Potenzfkt.: pos. Exponent: Übungen – Mathe Klasse 11

1Potenzfunktion, Exponentialfunktion oder keines von beidem?AFB I

Neun Funktionsterme sollen einsortiert werden. Entscheidend ist allein, an welcher Stelle das \(x\) steht.

Ordne jeden Term dem Funktionstyp zu, zu dem er gehört.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Potenzfunktion

2Exponentialfunktion

3keines von beidem

Bei einer Potenzfunktion steht das \(x\) unten in der Basis und der Exponent ist eine feste Zahl. Bei einer Exponentialfunktion ist es genau umgekehrt. \(5x+2\) und \(x^{2}+x\) bestehen aus zwei Summanden, und \(7\) enthält überhaupt kein \(x\) — eine Potenzfunktion hat aber genau eine Potenz als Funktionsterm.

2Zwei Wertetabellen ausfüllenAFB I

Gegeben sind \(f(x)=x^{3}\) und \(g(x)=x^{4}\).

Berechne alle acht Funktionswerte. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.

\(x\)	\(f(x)=x^{3}\)	\(g(x)=x^{4}\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0{,}5\)
\(3\)

Der Exponent 3 ist ungerade — das Vorzeichen von \(x\) bleibt erhalten. Der Exponent 4 ist gerade, die Minuszeichen heben sich paarweise auf. Bei \(0{,}5\) werden die Werte kleiner statt größer: \(0{,}5^{3}=0{,}125\) und \(0{,}5^{4}=0{,}0625\).

3Einen Funktionswert berechnenAFB I

Gegeben ist die Potenzfunktion \(f\) mit \(f(x)=x^{5}\).

Berechne den Funktionswert an der Stelle \(-2\).

Trage nur die Zahl ein — Enter prüft.

Fünf Faktoren \((-2)\): \((-2)\cdot(-2)=4\), \(4\cdot(-2)=-8\), \(-8\cdot(-2)=16\), \(16\cdot(-2)=-32\). Der Exponent ist ungerade, also bleibt das Minuszeichen stehen.

4Die Fachbegriffe im SchemaAFB I

Das Schema zeigt die Bausteine, mit denen wir eine Potenzfunktion beschreiben — am Beispiel \(f(x)=x^{3}\) an der Stelle \(2\).

Klicke im Schema jeweils das Feld an, das zur gestellten Frage passt.

Lies die Frage über dem Schema und klicke das passende Feld an. Es kommen fünf Fragen nacheinander.

Die Reihenfolge Basis → Term → Stelle → Wert → Tabelle → Graph beschreibt genau den Weg, den du bei jeder Skizze gehst.

5Einen Funktionswert Schritt für SchrittAFB II

Gesucht ist \(f(-3)\) für \(f(x)=x^{4}\).

Führe die Rechnung Schritt für Schritt durch. Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Enter prüft.

Wie viele Faktoren \((-3)\) werden multipliziert?
Rechne die ersten beiden Faktoren aus: \((-3)\cdot(-3)=\)
Multipliziere mit dem dritten Faktor: \(9\cdot(-3)=\)
Und mit dem vierten: \(-27\cdot(-3)=\)
Damit ist \(f(-3)=\)

Vier Minuszeichen heben sich paarweise auf: \((-3)^{4}=81\). Achte darauf, dass \((-3)^{4}\) und \(-3^{4}=-81\) verschiedene Zahlen sind — die Klammer entscheidet.

6Fünf Potenzen im KopfAFB II

Berechne jede Potenz und trage den Wert ein. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal.

Potenz	\(0{,}5^{4}\)	\((-1)^{7}\)	\((-2)^{6}\)	\(1{,}5^{2}\)	\((-0{,}5)^{3}\)
Wert

\(0{,}5^{4}=0{,}0625\); \((-1)^{7}=-1\), weil 7 ungerade ist; \((-2)^{6}=64\), weil sich sechs Minuszeichen paarweise aufheben; \(1{,}5^{2}=2{,}25\); \((-0{,}5)^{3}=-0{,}125\). Merke: Eine Basis zwischen \(-1\) und \(1\) macht die Potenz kleiner, nicht größer.

7Aussagen prüfenAFB II

Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt. Eine falsche Einschätzung startet die Serie neu.

Fünf Aussagen nacheinander.

Aussage 1 von 5

Drei der fünf Aussagen prüfen dieselbe Kernidee: Der Exponent zählt Faktoren, und seine Parität entscheidet über das Vorzeichen.

8Drei Stellen einer FunktionAFB II

Gegeben ist \(h\) mit \(h(x)=x^{3}\).

Berechne die drei Funktionswerte und trage sie ein.

Alle drei Felder ausfüllen, dann prüfen. Enter prüft ebenfalls.

\(h(-4)=\)\(h(0{,}5)=\)\(h(1{,}5)=\)

\((-4)^{3}=-64\), \(0{,}5^{3}=0{,}125\) und \(1{,}5^{3}=3{,}375\). Zwischen \(-1\) und \(1\) liegen die Funktionswerte näher an der \(x\)-Achse als die Stellen selbst, außerhalb wachsen sie schnell.

9Der Größe nach ordnenAFB II

Ordne die sechs Potenzen der Größe nach — beginnend mit der kleinsten. Rechne dazu jeden Wert zuerst aus.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.

1\((-2)^{3}=-8\)

2\((-1)^{5}=-1\)

3\(0{,}5^{4}=0{,}0625\)

4\(1^{9}=1\)

5\(1{,}5^{3}=3{,}375\)

6\(2^{4}=16\)

Die Reihenfolge lautet \(-8\), \(-1\), \(0{,}0625\), \(1\), \(3{,}375\), \(16\). Der größte Exponent liefert nicht automatisch den größten Wert — entscheidend ist zuerst die Basis.

10Was gilt für \(f(x)=x^{4}\)?AFB II

Wähle alle Aussagen aus, die für die Funktion \(f(x)=x^{4}\) zutreffen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden.

\(f(-2)=(-2)^{4}=16\) — positiv, weil der Exponent gerade ist. Deshalb kommen negative Funktionswerte nie vor und die Wertemenge ist \(\mathbb{R}_{0}^{+}\), nicht \(\mathbb{R}\).

11Eine Potenz mit Bruch als BasisAFB II

Berechne \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\) und gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner ein. Enter prüft.

Beim Potenzieren eines Bruchs werden Zähler und Nenner einzeln potenziert: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{2^{3}}{3^{3}}=\frac{8}{27}\). Der Wert ist kleiner als 1, weil die Basis zwischen 0 und 1 liegt.

12Vier Potenzen, vier WerteAFB II

Diese vier Terme sehen sich ähnlich — sie haben aber vier verschiedene Werte.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz beim richtigen Wert.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.

	\(-16\)	\(-8\)	\(8\)	\(16\)
\((-2)^{3}\)
\(2^{3}\)
\((-2)^{4}\)
\(-2^{4}\)

Nur bei \(-2^{4}\) steht das Minuszeichen vor der Potenz: Erst wird \(2^{4}=16\) gerechnet, dann negiert — also \(-16\). Bei \((-2)^{4}\) gehört das Minus zur Basis und wird viermal mitmultipliziert, das ergibt \(+16\).

13Punkte des Graphen setzenAFB II

Gezeichnet ist der Graph von \(f(x)=x^{2}\).

Berechne zuerst den jeweiligen Funktionswert und setze dann den Punkt.

Klicke ins Koordinatensystem, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

\(f(2)=4\) und \(f(-3)=9\). Die beiden letzten Punkte musst du nie ausrechnen: \(0^{n}=0\) und \(1^{n}=1\) gelten für jeden Exponenten.

14Potenz- und Exponentialfunktion abgrenzenAFB II

Ordne jede Eigenschaft dem Bereich zu, in den sie gehört.

Klicke einen Begriff an (oder wähle ihn mit Enter aus) und klicke dann den passenden Bereich an — alternativ drücke die Ziffer des Bereichs.

1 nur Potenzfunktion

2 nur Exponentialfunktion

3 trifft auf beide zu

Der Unterschied steckt allein in der Position der Variablen. Steht sie unten, ist der Exponent die feste Zahl — Potenzfunktion. Steht sie oben, ist die Basis fest — Exponentialfunktion.

15Den Funktionsterm bestimmenAFB III

Der Graph einer Potenzfunktion \(f\) mit \(f(x)=x^{n}\) verläuft durch \(P(2\,|\,32)\).

Gib den Funktionsterm an. Schreibweise: x^7, Potenzen mit ^.

Gib den Term ein. Potenzen mit ^. Enter prüft.

Aus \(2^{n}=32\) folgt \(n=5\), denn \(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32\). Also ist \(f(x)=x^{5}\). Probe: \(2^{5}=32\) ✓.

16Fehlersuche in einer RechnungAFB III

Eine Schülerin berechnet Funktionswerte von \(f(x)=x^{4}\). Zwei Zeilen sind falsch.

Klicke genau die fehlerhaften Zeilen an.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an.

Der erste Fehler zieht den zweiten nach sich. Wer sich die Regel „gerader Exponent → nie negativ“ merkt, entdeckt beide Fehler sofort, ohne noch einmal zu rechnen.

17Den Exponenten bestimmenAFB III

Der Graph von \(f(x)=x^{n}\) verläuft durch \(P(3\,|\,81)\).

Spiele den Lösungsweg durch — nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Spiele den Lösungsweg Schritt für Schritt durch.

Aus \(81=3^{n}\) folgt \(n=4\). Solche Gleichungen löst du in Klasse 11 noch durch Ausprobieren der Potenzen — ab Kapitel 3 geht es mit dem Logarithmus direkt.

18Welcher Exponent passt?AFB III

Bestimme die natürliche Zahl \(n\), für die \((-2)^{n}=64\) gilt.

Trage nur die Zahl \(n\) ein. Enter prüft.

Die Zweierpotenzen lauten \(2,4,8,16,32,64\) — also ist \(2^{6}=64\). Weil das Ergebnis positiv ist, muss der Exponent gerade sein: \((-2)^{6}=64\) stimmt, während etwa \((-2)^{5}=-32\) negativ wäre.

19Potenz und Wert als PaarAFB II

Finde die fünf Paare aus Potenz und zugehörigem Wert. Du hast 16 Versuche.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen.

Versuche: 0 von 16

Zwei Werte lassen sich ohne Rechnung zuordnen: \((-1)^{8}\) ist wegen des geraden Exponenten 1, und nur \((-2)^{5}\) kann negativ sein.

20Funktionstyp mit dem EntscheidungsbaumAFB II

Gegeben ist \(g(x)=x^{6}\).

Bestimme mit dem Entscheidungsbaum, um welchen Funktionstyp es sich handelt.

Beantworte die Fragen mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Bei \(g(x)=x^{6}\) steht das \(x\) unten, der Term ist eine einzige Potenz und 6 ist gerade — also eine Potenzfunktion mit geradem Exponenten.

Interaktive ÜbungPotenzfunktionen

20 Übungsaufgaben