sin(x) und cos(x): Textaufgaben – Mathe Klasse 11

Kolben im Zweizylindermotor

AFB I

In einem Zweizylindermotor läuft der zweite Kolben dem ersten um eine Viertelumdrehung hinterher. Bezeichnet $x$ den Kurbelwinkel im Bogenmaß, so beschreiben $$h_{1}(x)=4\cdot\cos(x)\qquad\text{und}\qquad h_{2}(x)=4\cdot\cos\left(x-\tfrac{1}{2}\pi\right),\qquad [h_{1}]=[h_{2}]=\mathrm{cm},$$ die Auslenkung der beiden Kolben aus ihrer Mittellage. Ein positiver Wert bedeutet, dass der Kolben oberhalb der Mittellage steht, ein negativer Wert, dass er darunter steht.

Berechne die Auslenkungen $h_{1}(x)$ und $h_{2}(x)$ für die Kurbelwinkel $x=0$, $x=\tfrac{1}{2}\pi$, $x=\pi$ und $x=\tfrac{3}{2}\pi$.
Gib an einen Term für $h_{2}$, in dem weder eine Klammer noch der Cosinus vorkommt.
Beschreibe was der Unterschied von $\tfrac{1}{2}\pi$ im Term für die Bewegung der beiden Kolben bedeutet.

Hinweis zu Aufgabe a)

Rechne bei $h_{2}$ immer zuerst die Klammer aus, bevor du den Cosinuswert bestimmst — für $x=0$ steht dort $-\tfrac{1}{2}\pi$.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Wert und Einheit zum Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Einsetzen in $h_{1}(x)=4\cdot\cos(x)$:

$h_{1}(0)=4\cdot\cos(0)=4\cdot 1=4$, also $4\,\mathrm{cm}$.
$h_{1}\left(\tfrac12\pi\right)=4\cdot 0=0$, also $0\,\mathrm{cm}$.
$h_{1}(\pi)=4\cdot(-1)=-4$, also $-4\,\mathrm{cm}$.
$h_{1}\left(\tfrac32\pi\right)=4\cdot 0=0$, also $0\,\mathrm{cm}$.

Bei $h_{2}$ wird zuerst die Klammer ausgerechnet:

$h_{2}(0)=4\cdot\cos\left(0-\tfrac12\pi\right)=4\cdot\cos\left(-\tfrac12\pi\right)=4\cdot 0=0$, also $0\,\mathrm{cm}$.
$h_{2}\left(\tfrac12\pi\right)=4\cdot\cos(0)=4\cdot 1=4$, also $4\,\mathrm{cm}$.
$h_{2}(\pi)=4\cdot\cos\left(\tfrac12\pi\right)=4\cdot 0=0$, also $0\,\mathrm{cm}$.
$h_{2}\left(\tfrac32\pi\right)=4\cdot\cos(\pi)=4\cdot(-1)=-4$, also $-4\,\mathrm{cm}$.

Kolben 2 durchläuft dieselbe Wertefolge wie Kolben 1, nur jeweils eine Viertelumdrehung später.

Hinweis zu Aufgabe b)

Nutze den Merksatz $\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)=\sin(x)$ und lass den Faktor $4$ unangetastet.„Gib an“ verlangt nur das Ergebnis, hier also den fertigen Term ohne Herleitung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Nach dem Merksatz gilt $\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)=\sin(x)$, also $$h_{2}(x)=4\cdot\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)=4\cdot\sin(x).$$

Probe bei $x=\tfrac12\pi$: $4\cdot\sin\left(\tfrac12\pi\right)=4\cdot 1=4$ — genau der in Teilaufgabe a) berechnete Wert $4\,\mathrm{cm}$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Vergleiche, bei welchem Kurbelwinkel jeder der beiden Kolben seinen höchsten Punkt erreicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Kolben 1 steht bei $x=0$ ganz oben $\left(4\,\mathrm{cm}\right)$, Kolben 2 erst bei $x=\tfrac12\pi$. Der zweite Kolben erreicht jede Stellung also um $\tfrac12\pi$ später als der erste.

$\tfrac12\pi$ ist ein Viertel der vollen Umdrehung $2\pi$ — der Versatz beträgt also eine Viertelumdrehung der Kurbelwelle.

Im Schaubild bedeutet das: Die Kurve von $h_{2}$ ist die um $\tfrac12\pi$ nach rechts verschobene Kurve von $h_{1}$. Wenn der eine Kolben in einem Umkehrpunkt steht, durchläuft der andere gerade seine Mittellage.

Zwei Mikrofone im Tonstudio

AFB II

Zwei Messmikrofone stehen vor einer Lautsprecherbox, und zwar so, dass ihr Abstand genau ein Viertel der Wellenlänge des abgestrahlten Tons beträgt. Für die Auslenkung der beiden Membranen aus der Ruhelage gilt in Abhängigkeit vom Phasenwinkel $x$ im Bogenmaß $$A(x)=12\cdot\sin(x)\qquad\text{und}\qquad B(x)=12\cdot\cos(x),\qquad [A]=[B]=\mu\mathrm{m}.$$ Eine volle Schwingung entspricht $x$ von $0$ bis $2\pi$.

Ermittle einen Term für $B$, in dem statt des Cosinus die Sinusfunktion steht.
Berechne die Auslenkungen $A(0{,}4)$, $B(0{,}4)$ und $A\left(0{,}4+\tfrac{1}{2}\pi\right)$. Verwende dabei nur die Angaben $\sin(0{,}4)\approx 0{,}389$ und $\cos(0{,}4)\approx 0{,}921$.
Bestimme die Stelle im Intervall von $0$ bis $2\pi$, an der die Membran $A$ am weitesten in positiver Richtung ausgelenkt ist, und gib die Auslenkung von $B$ an derselben Stelle an.
Überprüfe die Behauptung eines Praktikanten, die Membran $B$ hinke der Membran $A$ um $\tfrac{1}{2}\pi$ hinterher.

Hinweis zu Aufgabe a)

Der Merksatz $\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)=\sin(x)$ gilt für jede Zahl. Setze darin $x+\tfrac12\pi$ anstelle von $x$ ein.„Ermittle“ verlangt, dass du den Zusammenhang herleitest und das Ergebnis angibst.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Im Merksatz $\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)=\sin(x)$ darf für $x$ jede Zahl stehen, also auch $x+\tfrac12\pi$: $$\cos\left(x+\tfrac12\pi-\tfrac12\pi\right)=\sin\left(x+\tfrac12\pi\right).$$ Links bleibt $\cos(x)$ übrig, damit gilt $\cos(x)=\sin\left(x+\tfrac12\pi\right)$.

Ergebnis: $$B(x)=12\cdot\sin\left(x+\tfrac12\pi\right).$$

Probe bei $x=0$: $12\cdot\sin\left(\tfrac12\pi\right)=12$ und $12\cdot\cos(0)=12$ — beide Terme liefern denselben Wert.

Hinweis zu Aufgabe b)

Für den dritten Wert brauchst du keinen Taschenrechner: Nach Teilaufgabe a) gilt $\sin\left(x+\tfrac12\pi\right)=\cos(x)$.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

$A(0{,}4)=12\cdot\sin(0{,}4)\approx 12\cdot 0{,}389=4{,}668$, also rund $4{,}67\,\mu\mathrm{m}$.

$B(0{,}4)=12\cdot\cos(0{,}4)\approx 12\cdot 0{,}921=11{,}052$, also rund $11{,}05\,\mu\mathrm{m}$.

$A\left(0{,}4+\tfrac12\pi\right)=12\cdot\sin\left(0{,}4+\tfrac12\pi\right)=12\cdot\cos(0{,}4)\approx 11{,}052$, also ebenfalls rund $11{,}05\,\mu\mathrm{m}$.

Deutung: Membran $A$ erreicht um $\tfrac12\pi$ später genau die Auslenkung, die Membran $B$ schon jetzt hat.

Hinweis zu Aufgabe c)

Der größte Wert der Sinusfunktion ist $1$; suche die zugehörige Stelle im Schaubild der Sinuskurve.„Bestimme“ verlangt einen dargestellten Lösungsweg und ein formuliertes Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

$A(x)=12\cdot\sin(x)$ wird am größten, wenn $\sin(x)$ seinen größten Wert $1$ annimmt. Zwischen $0$ und $2\pi$ ist das nur bei $x=\tfrac12\pi$ der Fall.

Dort gilt $A\left(\tfrac12\pi\right)=12\cdot 1=12$, also $12\,\mu\mathrm{m}$.

An derselben Stelle ist $B\left(\tfrac12\pi\right)=12\cdot\cos\left(\tfrac12\pi\right)=12\cdot 0=0$, also $0\,\mu\mathrm{m}$.

Deutung: Genau dann, wenn die eine Membran am weitesten ausgelenkt ist, durchläuft die andere ihre Ruhelage.

Hinweis zu Aufgabe d)

Schreibe $B(x)$ mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe a) und vergleiche es mit $A\left(x+\tfrac12\pi\right)$.„Überprüfe“ verlangt am Ende ein klares Urteil: Die Behauptung ist zutreffend oder nicht zutreffend.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Nach Teilaufgabe a) gilt $B(x)=12\cdot\sin\left(x+\tfrac12\pi\right)=A\left(x+\tfrac12\pi\right)$.

Membran $B$ zeigt an der Stelle $x$ also bereits den Wert, den Membran $A$ erst bei $x+\tfrac12\pi$ erreicht. Auch die Hochpunkte belegen das: $B$ ist bei $x=0$ maximal ausgelenkt, $A$ erst bei $x=\tfrac12\pi$.

Die Behauptung ist damit nicht zutreffend. Richtig ist die umgekehrte Aussage: $B$ eilt $A$ um $\tfrac12\pi$ voraus, also um eine Viertelschwingung.

Strom am Kondensator

AFB II

In einem Praktikumsversuch liegt an einem Kondensator eine Wechselspannung. Spannung und Stromstärke hängen vom Phasenwinkel $x$ im Bogenmaß ab: $$u(x)=12\cdot\sin(x),\quad [u]=\mathrm{V}\qquad\text{und}\qquad i(x)=0{,}4\cdot\cos(x),\quad [i]=\mathrm{A}.$$ Eine volle Periode von $x=0$ bis $x=2\pi$ dauert $20\,\mathrm{ms}$. Negative Werte bedeuten die jeweils umgekehrte Richtung.

Berechne die Spannung $u(x)$ und die Stromstärke $i(x)$ für $x=0$, $x=\tfrac{1}{2}\pi$ und $x=\pi$.
Zeige dass sich die Stromstärke auch in der Form $i(x)=0{,}4\cdot\sin\left(x+\tfrac{1}{2}\pi\right)$ schreiben lässt.
Bestimme alle Stellen $x$ im Intervall von $0$ bis $2\pi$, an denen die Spannung null ist, und gib dort jeweils die Stromstärke an.
Erkläre warum man in der Elektrotechnik sagt, der Strom eile der Spannung um eine Viertelperiode voraus.

Hinweis zu Aufgabe a)

Lies zuerst den jeweiligen Sinus- bzw. Cosinuswert an der markanten Stelle ab und multipliziere ihn dann mit dem Faktor davor.Beim Operator „Berechne“ gehört die Einheit zwingend zum Ergebnis — hier Volt und Ampere.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$x=0$: $u(0)=12\cdot\sin(0)=12\cdot 0=0$, also $0\,\mathrm{V}$; $i(0)=0{,}4\cdot\cos(0)=0{,}4\cdot 1=0{,}4$, also $0{,}4\,\mathrm{A}$.

$x=\tfrac12\pi$: $u=12\cdot 1=12$, also $12\,\mathrm{V}$; $i=0{,}4\cdot 0=0$, also $0\,\mathrm{A}$.

$x=\pi$: $u=12\cdot 0=0$, also $0\,\mathrm{V}$; $i=0{,}4\cdot(-1)=-0{,}4$, also $-0{,}4\,\mathrm{A}$.

Auffällig: Immer wenn die eine Größe null ist, hat die andere gerade ihren größten Betrag.

Hinweis zu Aufgabe b)

Setze im Merksatz $\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)=\sin(x)$ für $x$ den Ausdruck $x+\tfrac12\pi$ ein und rechne die Klammer aus.„Zeige“ verlangt eine vollständige Begründung durch Rechnung — ein einzelnes Beispiel genügt nicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Merksatz $\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)=\sin(x)$ gilt für jede Zahl. Mit $x+\tfrac12\pi$ anstelle von $x$ folgt $$\cos\left(x+\tfrac12\pi-\tfrac12\pi\right)=\sin\left(x+\tfrac12\pi\right),\qquad\text{also}\qquad \cos(x)=\sin\left(x+\tfrac12\pi\right).$$

Multiplikation mit $0{,}4$ liefert $$i(x)=0{,}4\cdot\cos(x)=0{,}4\cdot\sin\left(x+\tfrac12\pi\right)$$ für alle $x$.

Kontrolle mit den Werten aus a): $0{,}4\cdot\sin\left(0+\tfrac12\pi\right)=0{,}4\,\mathrm{A}$ und $0{,}4\cdot\sin\left(\tfrac12\pi+\tfrac12\pi\right)=0{,}4\cdot\sin(\pi)=0\,\mathrm{A}$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Setze $u(x)=0$ und überlege, wo die Sinuskurve zwischen $0$ und $2\pi$ ihre Nullstellen hat.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: $u(x)=0$, also $12\cdot\sin(x)=0$. Wegen $12\ne 0$ folgt $\sin(x)=0$.

Im Intervall von $0$ bis $2\pi$ hat die Sinuskurve die Nullstellen $x=0$, $x=\pi$ und $x=2\pi$.

Zugehörige Stromstärken: $i(0)=0{,}4\cdot 1=0{,}4\,\mathrm{A}$, $i(\pi)=0{,}4\cdot(-1)=-0{,}4\,\mathrm{A}$, $i(2\pi)=0{,}4\cdot 1=0{,}4\,\mathrm{A}$.

Deutung: Immer dann, wenn die Spannung gerade durch null geht, fließt der betragsmäßig größte Strom $\left(0{,}4\,\mathrm{A}\right)$. Das ist typisch für den Kondensator.

Hinweis zu Aufgabe d)

Vergleiche, bei welchem $x$ die Stromkurve und bei welchem $x$ die Spannungskurve ihren Hochpunkt hat, und rechne den Abstand in Millisekunden um.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Stromkurve $i(x)=0{,}4\cdot\cos(x)$ hat ihren Hochpunkt bei $x=0$, die Spannungskurve $u(x)=12\cdot\sin(x)$ erst bei $x=\tfrac12\pi$. Der Strom erreicht seinen Größtwert also um $\tfrac12\pi$ früher.

Wegen $\tfrac12\pi:2\pi=\tfrac14$ ist das genau eine Viertelperiode. Bei einer Periodendauer von $20\,\mathrm{ms}$ sind das $20\,\mathrm{ms}:4=5\,\mathrm{ms}$.

Derselbe Sachverhalt steckt im Term aus Teilaufgabe b): In $i(x)=0{,}4\cdot\sin\left(x+\tfrac12\pi\right)$ sorgt das Plus in der Klammer für eine Verschiebung der Sinuskurve um $\tfrac12\pi$ nach links — die Stromkurve ist der Spannungskurve damit um $\tfrac12\pi$ voraus.

Saisongeschäft im Gartencenter

AFB II

Ein Gartencenter setzt im Jahresmittel $80$ Tausend Euro pro Monat um. Die Abweichung von diesem Mittelwert beschreibt die Buchhaltung durch $$U(x)=30\cdot\cos\left(x-\tfrac{1}{2}\pi\right).$$ Dabei ist $U(x)$ die Abweichung in Tausend Euro. Das Intervall von $x=0$ bis $x=2\pi$ entspricht einem vollen Jahr, $x=0$ steht für den 1. Januar; ein Viertel des Intervalls sind also drei Monate.

Ermittle einen Term für $U$, der ohne Klammer auskommt.
Berechne die Abweichung $U(x)$ und den zugehörigen Monatsumsatz für $x=\tfrac{1}{2}\pi$, $x=\pi$ und $x=\tfrac{3}{2}\pi$.
Bestimme die Zeitpunkte im Jahr, zu denen das Modell den größten und den kleinsten Monatsumsatz vorhersagt, und gib die Differenz der beiden Umsätze an.
Überprüfe die Behauptung eines Praktikanten, der Term $30\cdot\cos\left(x+\tfrac{1}{2}\pi\right)$ beschreibe dieselbe Kurve.

Hinweis zu Aufgabe a)

In der Klammer steht genau die Verschiebung um $\tfrac12\pi$ nach rechts, für die der Merksatz gilt. Der Faktor $30$ bleibt unverändert.„Ermittle“ verlangt, dass du den Zusammenhang findest und das Ergebnis formulierst.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Nach dem Merksatz gilt $\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)=\sin(x)$, also $$U(x)=30\cdot\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)=30\cdot\sin(x).$$

Probe bei $x=\tfrac12\pi$: links $30\cdot\cos\left(\tfrac12\pi-\tfrac12\pi\right)=30\cdot\cos(0)=30$, rechts $30\cdot\sin\left(\tfrac12\pi\right)=30$. Beide Terme stimmen überein.

Hinweis zu Aufgabe b)

Rechne mit dem klammerfreien Term aus Teilaufgabe a) und addiere die Abweichung anschließend zum Mittelwert $80$ Tausend Euro.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

$U\left(\tfrac12\pi\right)=30\cdot\sin\left(\tfrac12\pi\right)=30\cdot 1=30$: Abweichung $+30$ Tausend Euro, Monatsumsatz $80+30=110$ Tausend Euro.

$U(\pi)=30\cdot\sin(\pi)=30\cdot 0=0$: keine Abweichung, Monatsumsatz $80$ Tausend Euro.

$U\left(\tfrac32\pi\right)=30\cdot\sin\left(\tfrac32\pi\right)=30\cdot(-1)=-30$: Abweichung $-30$ Tausend Euro, Monatsumsatz $80-30=50$ Tausend Euro.

Hinweis zu Aufgabe c)

Der Hochpunkt der Sinuskurve liegt bei $\tfrac12\pi$, der Tiefpunkt bei $\tfrac32\pi$. Rechne diese Stellen in Monate um: $2\pi$ entspricht zwölf Monaten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Größter Umsatz bei $\sin(x)=1$, also bei $x=\tfrac12\pi$. Wegen $\tfrac12\pi:2\pi=\tfrac14$ ist das nach einem Vierteljahr, also Anfang April: $80+30=110$ Tausend Euro.

Kleinster Umsatz bei $\sin(x)=-1$, also bei $x=\tfrac32\pi$. Wegen $\tfrac32\pi:2\pi=\tfrac34$ ist das nach drei Vierteljahren, also Anfang Oktober: $80-30=50$ Tausend Euro.

Differenz: $110-50=60$ Tausend Euro. Sie ist doppelt so groß wie der Faktor $30$ vor der Winkelfunktion.

Hinweis zu Aufgabe d)

Setze in beiden Termen dieselbe Stelle ein, zum Beispiel $x=\tfrac12\pi$, und achte auf das Vorzeichen in der Klammer.„Überprüfe“ verlangt ein klares Urteil und den Hinweis darauf, woran ein Widerspruch liegt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Probe bei $x=\tfrac12\pi$: Der Praktikantenterm liefert $30\cdot\cos\left(\tfrac12\pi+\tfrac12\pi\right)=30\cdot\cos(\pi)=30\cdot(-1)=-30$. Der Modellterm liefert dort $+30$.

Die beiden Werte unterscheiden sich, die Behauptung ist also nicht zutreffend.

Grund: Ein Plus in der Klammer verschiebt die Kurve nach links, nicht nach rechts. Man erhält dabei $30\cdot\cos\left(x+\tfrac12\pi\right)=-30\cdot\sin(x)$, also die an der $x$-Achse gespiegelte Kurve. Im Sachzusammenhang würde das den größten Umsatz Anfang Oktober und den kleinsten Anfang April vorhersagen — genau verkehrt herum.

Sauerstoff im Flachsee

AFB III

In einem flachen See schwankt der Sauerstoffgehalt im Tagesverlauf: Tagsüber erzeugen die Wasserpflanzen durch Photosynthese Sauerstoff, nachts wird er veratmet. Eine Projektgruppe misst die Abweichung vom Tagesmittel in $\mathrm{mg/l}$. Das Intervall von $x=0$ bis $x=2\pi$ entspricht einem vollen Tag $\left(24\,\mathrm{h}\right)$, dabei steht $x=0$ für $6$ Uhr morgens. Gemessen wurden $0\,\mathrm{mg/l}$ um $6$ Uhr, $3\,\mathrm{mg/l}$ um $12$ Uhr, $0\,\mathrm{mg/l}$ um $18$ Uhr und $-3\,\mathrm{mg/l}$ um $24$ Uhr. Zwei Gruppen schlagen vor: $$f(x)=3\cdot\cos(x)\qquad\text{und}\qquad g(x)=3\cdot\cos\left(x-\tfrac{1}{2}\pi\right).$$

Entscheide begründet, welcher der beiden Vorschläge zu den vier Messwerten passt.
Erläutere wie sich der passende Term mithilfe des Merksatzes ohne Klammer schreiben lässt, und was diese Schreibweise beim Zeichnen der Kurve erspart.
Untersuche ob das Modell die Aussage stützt, der Sauerstoffgehalt sei um $3$ Uhr nachts am niedrigsten.
Beurteile das Modell insgesamt, indem du mindestens zwei Eigenschaften der Sinuskurve mit dem beschriebenen Tagesgang vergleichst.

Hinweis zu Aufgabe a)

Den vier Uhrzeiten gehören der Reihe nach die Stellen $x=0$, $x=\tfrac12\pi$, $x=\pi$ und $x=\tfrac32\pi$. Prüfe zuerst die Stelle $x=0$.„Entscheide“ verlangt, dass du dich nach dem Abwägen klar für eine Möglichkeit festlegst und die Wahl begründest.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Vorschlag $f$: $f(0)=3\cdot\cos(0)=3\cdot 1=3$. Gemessen wurden um $6$ Uhr aber $0\,\mathrm{mg/l}$. Schon der erste Messwert wird verfehlt, $f$ scheidet aus.

Vorschlag $g$:
$g(0)=3\cdot\cos\left(-\tfrac12\pi\right)=3\cdot 0=0$ — passt zu $0\,\mathrm{mg/l}$ um $6$ Uhr.
$g\left(\tfrac12\pi\right)=3\cdot\cos(0)=3\cdot 1=3$ — passt zu $3\,\mathrm{mg/l}$ um $12$ Uhr.
$g(\pi)=3\cdot\cos\left(\tfrac12\pi\right)=3\cdot 0=0$ — passt zu $0\,\mathrm{mg/l}$ um $18$ Uhr.
$g\left(\tfrac32\pi\right)=3\cdot\cos(\pi)=3\cdot(-1)=-3$ — passt zu $-3\,\mathrm{mg/l}$ um $24$ Uhr.

Entscheidung: Nur $g$ beschreibt die Messreihe. Der Unterschied liegt allein in der Verschiebung um $\tfrac12\pi$: Die Cosinuskurve startet oben, die gemessene Kurve startet in der Mitte und steigt.

Hinweis zu Aufgabe b)

Der Merksatz $\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)=\sin(x)$ betrifft genau die Klammer, die in $g$ steht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Nach dem Merksatz gilt $\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)=\sin(x)$, also $$g(x)=3\cdot\cos\left(x-\tfrac12\pi\right)=3\cdot\sin(x).$$

Vorteil beim Zeichnen: In der zweiten Schreibweise steht keine Verschiebung mehr im Term. Man zeichnet einfach die bekannte Sinuskurve und streckt sie mit dem Faktor $3$ in die Höhe. In der ersten Schreibweise müsste man zusätzlich jeden Punkt um $\tfrac12\pi$ nach rechts schieben — ein zweiter Arbeitsschritt und eine zusätzliche Fehlerquelle beim Vorzeichen.

Beide Terme beschreiben dabei dieselbe Kurve; der Merksatz ist keine Näherung, sondern gilt für jedes $x$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Rechne zuerst die Uhrzeit in einen Wert von $x$ um: $3$ Uhr liegt $21$ Stunden nach $6$ Uhr, und $24\,\mathrm{h}$ entsprechen $2\pi$. Es gilt $\sin\left(\tfrac74\pi\right)\approx -0{,}707$.„Untersuche“ verlangt eine planvolle Prüfung mit Rechnung und einer klar formulierten Antwort.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Umrechnung: $3$ Uhr liegt $21\,\mathrm{h}$ nach $6$ Uhr, also $x=\tfrac{21}{24}\cdot 2\pi=\tfrac{7}{4}\pi$.

Funktionswert: $g\left(\tfrac74\pi\right)=3\cdot\sin\left(\tfrac74\pi\right)\approx 3\cdot(-0{,}707)=-2{,}12$, also etwa $-2{,}12\,\mathrm{mg/l}$.

Kleinster Modellwert: Wegen $-1\le\sin(x)\le 1$ gilt $-3\le g(x)\le 3$. Der Wert $-3\,\mathrm{mg/l}$ wird bei $\sin(x)=-1$, also bei $x=\tfrac32\pi$ erreicht. Das sind $\tfrac34\cdot 24\,\mathrm{h}=18\,\mathrm{h}$ nach $6$ Uhr, also $24$ Uhr.

Antwort: Das Modell stützt die Aussage nicht. Es sagt das Minimum für Mitternacht voraus; um $3$ Uhr ist der Gehalt mit $-2{,}12\,\mathrm{mg/l}$ bereits wieder höher als der Tiefstwert $-3\,\mathrm{mg/l}$.

Hinweis zu Aufgabe d)

Denke daran, dass die Sinuskurve ihre Periode in zwei gleich lange Hälften teilt und sich nach $2\pi$ exakt wiederholt — und daran, wie lange die Photosynthese tatsächlich läuft.„Beurteile“ verlangt ein eigenständiges, fachlich begründetes Urteil — hier über die Tragfähigkeit des Modells.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Was das Modell gut trifft: Der Sauerstoffgehalt schwankt um einen Mittelwert, wechselt einmal pro Tag das Vorzeichen der Abweichung und ist nach oben und unten begrenzt, denn aus $-1\le\sin(x)\le 1$ folgt $-3\,\mathrm{mg/l}\le g(x)\le 3\,\mathrm{mg/l}$. Auch die Wiederholung nach $2\pi$ passt zum täglichen Rhythmus, und alle vier Messwerte werden exakt getroffen.

Was das Modell nicht trifft: Die Sinuskurve teilt die Periode in zwei gleich lange Hälften — im Modell dauert die Zunahme von $6$ bis $18$ Uhr genauso lang wie die Abnahme von $18$ bis $6$ Uhr. Tatsächlich hängt die Photosynthese von der Tageslänge ab, die sich mit der Jahreszeit ändert; im Winter ist die sauerstoffliefernde Phase deutlich kürzer. Außerdem verläuft im Modell jeder Tag exakt gleich, während Bewölkung, Wassertemperatur und Algenmenge die Amplitude von Tag zu Tag verändern. Auch das Ergebnis aus Teilaufgabe c) zeigt eine Schwäche: In der Natur liegt das Minimum meist kurz vor Sonnenaufgang, das Modell legt es starr auf Mitternacht.

Urteil: Als grobes Modell für einen wolkenlosen Sommertag ist $g$ brauchbar, weil es Rhythmus, Größenordnung und Vorzeichenwechsel richtig wiedergibt. Für Aussagen über einzelne Nachtstunden oder über andere Jahreszeiten reicht es nicht aus — dafür müssten die Amplitude und die Lage des Tiefpunkts anpassbar sein.

TextaufgabenZusammenhang zwischen sin(x) und cos(x)

Kolben im Zweizylindermotor

Zwei Mikrofone im Tonstudio

Strom am Kondensator

Saisongeschäft im Gartencenter

Sauerstoff im Flachsee