geforderten Stellen an — und achte darauf, dass beide Kurven aufeinanderliegen.
Cursor mit der Maus oder mit ←/→ bewegen, Klick bzw. Enter setzt die Marke.
Die gestrichelte Vergleichskurve \(\sin(x)\) ist nicht mehr zu sehen — sie liegt vollständig unter der gezeichneten Kurve. Genau das ist die Aussage des Merksatzes: \(\cos\left(x-\frac12\pi\right)=\sin(x)\).
2Stimmt das?AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie neu.
Der Merksatz ist keine Näherung und kein Sonderfall: Er gilt für jedes \(x\). Und die Verschiebung beträgt genau \(\frac12\pi\) — das ist der Abstand zwischen dem Hochpunkt der Cosinuskurve und dem Hochpunkt der Sinuskurve.
3Den Merksatz an zwei Stellen prüfenAFB II
Berechne jeweils beide Seiten von \(\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)=\sin(x)\) und vergleiche.
Nur die Zahl eintragen. Alle vier Felder werden gemeinsam geprüft.
Für \(x=0\): \(\cos\left(0-\tfrac12\pi\right)=\) und \(\sin(0)=\)
Für \(x=\tfrac12\pi\): \(\cos\left(\tfrac12\pi-\tfrac12\pi\right)=\) und \(\sin\left(\tfrac12\pi\right)=\)
Links steht jedes Mal ein Cosinus, rechts ein Sinus — und trotzdem kommt dasselbe heraus. Rechne die Klammer immer zuerst aus: \(0-\frac12\pi=-\frac12\pi\) und \(\frac12\pi-\frac12\pi=0\).
4Gleichwertige AusdrückeAFB II
Verbinde jeden Ausdruck mit dem kurzen Ausdruck, der dieselbe Kurve beschreibt.
Wähle links einen Ausdruck aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden an.
Drei verschiedene Regeln stecken darin: die Verschiebung um \(\frac12\pi\) (erste beide Zeilen), die Periode \(2\pi\) (dritte Zeile) und die Symmetrie (letzte beiden Zeilen). Alle drei ergeben denselben Graphen, obwohl die Terme verschieden aussehen.
5Wie weit wird verschoben?AFB II
Gib an, um welches Vielfache von \(\pi\) man \(\cos(x)\) nach rechts schieben muss, damit \(\sin(x)\) entsteht. Trage nur die Zahl vor dem \(\pi\) ein.
Dezimalzahl mit Komma oder Punkt, oder als Bruch wie
1/2. Enter prüft.Der Hochpunkt der Cosinuskurve liegt bei \(x=0\), der der Sinuskurve bei \(x=\frac12\pi\). Also beträgt der Weg \(\frac12\pi\approx 1{,}57\). Im Term steht er als Minus in der Klammer: \(\cos\left(x-\frac12\pi\right)\).
6Vier Werte der verschobenen KurveAFB II
Berechne \(g(x)=\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)\) an den vier Stellen. Rechne zuerst die Klammer aus.
Nur die Zahl eintragen. Alle vier Felder werden gemeinsam geprüft.
Die Klammern ergeben der Reihe nach \(-\frac12\pi\), \(0\), \(\frac12\pi\) und \(\pi\); die Cosinuswerte dort sind \(0\), \(1\), \(0\) und \(-1\). Genau dieselbe Zahlenfolge liefert \(\sin(x)\) an denselben vier Stellen — ein weiterer Beleg für den Merksatz.
7Was folgt aus dem Merksatz?AFB II
Markiere alle Aussagen, die richtig sind.
Mehrere Antworten können richtig sein.
Verschieben ändert weder Form noch Höhe, also stimmen Periode und Wertebereich überein. Aber die Kurven sind nicht identisch: Sie schneiden sich sogar regelmäßig — überall dort, wo \(\sin(x)=\cos(x)\) gilt.
8Fehlersuche in einer BegründungAFB II
Jemand begründet den Zusammenhang zwischen den beiden Kurven.
Klicke genau die Zeilen an, die falsch sind.Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 3 und Zeile 5 hängen zusammen: Wer sich in der Richtung irrt, bekommt automatisch das falsche Vorzeichen in der Klammer. Zeile 6 macht genau die Probe, die den Fehler auffliegen lassen würde — sie passt nämlich nur zur richtigen Version.
9Rechenkette mit gegebenen WertenAFB II
Es gilt \(\sin(1{,}2)\approx 0{,}932\) und \(\cos(1{,}2)\approx 0{,}362\).
Berechne Schritt für Schritt. Runde auf drei Nachkommastellen.Zahlen mit Komma oder Punkt. Enter prüft die aktuelle Zeile.
- Wie groß ist \(\cos\left(1{,}2-\tfrac12\pi\right)\)?
- Wie groß ist \(\sin\left(1{,}2+\tfrac12\pi\right)\)?
- Addiere die beiden Ergebnisse.
- Wie groß ist \(\cos(1{,}2+2\pi)\)?
Die erste Zeile ist der Merksatz selbst: \(\cos\left(x-\frac12\pi\right)=\sin(x)\). Die zweite ist seine Umkehrung: \(\sin\left(x+\frac12\pi\right)=\cos(x)\). Die letzte Zeile nutzt nur die Periode. Ohne Taschenrechner — allein mit den beiden gegebenen Werten.
10Den Ausdruck vereinfachenAFB III
Vereinfache \(\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)\). Im Ergebnis darf keine Rechenoperation mehr vorkommen — nur noch eine Winkelfunktion von \(x\).
Schreibe Winkelfunktionen als
sin(x), cos(x) oder tan(x). Enter prüft.Der Merksatz sagt es direkt: \(\cos\left(x-\frac12\pi\right)=\sin(x)\). Der Term wird dadurch nicht nur kürzer, sondern auch leichter zu zeichnen — die Sinuskurve kennst du auswendig.
11Beide Richtungen aufschreibenAFB II
Ergänze die beiden Gleichungen. Schreibe nur den Namen der Funktion, also
sin oder cos.Beide Felder ausfüllen, dann gemeinsam prüfen.
Die beiden Zeilen sind dieselbe Aussage aus zwei Blickrichtungen: Schiebt man die Cosinuskurve um \(\frac12\pi\) nach rechts, entsteht die Sinuskurve — schiebt man die Sinuskurve um \(\frac12\pi\) nach links, entsteht die Cosinuskurve.
12Welche Kurve beschreibt der Term?AFB II
Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz.
In jeder Zeile gehört genau ein Kreuz.
| ist \(\sin(x)\) | ist \(\cos(x)\) | ist keines von beiden | |
|---|---|---|---|
| \(\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)\) | |||
| \(\sin\left(x+\tfrac12\pi\right)\) | |||
| \(\sin(x+2\pi)\) | |||
| \(\cos(x-2\pi)\) | |||
| \(-\sin(x)\) | |||
| \(\cos\left(x+\tfrac12\pi\right)\) |
Die letzte Zeile ist die Falle: Ein Plus in der Klammer schiebt nach links, und dabei entsteht \(-\sin(x)\) statt \(\sin(x)\). Wer nur auf die Zahl \(\frac12\pi\) schaut und das Vorzeichen übersieht, tappt hier hinein.
13Welchen Wert hat die Kurve bei \(x=0\)?AFB II
Setze jeden Term in den Bereich mit dem passenden Funktionswert an der Stelle \(x=0\).
Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 Wert \(0\)
2 Wert \(1\)
3 Wert \(-1\)
Setze überall \(x=0\) ein und rechne die Klammer aus: \(\cos\left(-\frac12\pi\right)=0\), \(\sin\left(\frac12\pi\right)=1\), \(\cos(-\pi)=-1\) und \(\sin\left(-\frac12\pi\right)=-1\). Die Paare in den ersten beiden Bereichen sind jeweils dieselbe Kurve, nur anders geschrieben.
14Wo sind Sinus und Cosinus gleich?AFB II
Suche mit dem Zeiger die Winkel, an denen die geforderte Beziehung gilt. Die Anzeige unter dem Kreis zeigt beide Werte.
Zieh den Punkt mit der Maus oder nutze die Pfeiltasten (Tab ins Bild). Enter oder der Knopf setzen den Zeiger.
Die vier gesuchten Winkel liegen genau auf den Winkelhalbierenden: \(45^\circ\), \(135^\circ\), \(225^\circ\) und \(315^\circ\). Dort sind die beiden Katheten des Zeigerdreiecks gleich lang — nur die Vorzeichen unterscheiden sich. Im Schaubild sind das genau die Schnittpunkte der beiden Kurven.
15Ablauf: den Merksatz herleitenAFB III
Spiele die Begründung Schritt für Schritt durch.
Was ist der nächste richtige Schritt? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Die Herleitung braucht nur einen einzigen markanten Punkt: den Hochpunkt. Weil beide Kurven dieselbe Form haben, passt danach automatisch alles andere zusammen. Ergebnis: \(\cos\left(x-\frac12\pi\right)=\sin(x)\).
16Passt zusammenAFB II
Finde die fünf Paare.
Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen.
Drei Karten prüfen konkrete Werte, zwei die Regeln dahinter. Achte bei den ersten beiden darauf, zuerst die Klammer auszurechnen — \(0-\frac12\pi\) ist \(-\frac12\pi\), nicht \(\frac12\pi\).
17Dieselbe Verschiebung im GradmaßAFB II
Gib an, um wie viel Grad man die Cosinuskurve nach rechts schieben muss, damit die Sinuskurve entsteht, und stelle den Regler darauf.
18Welche Kurve ist das?AFB II
Ordne jeden Term der Kurve zu, die er beschreibt.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs.
1die Sinuskurve
2die Cosinuskurve
3keine von beiden
Verschiebungen um ganze Vielfache von \(2\pi\) ändern nichts, Verschiebungen um \(\frac12\pi\) vertauschen Sinus und Cosinus. Die beiden letzten Karten sind dagegen echte Veränderungen: einmal eine Spiegelung an der \(x\)-Achse, einmal eine Verschiebung nach oben.
19Ein Term mit VerschiebungAFB III
Berechne \(\cos\left(\tfrac32\pi - \tfrac12\pi\right) + \sin\left(\tfrac32\pi\right)\).
Nur die Zahl eintragen. Enter prüft.
Erst die Klammer: \(\frac32\pi-\frac12\pi=\pi\), also \(\cos(\pi)=-1\). Dazu \(\sin\left(\frac32\pi\right)=-1\). Zusammen \(-1+(-1)=-2\). Der Merksatz hätte dasselbe geliefert: \(\cos\left(x-\frac12\pi\right)=\sin(x)\), also steht dort zweimal \(\sin\left(\frac32\pi\right)\).
20Die Begründung in der richtigen ReihenfolgeAFB III
Baue die vier Begründungsschritte in der richtigen Reihenfolge zusammen.
Vier Plätze von oben nach unten. Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, Klick im Bauplan legt ihn zurück.
Die Reihenfolge ist zwingend: Ohne die gleiche Wellenform dürfte man gar nicht von Verschieben sprechen; ohne die Hochpunkte kennt man den Weg nicht; und erst ganz zum Schluss wird aus dem Weg ein Vorzeichen im Term. Die drei übrigen Bausteine enthalten je einen der typischen Fehler.