Potenzfkt.: pos. Exponent: Textaufgaben – Mathe Klasse 11

Quadratische Bodenfliesen

AFB I

Ein Baumarkt verkauft quadratische Bodenfliesen. Die Kantenlänge einer Fliese wird mit $x$ bezeichnet und in Dezimetern angegeben. Für den Flächeninhalt einer Fliese gilt dann $$A(x)=x^{2}\qquad\text{mit}\quad [A]=\mathrm{dm}^{2}.$$

Berechne den Flächeninhalt einer Fliese für die Kantenlängen $x=2$, $x=3$ und $x=5$.
Gib an um welche Potenzfunktion es sich handelt, und benenne dabei Basis und Exponent.
Begründe warum im Sachzusammenhang nur positive Werte für $x$ sinnvoll sind, obwohl der Definitionsbereich der Funktion $D=\mathbb{R}$ lautet.

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze für $x$ nacheinander die drei Zahlen ein. $x^{2}$ bedeutet $x\cdot x$ — also zum Beispiel $2\cdot 2$.Beim Operator „Berechne“ genügt der Rechenweg mit Ergebnis und Einheit.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$A(2)=2^{2}=2\cdot 2=4$, also $4\ \mathrm{dm}^{2}$. $A(3)=3^{2}=9$, also $9\ \mathrm{dm}^{2}$. $A(5)=5^{2}=25$, also $25\ \mathrm{dm}^{2}$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Vergleiche $A(x)=x^{2}$ mit der allgemeinen Form $f(x)=x^{n}$. Was ist hier variabel, was ist fest?„Gib an“ verlangt nur die Angabe ohne Herleitung — dafür aber vollständig, also beide Bezeichnungen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Es handelt sich um die Potenzfunktion mit dem Exponenten $n=2$, also $f(x)=x^{2}$. Die Basis ist die Variable $x$, der Exponent ist die feste Zahl $2$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Frage dich, was eine Fliese mit der Kantenlänge $0$ oder $-3$ Dezimetern bedeuten würde.„Begründe“ heißt: Aussage nennen und Ursache angeben — hier der Unterschied zwischen Rechnung und Sachkontext.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Rein rechnerisch lässt sich jede reelle Zahl einsetzen, denn $(-3)^{2}=9$ ist ein gültiges Ergebnis. Eine Kantenlänge ist jedoch eine Länge und damit nie negativ; für $x=0$ gäbe es überhaupt keine Fliese. Im Sachzusammenhang schränkt man den Definitionsbereich deshalb auf $x>0$ ein — der mathematische Definitionsbereich $D=\mathbb{R}$ bleibt davon unberührt.

Würfelförmiger Regenwassertank

AFB II

Ein Gartencenter bietet würfelförmige Regenwassertanks an. Die Kantenlänge $x$ wird in Dezimetern angegeben. Für das Fassungsvermögen gilt $$V(x)=x^{3}\qquad\text{mit}\quad [V]=\mathrm{dm}^{3}=\ell.$$ Ein Kubikdezimeter entspricht also genau einem Liter.

Berechne das Fassungsvermögen für die Kantenlängen $x=6$, $x=8$ und $x=10$.
Bestimme die kleinste ganzzahlige Kantenlänge in Dezimetern, bei der der Tank mindestens 700 Liter fasst.
Überprüfe die Werbeaussage „Eine um 20 % größere Kante bedeutet 20 % mehr Volumen“ am Beispiel $x=10$.

Hinweis zu Aufgabe a)

$x^{3}$ bedeutet $x\cdot x\cdot x$. Rechne in zwei Schritten: erst $x\cdot x$, dann das Ergebnis noch einmal mal $x$.Die Einheit gehört bei „Berechne“ zwingend zum Ergebnis — hier Liter.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$V(6)=6^{3}=6\cdot 6\cdot 6=216$, also $216\ \ell$. $V(8)=8^{3}=512$, also $512\ \ell$. $V(10)=10^{3}=1000$, also $1000\ \ell$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Probiere ganze Zahlen der Reihe nach aus. Aus Teilaufgabe 1 kennst du $V(8)$ bereits — reicht das schon?„Bestimme“ verlangt einen nachvollziehbaren Lösungsweg, hier also das systematische Ausprobieren mit Begründung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus Teilaufgabe 1 ist $V(8)=512<700$ bekannt — acht Dezimeter reichen also nicht. Für $x=9$ gilt $V(9)=9\cdot 9\cdot 9=729\ \ell$. Wegen $729\ge 700$ ist $x=9\ \mathrm{dm}$ die kleinste passende ganzzahlige Kantenlänge.

Hinweis zu Aufgabe c)

Eine um 20 % größere Kante bedeutet $x=12$. Rechne $V(12)$ aus und vergleiche mit $V(10)$.„Überprüfe“ verlangt am Ende ein klares Urteil: Die Aussage ist zutreffend oder nicht zutreffend.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Eine um 20 % größere Kante bedeutet $x=10\cdot 1{,}2=12$. Damit ist $V(12)=12\cdot 12\cdot 12=1728\ \ell$. Der Zuwachs beträgt $1728-1000=728\ \ell$, bezogen auf die ursprünglichen $1000\ \ell$ also $72{,}8\ \%$. Die Werbeaussage ist damit nicht zutreffend: Weil alle drei Kanten wachsen, wirkt sich der Faktor $1{,}2$ dreifach aus, denn $1{,}2^{3}=1{,}728$.

Speicherbedarf eines Bildes

AFB II

Ein quadratisches Digitalbild besteht aus $n$ Bildpunkten pro Zeile und ebenso vielen pro Spalte. Für jeden Bildpunkt wird genau ein Byte gespeichert. Für den Speicherbedarf gilt $$S(n)=n^{2}\qquad\text{mit}\quad [S]=\text{Byte}.$$

Berechne den Speicherbedarf für $n=512$, $n=1024$ und $n=2048$.
Gib an wie groß der Speicherbedarf für $n=1024$ in Mebibyte ist. Dabei gilt $1\ \mathrm{MiB}=1\,048\,576$ Byte.
Bestimme die kleinste Bildpunktzahl $n$, die ein Vielfaches von 100 ist und für die der Speicherbedarf mindestens 5 000 000 Byte beträgt.

Hinweis zu Aufgabe a)

Rechne schriftlich oder mit dem Taschenrechner $n\cdot n$. Achte darauf, dass sich der Wert bei jeder Verdopplung von $n$ vervierfacht.Ergebnisse dieser Größenordnung schreibt man mit Tausenderabständen, damit sie lesbar bleiben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$S(512)=512^{2}=262\,144$ Byte, $S(1024)=1024^{2}=1\,048\,576$ Byte, $S(2048)=2048^{2}=4\,194\,304$ Byte.

Hinweis zu Aufgabe b)

Vergleiche dein Ergebnis für $n=1024$ direkt mit der angegebenen Zahl 1 048 576.„Gib an“ verlangt hier nur das Ergebnis mit Einheit, keine ausführliche Umrechnung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der berechnete Wert $1\,048\,576$ Byte stimmt genau mit der Angabe für ein Mebibyte überein. Der Speicherbedarf beträgt also $1\ \mathrm{MiB}$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Prüfe der Reihe nach $n=2000$, $n=2100$, $n=2200$, $n=2300$ und schau, wo die Marke von 5 000 000 überschritten wird.„Bestimme“ heißt: Der Weg muss erkennbar sein — hier reicht der Vergleich der beiden entscheidenden Werte.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für $n=2200$ gilt $S(2200)=2200^{2}=4\,840\,000$ Byte. Das liegt noch unter der geforderten Grenze von 5 000 000 Byte. Für $n=2300$ gilt $S(2300)=2300^{2}=5\,290\,000$ Byte. Da $5\,290\,000\ge 5\,000\,000$ ist und $S$ für positive $n$ immer weiter wächst, ist $n=2300$ die gesuchte kleinste Bildpunktzahl.

Drei Größen an einem Würfel

AFB II

An einem Würfel mit der Kantenlänge $x$ (in Zentimetern) betrachtet man drei Größen: die Kantenlänge selbst mit $k(x)=x$, den Flächeninhalt einer Seitenfläche mit $A(x)=x^{2}$ und das Volumen mit $V(x)=x^{3}$. Alle drei sind Potenzfunktionen — sie unterscheiden sich nur im Exponenten.

Erstelle eine Wertetabelle mit den drei Größen $k$, $A$ und $V$ für $x=0{,}5$, $x=1$, $x=2$ und $x=3$.
Beschreibe wie sich die drei Werte für $x=0{,}5$ und für $x=3$ der Größe nach zueinander verhalten, und erkläre den Unterschied.
Bestimme die Kantenlänge, für die die Maßzahl des Volumens 1000 beträgt, und gib zusätzlich die Maßzahl der Seitenfläche an.

Hinweis zu Aufgabe a)

Berechne für jede Stelle zuerst $x^{2}$ und multipliziere das Ergebnis dann noch einmal mit $x$, um $x^{3}$ zu erhalten.„Erstelle“ verlangt eine vollständige, übersichtlich beschriftete Tabelle mit allen geforderten Werten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Für $x=0{,}5$: $k=0{,}5$; $A=0{,}5^{2}=0{,}25$; $V=0{,}5^{3}=0{,}125$. Für $x=1$: $k=1$; $A=1$; $V=1$. Für $x=2$: $k=2$; $A=4$; $V=8$. Für $x=3$: $k=3$; $A=9$; $V=27$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Sortiere die drei Zahlen einer Spalte der Größe nach. Vergleiche die Reihenfolge bei $x=0{,}5$ mit der bei $x=3$.„Erkläre“ verlangt mehr als das Beobachten: Nenne die Ursache — hier das Multiplizieren mit einer Zahl unter beziehungsweise über eins.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für $x=0{,}5$ gilt $V<A<k$, also $0{,}125<0{,}25<0{,}5$ — die Größe mit dem größten Exponenten liefert hier den kleinsten Wert. Für $x=3$ gilt umgekehrt $k<A<V$, also $3<9<27$. Die Ursache: Bei $x=0{,}5$ multipliziert man wiederholt mit einer Zahl unter eins, das Ergebnis wird also mit jedem weiteren Faktor kleiner. Bei $x=3$ multipliziert man mit einer Zahl über eins, das Ergebnis wächst. Genau bei $x=1$ sind alle drei Werte gleich — das ist der gemeinsame Punkt $P(1\,|\,1)$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Suche die Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert 1000 ergibt. Denke an Zehnerpotenzen.„Bestimme“ verlangt einen nachvollziehbaren Weg, hier also die Probe $10^{3}=1000$.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Gesucht ist die Zahl $x$ mit $x^{3}=1000$. Wegen $10^{3}=10\cdot 10\cdot 10=1000$ ist $x=10$. Die Kantenlänge beträgt also $10\ \mathrm{cm}$. Für die Seitenfläche gilt dann $A(10)=10^{2}=100$, also $100\ \mathrm{cm}^{2}$.

Ein vierstelliger Zahlencode

AFB III

Ein Fahrradschloss besitzt vier Ringe. Auf jedem Ring stehen $x$ verschiedene Zeichen, und jedes Zeichen darf mehrfach vorkommen. Für die Anzahl der möglichen Codes gilt $$N(x)=x^{4}.$$

Berechne die Anzahl der möglichen Codes für $x=5$ und für $x=10$.
Bestimme die kleinste Anzahl $x$ von Zeichen pro Ring, für die es mehr als 100 000 verschiedene Codes gibt.
Erläutere den Unterschied zur Funktion $M(k)=10^{k}$, die die Anzahl der Codes bei $k$ Ringen mit je zehn Zeichen angibt, und ordne beide Funktionen ihrem Funktionstyp zu.

Hinweis zu Aufgabe a)

$x^{4}$ bedeutet $x\cdot x\cdot x\cdot x$. Praktisch: Rechne erst $x^{2}$ und quadriere dieses Zwischenergebnis noch einmal.Bei „Berechne“ gehören Rechenweg und Ergebnis dazu, hier ohne Einheit, da es sich um eine Anzahl handelt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$N(5)=5^{4}=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625$ mögliche Codes. $N(10)=10^{4}=10\,000$ mögliche Codes.

Hinweis zu Aufgabe b)

Taste dich schrittweise heran. Ein guter Startwert ist $x=15$; wenn das zu wenig ist, gehe weiter nach oben.„Bestimme“ verlangt, dass die entscheidende Grenze belegt wird — es genügen also die beiden Werte um sie herum.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für $x=17$ gilt $17^{4}=17^{2}\cdot 17^{2}=289\cdot 289=83\,521$. Das sind noch weniger als 100 000 Codes. Für $x=18$ gilt $18^{4}=324\cdot 324=104\,976$. Wegen $104\,976>100\,000$ und weil $N$ für wachsende positive $x$ immer größer wird, sind mindestens $x=18$ Zeichen pro Ring nötig.

Hinweis zu Aufgabe c)

Schau in beiden Termen nach, an welcher Stelle die Variable steht: einmal unten, einmal oben.„Erläutere“ verlangt eine Erklärung in ganzen Sätzen mit Bezug auf den Sachzusammenhang, nicht nur Stichworte.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Bei $N(x)=x^{4}$ ist die Anzahl der Zeichen pro Ring variabel, während die Anzahl der Ringe mit vier fest vorgegeben ist; die Variable steht daher in der Basis. Bei $M(k)=10^{k}$ ist es genau umgekehrt: Die Zeichenzahl ist mit zehn fest, verändert wird die Anzahl der Ringe; die Variable steht im Exponenten. $N$ ist damit eine Potenzfunktion mit dem natürlichen Exponenten $4$, $M$ dagegen eine Exponentialfunktion zur festen Basis $10$. Dass $N(10)=10^{4}=10\,000$ und $M(4)=10^{4}=10\,000$ denselben Wert liefern, ist kein Widerspruch: An dieser einen Stelle stimmen Basis und Exponent zufällig überein — die Rollen von Variable und fester Zahl sind aber vertauscht.

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Drei Größen an einem Würfel

Ein vierstelliger Zahlencode