Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDie Definitionen am Einheitskreis, die Wertetabelle für die Viertelumdrehungen und die Wiederholung nach \(360^\circ\).
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Übungsaufgaben
Zwanzig Aufgaben. Zuerst geht es um die Definitionen und die fünf auswendig gelernten Stellen, danach vor allem ums Rechnen: reduzieren, Vorzeichen bestimmen, Terme auswerten und vereinfachen.
1Begriff und BedeutungAFB I
Verbinde jeden Ausdruck mit dem, was er am Einheitskreis bedeutet.
Wähle links einen Eintrag aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts die passende Bedeutung an.
Weil die Hypotenuse im Einheitskreis die Länge \(1\) hat, kürzt sich der Nenner weg: \(\sin(\alpha)\) ist direkt die senkrechte Strecke, \(\cos(\alpha)\) direkt die waagerechte.
2Die Werte auf den AchsenAFB I
Trage die vier Werte ein, die du auswendig kennen musst.
Nur die Zahl eintragen. Enter prüft.
Zeigt der Zeiger nach rechts oder links, ist die senkrechte Strecke verschwunden: \(\sin = 0\). Zeigt er nach oben oder unten, ist die waagerechte Strecke verschwunden: \(\cos = 0\). Das Vorzeichen sagt, auf welcher Seite der Achse die Strecke liegt.
3Den Zeiger nach den Werten setzenAFB II
Drehe den Zeiger jeweils an die beschriebene Stelle. Die Anzeige unter dem Kreis hilft dir dabei.
Zieh den Punkt mit der Maus oder nutze die Pfeiltasten (Tab ins Bild). Enter oder der Knopf setzen den Zeiger.
Die ersten drei Winkel findest du allein über die auswendig gelernten Werte. Der vierte zeigt die Regel dahinter: Das Vorzeichen von \(\sin\) hängt daran, ob der Zeiger oben oder unten steht, das von \(\cos\) daran, ob er rechts oder links steht.
4Was gilt am Zeiger?AFB I
Markiere alle Aussagen, die richtig sind.
Mehrere Antworten können richtig sein.
Der Zeiger ist der Radius des Einheitskreises — er ist immer \(1\) lang, und deshalb kann keine seiner beiden Katheten länger als \(1\) werden. Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber, die Ankathete liegt an.
5Ein Winkel weit über \(360^\circ\)AFB II
Berechne \(\sin(1170^\circ)\). Ziehe dazu zuerst volle Umdrehungen ab.
Nur die Zahl eintragen. Enter prüft.
\(1170^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 1170^\circ - 1080^\circ = 90^\circ\), und \(\sin(90^\circ)=1\). Drei volle Umdrehungen ändern am Wert nichts — der Zeiger steht danach wieder an derselben Stelle.
6Vier Werte nach der ReduktionAFB II
Rechne jeden Winkel auf den Bereich \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) zurück und gib den Funktionswert an.
Nur die Zahl eintragen. Alle vier Felder werden gemeinsam geprüft.
\(450-360=90\), \(540-360=180\), \(-90+360=270\), \(720-720=0\). Damit sind die Werte \(\sin(90^\circ)=1\), \(\cos(180^\circ)=-1\), \(\sin(270^\circ)=-1\) und \(\tan(0^\circ)=0\). Bei negativen Winkeln wird addiert statt subtrahiert.
7Ausdruck und WertAFB II
Finde die fünf Paare. Rechne jeden Ausdruck vorher im Kopf aus.
Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen — sonst drehen sie sich wieder um.
Die vierte Karte ist die interessanteste: \(630^\circ = 360^\circ + 270^\circ\), also liefert sie denselben Wert wie \(270^\circ\), nämlich \(-1\). Und \(\tan(90^\circ)\) scheitert daran, dass der Cosinus dort \(0\) ist.
8Stimmt das?AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie neu.
Zwei Fallen stecken darin: Der Wert \(1{,}4\) ist für Sinus und Cosinus unmöglich, und der Tangens scheitert nur dort, wo der Cosinus null ist — also bei \(90^\circ\) und \(270^\circ\), nicht bei \(180^\circ\).
9Rechenkette: \(\sin(1170^\circ)\) und \(\cos(1170^\circ)\)AFB II
Rechne Schritt für Schritt. Erst wenn ein Schritt stimmt, geht es weiter.
Zahlen ohne Gradzeichen. Enter prüft die aktuelle Zeile.
- Wie viele volle Umdrehungen stecken höchstens in \(1170^\circ\)?
- Rechne \(1170 - 3 \cdot 360 =\)
- Wie groß ist \(\sin\) von diesem Restwinkel?
- Und wie groß ist \(\cos\) von demselben Restwinkel?
Der Rest \(90^\circ\) entscheidet alles: \(\sin(1170^\circ)=\sin(90^\circ)=1\) und \(\cos(1170^\circ)=\cos(90^\circ)=0\). Der Tangens wäre dort übrigens nicht definiert.
10Vorzeichen von Sinus und CosinusAFB II
Sechs Winkel, jeder liegt in einem der vier Quadranten.
Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz.In jeder Zeile gehört genau ein Kreuz.
| \(\sin>0\) und \(\cos>0\) | \(\sin>0\) und \(\cos<0\) | \(\sin<0\) und \(\cos<0\) | \(\sin<0\) und \(\cos>0\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(50^\circ\) | ||||
| \(130^\circ\) | ||||
| \(210^\circ\) | ||||
| \(320^\circ\) | ||||
| \(95^\circ\) | ||||
| \(300^\circ\) |
Denk an den Zeiger: Steht er oberhalb der \(x\)-Achse, ist \(\sin>0\); steht er rechts der \(y\)-Achse, ist \(\cos>0\). Damit ergeben sich die vier Muster \((+,+)\), \((+,-)\), \((-,-)\), \((-,+)\) in den Quadranten I bis IV.
11Rechnen im rechtwinkligen DreieckAFB II
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse \(c = 10\,\text{cm}\) und den Winkel \(\alpha = 37^\circ\). Es gilt \(\sin(37^\circ) \approx 0{,}602\) und \(\cos(37^\circ) \approx 0{,}799\).
Berechne die beiden Katheten und den Tangens. Runde auf zwei Nachkommastellen.Alle drei Felder ausfüllen, dann gemeinsam prüfen.
Gegenkathete \(a =\) cm
Ankathete \(b =\) cm
\(\tan(37^\circ) =\)
Aus \(\sin(\alpha)=\frac{a}{c}\) folgt \(a = c\cdot\sin(\alpha) = 10 \cdot 0{,}602 = 6{,}02\,\text{cm}\), genauso \(b = 10 \cdot 0{,}799 = 7{,}99\,\text{cm}\). Und \(\tan(37^\circ)=\frac{0{,}602}{0{,}799}\approx 0{,}75\) — dasselbe wie \(\frac{a}{b} = \frac{6{,}02}{7{,}99}\). Im Einheitskreis war \(c = 1\); hier ist \(c = 10\), also wird jede Strecke zehnmal so lang.
12Fehlersuche: \(\sin(750^\circ)\)AFB II
Eine Schülerin rechnet \(\sin(750^\circ)\) aus.
Klicke genau die Zeilen an, die falsch sind.Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 3 hört zu früh auf: Man muss so oft \(360^\circ\) abziehen, bis wirklich ein Winkel unter \(360^\circ\) übrig bleibt. Zeile 5 verwechselt Winkelgröße mit Funktionswert — der Sinus bleibt immer im Band von \(-1\) bis \(1\).
13Ist der Tangens definiert?AFB II
Untersucht wird der Winkel \(\alpha = 630^\circ\).
Beantworte die Fragen des Baums, bis er ein Ergebnis liefert.Fall: α = 630°. Beantworte die Fragen nacheinander mit Ja oder Nein.
\(630^\circ - 360^\circ = 270^\circ\) — und dort ist \(\cos(270^\circ)=0\). Deshalb ist \(\tan(630^\circ)\) nicht definiert. Der Baum zeigt die Reihenfolge: erst reduzieren, dann prüfen.
14Zwei negative WinkelAFB II
Berechne beide Werte. Addiere dazu volle Umdrehungen, bis der Winkel im Bereich \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) liegt.
Beide Felder ausfüllen, dann gemeinsam prüfen.
\(-270^\circ + 360^\circ = 90^\circ\), also \(\sin(-270^\circ)=\sin(90^\circ)=1\). Und \(-180^\circ + 360^\circ = 180^\circ\), also \(\cos(-180^\circ)=\cos(180^\circ)=-1\).
15Nach dem Restwinkel ordnenAFB II
Sechs große Winkel.
Rechne jeden auf den Bereich \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) zurück und ordne nach der Größe dieses Restwinkels — vom kleinsten zum größten.Ziehe die Zeilen oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.
1\(730^\circ\)
2\(400^\circ\)
3\(1500^\circ\)
4\(850^\circ\)
5\(2000^\circ\)
6\(1000^\circ\)
Die Restwinkel lauten \(730-720=10\), \(400-360=40\), \(1500-1440=60\), \(850-720=130\), \(2000-1800=200\) und \(1000-720=280\). Der größte Ausgangswinkel liefert also keineswegs den größten Restwinkel — genau darauf zielt diese Aufgabe.
16Ablauf: ein negativer WinkelAFB III
Gesucht ist \(\sin(-990^\circ)\).
Spiele die Rechnung Schritt für Schritt durch.Was ist der nächste richtige Schritt? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Der ganze Trick besteht aus zwei Fragen: Wie viele volle Umdrehungen muss ich addieren oder subtrahieren, und welcher der fünf auswendig gelernten Werte steht am Ende da. Kontrolle: \(-990^\circ + 1080^\circ = 90^\circ\), und \(\sin(90^\circ)=1\).
17Ein Term aus drei WertenAFB III
Berechne den Wert von \(\sin(450^\circ) - \cos(720^\circ) + \tan(180^\circ)\).
Nur die Zahl eintragen. Enter prüft.
Der Reihe nach: \(450-360=90\), also \(\sin(450^\circ)=1\). \(720-720=0\), also \(\cos(720^\circ)=1\). Und \(\tan(180^\circ)=\frac{0}{-1}=0\). Zusammen \(1 - 1 + 0 = 0\). Achte auf das Minuszeichen vor dem Cosinus — es ist die häufigste Fehlerquelle hier.
18Vier Schubladen für zwölf AusdrückeAFB II
Berechne jeden Ausdruck im Kopf und sortiere ihn ein.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs.
1Wert \(1\)
2Wert \(0\)
3Wert \(-1\)
4nicht definiert
Drei Karten muss man erst reduzieren: \(\cos(720^\circ)=\cos(0^\circ)=1\), \(\sin(-90^\circ)=\sin(270^\circ)=-1\) und \(\tan(450^\circ)=\tan(90^\circ)\), also nicht definiert. Der Tangens landet immer dann in der letzten Schublade, wenn der Restwinkel \(90^\circ\) oder \(270^\circ\) ist.
19Einen Term vereinfachenAFB III
Vereinfache \(\tan(x)\cdot\cos(x)\) so weit wie möglich. Im Ergebnis darf nur noch eine Winkelfunktion vorkommen.
Schreibe Winkelfunktionen als
sin(x), cos(x) oder tan(x). Enter prüft.Setze die Definition ein: \(\tan(x)\cdot\cos(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \cos(x) = \sin(x)\). Der Cosinus kürzt sich weg — allerdings nur dort, wo er nicht null ist.
20Wo ist welcher Wert null?AFB III
Ordne jeden Winkel dem Bereich zu, in den er gehört.
Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 \(\sin(\alpha)=0\)
2 \(\cos(\alpha)=0\)
3 keiner der beiden ist \(0\)
Es gibt keinen Winkel, bei dem \(\sin\) und \(\cos\) gleichzeitig null sind — sonst hätte der Zeiger die Länge \(0\) statt \(1\). Deshalb braucht dieses Schaubild keinen Überschneidungsbereich. In der ersten Gruppe ist \(\tan=0\), in der zweiten ist \(\tan\) nicht definiert.