Leiter an der Hauswand
AFB IEine Leiter mit der Länge \(\ell = 4{,}50\,\mathrm{m}\) lehnt an einer senkrechten Hauswand. Zwischen dem waagerechten Boden und der Leiter misst du den Winkel \(\alpha = 68^\circ\). Leiter, Wand und Boden bilden zusammen ein rechtwinkliges Dreieck. Für die Rechnung darfst du \(\sin(68^\circ)\approx 0{,}927\) und \(\cos(68^\circ)\approx 0{,}375\) verwenden.
- Berechne die Höhe \(h\), in der die Leiter die Wand berührt, und den Abstand \(d\) des Leiterfußes von der Wand.
- Gib an welche Strecke des Dreiecks die Hypotenuse ist und welche der beiden übrigen Strecken Gegenkathete bzw. Ankathete des Winkels \(\alpha = 68^\circ\) ist.
- Berechne den Wert von \(\tan(68^\circ)\) aus den beiden angegebenen Werten und anschließend den Quotienten \(h : d\) aus deinen Ergebnissen von Teilaufgabe a).
- Beschreibe warum sowohl die Höhe \(h\) als auch der Abstand \(d\) kleiner als \(4{,}50\,\mathrm{m}\) sein müssen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz über den Sinus: \(\sin(68^\circ)=\frac{h}{\ell}\), also \(h=\ell\cdot\sin(68^\circ)\).
\(h = 4{,}50\,\mathrm{m}\cdot 0{,}927 = 4{,}1715\,\mathrm{m}\approx 4{,}17\,\mathrm{m}\)
Ansatz über den Cosinus: \(\cos(68^\circ)=\frac{d}{\ell}\), also \(d=\ell\cdot\cos(68^\circ)=4{,}50\,\mathrm{m}\cdot 0{,}375 = 1{,}6875\,\mathrm{m}\approx 1{,}69\,\mathrm{m}\).
Die Leiter berührt die Wand in 4,17 m Höhe, ihr Fuß steht 1,69 m von der Wand entfernt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der rechte Winkel liegt zwischen Boden und Wand. Ihm gegenüber liegt die Leiter, sie ist also die Hypotenuse mit \(\ell = 4{,}50\,\mathrm{m}\).
Dem Winkel \(\alpha\) gegenüber liegt die Wandstrecke \(h\) — sie ist die Gegenkathete. Am Winkel \(\alpha\) liegt die Bodenstrecke \(d\) an — sie ist die Ankathete.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\tan(68^\circ)=\frac{\sin(68^\circ)}{\cos(68^\circ)}=\frac{0{,}927}{0{,}375}=2{,}472\)
\(\frac{h}{d}=\frac{4{,}1715\,\mathrm{m}}{1{,}6875\,\mathrm{m}}=2{,}472\)
Beide Wege liefern denselben Wert. Das muss so sein, denn in \(\frac{h}{d}=\frac{\ell\cdot\sin(68^\circ)}{\ell\cdot\cos(68^\circ)}\) kürzt sich die Leiterlänge \(\ell\) heraus. Der Tangens ist genau das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Leiter ist die Hypotenuse und damit die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks. Höhe und Abstand sind die beiden Katheten und deshalb kürzer als die Leiter.
Dasselbe steckt in den Formeln \(h=\ell\cdot\sin(\alpha)\) und \(d=\ell\cdot\cos(\alpha)\): Im Einheitskreis sind \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\alpha)\) die Längen der beiden Katheten bei einer Hypotenuse der Länge \(1\) und damit nie größer als \(1\). Multipliziert man mit \(\ell\), bleibt jede Kathete höchstens so lang wie die Leiter selbst.
Palette auf der Laderampe
AFB IIEine Palette mit der Gewichtskraft \(F_G = 800\,\mathrm{N}\) steht auf einer geneigten Laderampe. Die Gewichtskraft zeigt senkrecht nach unten und wird in zwei Anteile zerlegt: die Hangabtriebskraft \(F_H\) längs der Rampe und die Normalkraft \(F_N\) senkrecht zur Rampenfläche. Bei einem Neigungswinkel \(\alpha\) gilt $$F_H(\alpha)=F_G\cdot\sin(\alpha)\qquad\text{und}\qquad F_N(\alpha)=F_G\cdot\cos(\alpha).$$ Verwende \(\sin(15^\circ)\approx 0{,}259\), \(\cos(15^\circ)\approx 0{,}966\), \(\sin(30^\circ)=0{,}5\) und \(\cos(30^\circ)\approx 0{,}866\).
- Berechne die Hangabtriebskraft und die Normalkraft für die Neigungswinkel \(\alpha = 15^\circ\) und \(\alpha = 30^\circ\).
- Zeige dass der Quotient \(F_H : F_N\) für jeden Neigungswinkel gleich \(\tan(\alpha)\) ist.
- Ermittle die beiden Kräfte für die Grenzfälle \(\alpha = 0^\circ\) und \(\alpha = 90^\circ\) und deren Bedeutung im Sachzusammenhang.
- Begründe warum die Hangabtriebskraft bei \(\alpha = 30^\circ\) genau halb so groß ist wie die Gewichtskraft.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Für \(\alpha = 15^\circ\): \(F_H = 800\,\mathrm{N}\cdot 0{,}259 = 207{,}2\,\mathrm{N}\) und \(F_N = 800\,\mathrm{N}\cdot 0{,}966 = 772{,}8\,\mathrm{N}\).
Für \(\alpha = 30^\circ\): \(F_H = 800\,\mathrm{N}\cdot 0{,}5 = 400\,\mathrm{N}\) und \(F_N = 800\,\mathrm{N}\cdot 0{,}866 = 692{,}8\,\mathrm{N}\).
Deutung: Je steiler die Rampe, desto größer die Hangabtriebskraft und desto kleiner die Normalkraft. Beim Verdoppeln des Winkels von \(15^\circ\) auf \(30^\circ\) wächst \(F_H\) von \(207{,}2\,\mathrm{N}\) auf \(400\,\mathrm{N}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
$$\frac{F_H(\alpha)}{F_N(\alpha)}=\frac{F_G\cdot\sin(\alpha)}{F_G\cdot\cos(\alpha)}=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\tan(\alpha)$$
Die Gewichtskraft \(F_G\) kürzt sich heraus. Das Verhältnis der beiden Kräfte hängt also nur vom Neigungswinkel ab, nicht davon, wie schwer die Palette ist.
Kontrolle mit \(\alpha = 30^\circ\): \(\frac{400\,\mathrm{N}}{692{,}8\,\mathrm{N}}\approx 0{,}577\) und \(\tan(30^\circ)=\frac{0{,}5}{0{,}866}\approx 0{,}577\). Für \(\alpha = 90^\circ\) versagt die Umformung, weil dort \(\cos(90^\circ)=0\) und damit \(F_N = 0\,\mathrm{N}\) ist — genau dort ist auch der Tangens nicht definiert.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Für \(\alpha = 0^\circ\) gilt \(\sin(0^\circ)=0\) und \(\cos(0^\circ)=1\), also \(F_H = 800\,\mathrm{N}\cdot 0 = 0\,\mathrm{N}\) und \(F_N = 800\,\mathrm{N}\cdot 1 = 800\,\mathrm{N}\). Die Rampe liegt waagerecht: Es gibt keinen Hangabtrieb, der Boden trägt die volle Gewichtskraft.
Für \(\alpha = 90^\circ\) gilt \(\sin(90^\circ)=1\) und \(\cos(90^\circ)=0\), also \(F_H = 800\,\mathrm{N}\) und \(F_N = 0\,\mathrm{N}\). Die Rampe steht senkrecht: Es gibt keinen Anpressdruck mehr, die Palette fällt frei nach unten.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Es gilt \(\sin(30^\circ)=0{,}5\). Damit ist \(F_H(30^\circ)=800\,\mathrm{N}\cdot 0{,}5 = 400\,\mathrm{N}\), also genau die Hälfte von \(800\,\mathrm{N}\).
Der Sinus ist im Einheitskreis die Länge der senkrechten Kathete: Bei \(30^\circ\) ist sie halb so lang wie der Zeiger. Weil \(F_H\) genau diesen Anteil der Gewichtskraft ausmacht, gilt die Halbierung unabhängig vom Gewicht der Palette.
Schattenlänge eines Fahnenmastes
AFB IIEin senkrechter Fahnenmast ist \(h = 12\,\mathrm{m}\) hoch und wirft auf dem waagerechten Boden einen Schatten der Länge \(s\). Der Sonnenhöhenwinkel \(\alpha\) ist der Winkel, unter dem die Sonne über dem Horizont steht. Mastspitze, Mastfuß und Schattenende bilden ein rechtwinkliges Dreieck, in dem \(\tan(\alpha)=\frac{h}{s}\) gilt. Verwende \(\tan(20^\circ)\approx 0{,}364\), \(\tan(40^\circ)\approx 0{,}839\) und \(\tan(60^\circ)\approx 1{,}732\).
- Berechne die Schattenlänge des Mastes für die Sonnenhöhenwinkel \(20^\circ\), \(40^\circ\) und \(60^\circ\).
- Erkläre warum die Formel weder für \(\alpha = 0^\circ\) noch für \(\alpha = 90^\circ\) eine Schattenlänge liefert.
- Ermittle die Höhe eines zweiten Mastes, der zur selben Zeit bei \(\alpha = 40^\circ\) einen \(21\,\mathrm{m}\) langen Schatten wirft.
- Begründe warum zwei verschieden hohe Masten zur selben Zeit dasselbe Verhältnis von Höhe zu Schattenlänge haben.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Umstellen: aus \(\tan(\alpha)=\frac{h}{s}\) folgt \(s=\frac{h}{\tan(\alpha)}\).
\(s(20^\circ)=\frac{12\,\mathrm{m}}{0{,}364}\approx 32{,}97\,\mathrm{m}\)
\(s(40^\circ)=\frac{12\,\mathrm{m}}{0{,}839}\approx 14{,}30\,\mathrm{m}\)
\(s(60^\circ)=\frac{12\,\mathrm{m}}{1{,}732}\approx 6{,}93\,\mathrm{m}\)
Je höher die Sonne steht, desto kürzer ist der Schatten.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Für \(\alpha = 0^\circ\) ist \(\tan(0^\circ)=0\). In \(s=\frac{h}{\tan(\alpha)}\) stünde dann eine \(0\) im Nenner, und durch \(0\) darf man nicht teilen. Im Sachzusammenhang steht die Sonne genau am Horizont, ihre Strahlen laufen parallel zum Boden — der Schatten hätte kein Ende.
Für \(\alpha = 90^\circ\) ist \(\cos(90^\circ)=0\), also ist \(\tan(90^\circ)=\frac{\sin(90^\circ)}{\cos(90^\circ)}=\frac{1}{0}\) selbst schon nicht definiert. Die Sonne steht dann senkrecht über dem Mast, der Schatten hat die Länge \(0\,\mathrm{m}\) und das Dreieck fällt in sich zusammen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Umstellen: \(h = s\cdot\tan(\alpha)\).
\(h = 21\,\mathrm{m}\cdot 0{,}839 = 17{,}619\,\mathrm{m}\approx 17{,}62\,\mathrm{m}\)
Der zweite Mast ist rund 17,62 m hoch, also deutlich höher als der \(12\,\mathrm{m}\)-Mast — passend dazu ist auch sein Schatten mit \(21\,\mathrm{m}\) länger als dessen \(14{,}30\,\mathrm{m}\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Für jeden senkrechten Mast gilt \(\frac{h}{s}=\tan(\alpha)\). Zur selben Zeit ist der Sonnenhöhenwinkel \(\alpha\) für beide Masten gleich groß, also ist auch \(\tan(\alpha)\) gleich — und damit das Verhältnis von Höhe zu Schattenlänge.
Kontrolle mit den Zahlen aus a) und c): \(\frac{12\,\mathrm{m}}{14{,}30\,\mathrm{m}}\approx 0{,}839\) und \(\frac{17{,}62\,\mathrm{m}}{21\,\mathrm{m}}\approx 0{,}839\).
Genau darauf beruht die Höhenmessung über den Schatten: Misst du Höhe und Schatten eines kleinen Stabes, kennst du \(\tan(\alpha)\) und kannst damit aus dem Schatten eines Turms dessen Höhe berechnen.
Spannung am Fahrraddynamo
AFB IIEin Nabendynamo erzeugt Strom, indem sich eine Spule im Magnetfeld dreht. Für die erzeugte Spannung gilt in einem einfachen Modell $$U(\alpha)=12\,\mathrm{V}\cdot\sin(\alpha),$$ wobei \(\alpha\) der Drehwinkel der Spule ist. Ein negativer Wert bedeutet, dass die Spannung mit umgekehrter Polung anliegt. Beim Fahren dreht sich die Spule viele Male hintereinander, sodass auch Drehwinkel weit über \(360^\circ\) auftreten.
- Berechne die Spannung für die Drehwinkel \(0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\), \(270^\circ\) und \(360^\circ\).
- Bestimme die Spannung für die Drehwinkel \(\alpha = 990^\circ\) und \(\alpha = -450^\circ\).
- Zeige dass die Spannung nach jeder vollen Umdrehung wieder denselben Wert hat, dass also \(U(\alpha)=U(\alpha+360^\circ)\) gilt.
- Erkläre warum sich aus einer gemessenen Spannung von \(0\,\mathrm{V}\) nicht eindeutig auf die Stellung der Spule schließen lässt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(U(0^\circ)=12\,\mathrm{V}\cdot 0 = 0\,\mathrm{V}\), \(U(90^\circ)=12\,\mathrm{V}\cdot 1 = 12\,\mathrm{V}\), \(U(180^\circ)=12\,\mathrm{V}\cdot 0 = 0\,\mathrm{V}\), \(U(270^\circ)=12\,\mathrm{V}\cdot(-1) = -12\,\mathrm{V}\) und \(U(360^\circ)=12\,\mathrm{V}\cdot 0 = 0\,\mathrm{V}\).
Während einer vollen Umdrehung steigt die Spannung also von \(0\,\mathrm{V}\) auf \(12\,\mathrm{V}\), fällt zurück auf \(0\,\mathrm{V}\), kehrt sich bis \(-12\,\mathrm{V}\) um und ist am Ende wieder \(0\,\mathrm{V}\). Das Vorzeichen gibt die Polung an.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(990^\circ - 2\cdot 360^\circ = 990^\circ - 720^\circ = 270^\circ\), also \(U(990^\circ)=12\,\mathrm{V}\cdot\sin(270^\circ)=12\,\mathrm{V}\cdot(-1)=-12\,\mathrm{V}\).
\(-450^\circ + 2\cdot 360^\circ = -450^\circ + 720^\circ = 270^\circ\), also \(U(-450^\circ)=12\,\mathrm{V}\cdot\sin(270^\circ)=-12\,\mathrm{V}\).
Beide Drehwinkel führen die Spule an dieselbe Stelle. Die Spannung beträgt jeweils \(-12\,\mathrm{V}\), liegt also mit umgekehrter Polung am größtmöglichen Wert an.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Allgemein gilt \(\sin(\alpha)=\sin(\alpha+360^\circ)\), denn nach einer vollen Umdrehung zeigt der Zeiger im Einheitskreis wieder in dieselbe Richtung.
$$U(\alpha+360^\circ)=12\,\mathrm{V}\cdot\sin(\alpha+360^\circ)=12\,\mathrm{V}\cdot\sin(\alpha)=U(\alpha)$$
Der Dynamo liefert also bei jeder Umdrehung denselben Spannungsverlauf — eine Wechselspannung, deren Muster sich alle \(360^\circ\) wiederholt. Kontrolle: \(U(450^\circ)=12\,\mathrm{V}\cdot\sin(450^\circ-360^\circ)=12\,\mathrm{V}\cdot\sin(90^\circ)=12\,\mathrm{V}=U(90^\circ)\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(U(\alpha)=0\,\mathrm{V}\) bedeutet \(\sin(\alpha)=0\). Zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) trifft das auf \(\alpha = 0^\circ\), \(\alpha = 180^\circ\) und \(\alpha = 360^\circ\) zu — die Spule steht dabei in zwei verschiedenen Lagen, die sich um eine halbe Umdrehung unterscheiden.
Weil sich außerdem alles nach \(360^\circ\) wiederholt, kommen alle Winkel der Form \(\alpha = k\cdot 180^\circ\) mit ganzzahligem \(k\) infrage, zum Beispiel auch \(540^\circ\) oder \(-180^\circ\).
Aus dem Messwert allein folgt also keine eindeutige Stellung. Man müsste zusätzlich wissen, wie viele Umdrehungen die Spule bereits hinter sich hat.
Gondel am Riesenrad
AFB IIIEin Riesenrad dreht sich gleichmäßig gegen den Uhrzeigersinn. Eine Gondel erreicht als höchsten Punkt \(53\,\mathrm{m}\) und als tiefsten Punkt \(3\,\mathrm{m}\) über dem Boden. Der Drehwinkel \(\alpha\) wird ab der Stellung gemessen, in der die Gondel auf Höhe der Nabe steht und vom Radmittelpunkt aus nach rechts außen zeigt. Für die Höhe der Gondel über dem Boden setzt man das Modell $$h(\alpha)=h_0+r\cdot\sin(\alpha)$$ an, wobei \(h_0\) die Höhe der Nabe über dem Boden und \(r\) der Radius des Rades ist.
- Ermittle die Werte von \(r\) und \(h_0\) aus den beiden angegebenen Höhen und daraus die vollständige Funktionsgleichung.
- Berechne die Höhe der Gondel über dem Boden für die Drehwinkel \(0^\circ\), \(180^\circ\) und \(450^\circ\).
- Beurteile die Aussage eines Besuchers: „Nach einer Drehung um \(630^\circ\) ist meine Gondel am höchsten Punkt.“
- Untersuche ob sich aus einer gemessenen Gondelhöhe von \(28\,\mathrm{m}\) der Drehwinkel eindeutig bestimmen lässt, und was dem Modell fehlt, um die Höhe zu einem bestimmten Zeitpunkt anzugeben.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Höchster Punkt: \(h_0 + r = 53\,\mathrm{m}\). Tiefster Punkt: \(h_0 - r = 3\,\mathrm{m}\).
Differenz: \(2r = 53\,\mathrm{m} - 3\,\mathrm{m} = 50\,\mathrm{m}\), also \(r = 25\,\mathrm{m}\).
Summe: \(2h_0 = 53\,\mathrm{m} + 3\,\mathrm{m} = 56\,\mathrm{m}\), also \(h_0 = 28\,\mathrm{m}\).
Damit lautet die Funktionsgleichung $$h(\alpha)=28\,\mathrm{m}+25\,\mathrm{m}\cdot\sin(\alpha).$$ Kontrolle: \(h(90^\circ)=28\,\mathrm{m}+25\,\mathrm{m}\cdot 1 = 53\,\mathrm{m}\) und \(h(270^\circ)=28\,\mathrm{m}+25\,\mathrm{m}\cdot(-1) = 3\,\mathrm{m}\) — beides passt zu den Angaben.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(h(0^\circ)=28\,\mathrm{m}+25\,\mathrm{m}\cdot 0 = 28\,\mathrm{m}\)
\(h(180^\circ)=28\,\mathrm{m}+25\,\mathrm{m}\cdot 0 = 28\,\mathrm{m}\)
\(450^\circ - 360^\circ = 90^\circ\), also \(h(450^\circ)=h(90^\circ)=28\,\mathrm{m}+25\,\mathrm{m}\cdot 1 = 53\,\mathrm{m}\).
Bei \(0^\circ\) und \(180^\circ\) steht die Gondel auf Nabenhöhe — einmal rechts, einmal links außen. Nach \(450^\circ\), also nach einer vollen Umdrehung und einer weiteren Viertelumdrehung, ist sie am höchsten Punkt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Reduktion: \(630^\circ - 360^\circ = 270^\circ\), also \(h(630^\circ)=h(270^\circ)\).
\(h(270^\circ)=28\,\mathrm{m}+25\,\mathrm{m}\cdot\sin(270^\circ)=28\,\mathrm{m}+25\,\mathrm{m}\cdot(-1)=3\,\mathrm{m}\)
Die Aussage ist falsch: Nach \(630^\circ\) befindet sich die Gondel mit \(3\,\mathrm{m}\) am tiefsten Punkt, also genau in der Ausstiegsstellung.
Der Denkfehler: Der Besucher schließt von einem großen Drehwinkel auf eine hohe Stellung. Die Größe des Winkels sagt über den Funktionswert aber nichts aus — entscheidend ist allein der Restwinkel nach Abzug der vollen Umdrehungen, und der beträgt hier \(270^\circ\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Aus \(h(\alpha)=28\,\mathrm{m}\) folgt \(25\,\mathrm{m}\cdot\sin(\alpha)=0\,\mathrm{m}\), also \(\sin(\alpha)=0\). Zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) gilt das für \(\alpha = 0^\circ\), \(\alpha = 180^\circ\) und \(\alpha = 360^\circ\); wegen \(\sin(\alpha)=\sin(\alpha+360^\circ)\) kommen beliebig viele weitere Winkel wie \(540^\circ\) oder \(-180^\circ\) hinzu.
Der Drehwinkel ist damit nicht eindeutig bestimmbar: Die Gondel kann rechts oder links außen stehen und beliebig viele Runden hinter sich haben. Die Höhe allein verrät die Stellung nicht.
Dem Modell fehlt außerdem die Zeit: \(h\) hängt nur vom Drehwinkel ab, nicht von der Uhrzeit. Erst mit einer zusätzlichen Angabe wie „das Rad dreht sich in einer Minute einmal herum“ ließe sich aus der verstrichenen Zeit der Winkel und daraus die Höhe berechnen.
Fazit: Als Beschreibung der Höhe in Abhängigkeit von der Stellung ist das Modell brauchbar — es liefert für jeden Winkel den richtigen Wert und gibt die Wiederholung nach jeder vollen Umdrehung korrekt wieder. Für Vorhersagen zu einem Zeitpunkt reicht es dagegen nicht aus.