Potenzfkt.: neg. Exponent: Übungen – Mathe Klasse 11

1Das Potenzgesetz zusammenbauenAFB I

Im Vorrat liegen sieben Bausteine — drei davon werden nicht gebraucht.

Baue aus den Bausteinen das Potenzgesetz für negative Exponenten zusammen, so wie es auf der Erklärseite steht.

Klicke die Bausteine der Reihe nach an — sie wandern von links nach rechts in den Bauplan. Ein Klick auf einen Baustein im Bauplan legt ihn wieder zurück.

Es gilt \(x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}\) mit \(n\in\mathbb{N}\) und \(x\neq 0\). Das Minuszeichen im Exponenten sagt nur, dass die Potenz in den Nenner wandert — es macht das Ergebnis nicht negativ. Die Bedingung \(x\neq 0\) steht nicht zufällig dabei: Rechts steht ein Bruch, und ein Nenner darf niemals null werden.

2Ein Bruch als BasisAFB II

Berechne \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\) und gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner ein. Enter prüft.

Zuerst in die Bruchschreibweise: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}=\frac{1}{\frac{4}{9}}\). Durch einen Bruch teilt man, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert — also ist das Ergebnis \(\frac{9}{4}=2{,}25\). Merke: Beim Bruch als Basis dreht ein negativer Exponent den Bruch einfach um.

3Zwei Wertetabellen ausfüllenAFB I

Gegeben sind \(f_{1}(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}\) und \(f_{2}(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\). Die Stelle \(x=0\) fehlt in der Tabelle — sie gehört nicht zur Definitionsmenge.

Berechne alle zehn Funktionswerte. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.

\(x\)	\(f_{1}(x)=x^{-1}\)	\(f_{2}(x)=x^{-2}\)
\(-2\)
\(-1\)
\(-0{,}5\)
\(0{,}5\)
\(2\)

Jeder Wert entsteht als Kehrwert: \((-0{,}5)^{-1}=\frac{1}{-0{,}5}=-2\) und \((-0{,}5)^{-2}=\frac{1}{0{,}25}=4\). Bei \(x^{-1}\) ist der Exponent ungerade, der Funktionswert behält also das Vorzeichen von \(x\); bei \(x^{-2}\) ist er gerade, jeder Wert ist positiv. Beachte auch: Zwischen \(-1\) und \(1\) werden die Beträge größer, außerhalb kleiner.

4Die Fachbegriffe im ZusammenhangAFB II

Fülle den Lückentext mit den passenden Fachbegriffen. Drei Wörter der Wortbank bleiben übrig.

Wähle ein Wort und klicke dann die passende Lücke an — oder umgekehrt.

Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der der Potenz mit dem entsprechenden positiven Exponenten; die Potenz wandert dabei in den des Bruchs. Weil dort niemals null stehen darf, gehört die Stelle \(x=0\) nicht zur Definitionsmenge — sie ist eine . Weil die Funktionswerte dort über jede Grenze wachsen, heißt sie sogar . Die Geraden \(x=0\) und \(y=0\), denen sich der Graph immer weiter nähert, ohne sie zu erreichen, nennt man . Deshalb zerfällt der Graph in zwei getrennte , und die entstehende Kurvenform heißt .

Die Kette ist immer dieselbe: negativer Exponent → Kehrwert → Potenz im Nenner → Nenner darf nicht null sein → \(x=0\) ist Definitionslücke und sogar Polstelle. Sichtbar wird das an den beiden Asymptoten und den zwei Ästen der Hyperbel. Zähler, Parabel und Ursprung passen nicht: Im Zähler steht die 1, die Kurve ist keine Parabel, und der Ursprung liegt gerade nicht auf dem Graphen.

5Eine negative Basis Schritt für SchrittAFB II

Gesucht ist \((-0{,}5)^{-3}\).

Führe die Rechnung Schritt für Schritt durch. Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Enter prüft.

Welcher Exponent steht nach dem Umschreiben im Nenner von \(\frac{1}{(-0{,}5)^{\;\square}}\)?
Berechne den Nenner: \((-0{,}5)^{3}=\)
Teile nun: \(\frac{1}{-0{,}125}=\)
Damit ist \((-0{,}5)^{-3}=\)
Und zum Vergleich mit geradem Exponenten: \((-0{,}5)^{-2}=\frac{1}{0{,}25}=\)

Beim Umschreiben wechselt nur das Vorzeichen des Exponenten, die Basis bleibt \(-0{,}5\). Der Nenner \((-0{,}5)^{3}=-0{,}125\) ist negativ, weil der Exponent ungerade ist — also ist auch das Ergebnis \(-8\) negativ. Bei \((-0{,}5)^{-2}\) ist der Nenner \(+0{,}25\) und das Ergebnis \(+4\). Über das Vorzeichen entscheidet also allein der Nenner.

6Eine Stufe der PotenztreppeAFB I

Auf der Potenztreppe der Basis 2 halbiert jede Stufe abwärts den Wert: \(2^{-1}=\frac{1}{2}\), \(2^{-2}=\frac{1}{4}\), \(2^{-3}=\frac{1}{8}\), …

Berechne \(2^{-5}\) als Dezimalzahl.

Trage nur die Zahl ein — Enter prüft.

\(2^{-5}=\frac{1}{2^{5}}=\frac{1}{32}=0{,}03125\). Wer die Treppe weiterzählt, kommt zum selben Ergebnis: \(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32}\) — fünf Halbierungen. Das Ergebnis ist positiv, obwohl der Exponent negativ ist.

7Aussagen prüfenAFB II

Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt. Eine falsche Einschätzung startet die Serie neu.

Fünf Aussagen nacheinander.

Aussage 1 von 5

Zwei Aussagen prüfen dieselbe Kernidee: Das Minuszeichen im Exponenten schickt die Potenz in den Nenner, es kippt kein Vorzeichen. Die beiden letzten Aussagen betreffen die Ränder des Graphen — Polstelle und Asymptote werden nie erreicht.

8Sechs Potenzen als DezimalzahlAFB II

Schreibe jede Potenz zuerst als Bruch \(\frac{1}{x^{n}}\) und teile dann aus.

Berechne jeden Wert und trage ihn ein. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal.

Potenz	\(2^{-1}\)	\(5^{-2}\)	\(10^{-3}\)	\((-2)^{-3}\)	\(0{,}01^{-1}\)	\(0{,}5^{-4}\)
Wert

\(2^{-1}=\frac{1}{2}=0{,}5\); \(5^{-2}=\frac{1}{25}=0{,}04\); \(10^{-3}=\frac{1}{1000}=0{,}001\); \((-2)^{-3}=\frac{1}{-8}=-0{,}125\) — nur hier ist der Nenner negativ; \(0{,}01^{-1}=\frac{1}{0{,}01}=100\) und \(0{,}5^{-4}=\frac{1}{0{,}0625}=16\). Die beiden letzten zeigen, was nahe der Polstelle passiert: Ist die Basis kleiner als 1, wird der Nenner winzig und der Wert größer als 1.

9Vier Potenzen, vier WerteAFB II

Diese vier Terme sehen sich ähnlich — sie haben aber vier verschiedene Werte. Es kommt darauf an, wo das Minuszeichen steht.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz beim richtigen Wert.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.

	\(-8\)	\(-\frac{1}{8}\)	\(\frac{1}{8}\)	\(8\)
\(2^{-3}\)
\((-2)^{-3}\)
\((-2)^{3}\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\)

Zwei Fragen musst du trennen: Das Minus im Exponenten schickt die Potenz in den Nenner, das Minus in der Basis entscheidet über das Vorzeichen. So ist \(2^{-3}=\frac{1}{8}\), \((-2)^{-3}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}\) und \((-2)^{3}=-8\). Bei \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8\) dreht der negative Exponent den Bruch um.

10Den Funktionsterm bestimmenAFB III

Der Graph einer Potenzfunktion \(f\) mit \(f(x)=x^{-n}\) und \(n\in\mathbb{N}\) verläuft durch \(P(2\,|\,0{,}25)\).

Gib den Funktionsterm an. Schreibweise: x^-3 oder 1/x^3.

Gib den Term ein. Potenzen mit ^. Enter prüft.

Der Punkt liefert die Gleichung \(2^{-n}=0{,}25\), also \(\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{4}\) und damit \(2^{n}=4\), das heißt \(n=2\). Der Funktionsterm lautet \(f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\). Probe: \(f(2)=\frac{1}{4}=0{,}25\) ✓.

11Was gilt für \(f(x)=x^{-1}\)?AFB II

Wähle alle Aussagen aus, die für die Funktion \(f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}\) zutreffen. Rechne die Zahlenwerte nach, bevor du klickst.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden.

\(f(-0{,}01)=\frac{1}{-0{,}01}=-100\) und \(f(0{,}5)=\frac{1}{0{,}5}=2\); dagegen ist \(f(-2)=\frac{1}{-2}=-0{,}5\) und nicht \(2\). Weil der Exponent ungerade ist, behält der Funktionswert das Vorzeichen von \(x\) — deshalb gehört \(R(-1\,|\,-1)\) zum Graphen und nicht \(Q(-1\,|\,1)\). Geschnitten wird die \(x\)-Achse nie: \(f(1000)=0{,}001\) ist winzig, aber positiv — \(y=0\) ist waagerechte Asymptote.

12Der Größe nach ordnenAFB II

Ordne die sechs Potenzen der Größe nach — beginnend mit der kleinsten. Rechne dazu jeden Wert zuerst aus.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.

1\((-0{,}5)^{-3}=-8\)

2\((-2)^{-1}=-0{,}5\)

3\((-2)^{-3}=-0{,}125\)

4\(2^{-5}=0{,}03125\)

5\((-2)^{-2}=0{,}25\)

6\(0{,}5^{-2}=4\)

Die Reihenfolge lautet \(-8\), \(-0{,}5\), \(-0{,}125\), \(0{,}03125\), \(0{,}25\), \(4\). Alle Potenzen mit ungeradem Exponenten und negativer Basis sind negativ, alle mit geradem Exponenten positiv. Und Vorsicht bei den negativen Werten: \(-8\) ist kleiner als \(-0{,}125\), obwohl der Betrag größer ist.

13Gerader oder ungerader Exponent?AFB II

Verglichen werden \(f_{2}(x)=x^{-2}\) und \(f_{3}(x)=x^{-3}\).

Ordne jede Eigenschaft dem Bereich zu, in den sie gehört.

Klicke einen Begriff an (oder wähle ihn mit Enter aus) und klicke dann den passenden Bereich an — alternativ drücke die Ziffer des Bereichs.

1 nur \(x^{-2}\)

2 nur \(x^{-3}\)

3 trifft auf beide zu

Rechts der \(y\)-Achse sehen beide Graphen ähnlich aus — links entscheidet die Parität des Exponenten. Bei \(x^{-2}\) ist der Nenner immer positiv, also auch der Funktionswert; bei \(x^{-3}\) ist der Nenner für negatives \(x\) negativ, deshalb \((-0{,}5)^{-3}=\frac{1}{-0{,}125}=-8\). Definitionsmenge, Asymptote und der Punkt \(P(1\,|\,1)\) sind bei jedem \(n\) gleich.

14Fehlersuche in einer RechnungAFB III

Ein Schüler untersucht \(f(x)=x^{-2}\). Zwei Zeilen sind falsch.

Klicke genau die fehlerhaften Zeilen an.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an.

Der erste Fehler ist ein Vorzeichenfehler beim geraden Exponenten, der zweite ein Verstoß gegen die Definitionsmenge. Wer sich merkt „gerader Exponent → nie negativ“ und „durch null geht nie“, findet beide Zeilen sofort. Richtig ist \(f(-0{,}5)=4\), und \(f(0)\) existiert nicht.

15Vier Stellen von \(x^{-3}\)AFB II

Gegeben ist \(f\) mit \(f(x)=x^{-3}=\frac{1}{x^{3}}\).

Berechne die vier Funktionswerte und trage sie ein. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Alle vier Felder ausfüllen, dann prüfen. Enter prüft ebenfalls.

\(f(-1)=\)\(f(-2)=\)\(f(0{,}25)=\)\(f(4)=\)

\((-1)^{-3}=\frac{1}{-1}=-1\) und \((-2)^{-3}=\frac{1}{-8}=-0{,}125\) — beide negativ, weil der Exponent ungerade ist. \(0{,}25^{-3}=\frac{1}{0{,}015625}=64\) und \(4^{-3}=\frac{1}{64}=0{,}015625\). Die letzten beiden Werte sind Kehrwerte voneinander: Weil \(0{,}25=\frac{1}{4}\) ist, tauschen Zähler und Nenner die Rollen.

16Potenz- und Bruchschreibweise verbindenAFB II

Verbinde jede Potenzschreibweise mit der zugehörigen Bruchschreibweise bzw. ihrem Wert.

Klicke links einen Begriff und dann rechts den passenden Partner.

Beim Umschreiben ändert sich nur das Vorzeichen des Exponenten — die Basis bleibt, wie sie ist. Deshalb ist \(x^{-7}=\frac{1}{x^{7}}\) und \(x^{-1}=\frac{1}{x}\), der einfachste Fall. Bei Zahlen kannst du zusätzlich ausrechnen: \(5^{-2}=\frac{1}{25}\), \(10^{-3}=0{,}001\) und \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\).

17Die Bestandteile des HyperbelbildesAFB I

Das Schema sammelt die sieben Bausteine, mit denen wir den Graphen von \(f(x)=x^{-1}\) beschreiben — die Hyperbel mit ihren beiden Ästen.

Klicke im Schema jeweils das Feld an, das zur gestellten Frage passt.

Lies die Frage über dem Schema und klicke das passende Feld an. Es kommen sechs Fragen nacheinander.

Alle sieben Felder hängen zusammen: Weil die Null als Stelle fehlt (Definitionslücke, sogar Polstelle), zerfällt der Graph in einen linken und einen rechten Ast. Die \(y\)-Achse \(x=0\) ist die senkrechte, die \(x\)-Achse \(y=0\) die waagerechte Asymptote — beide werden nie erreicht. Wegen \(1^{-n}=1\) geht jede dieser Funktionen durch \(P(1\,|\,1)\).

18Die Stelle rückwärts bestimmenAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{-2}\). Gesucht ist eine Stelle mit dem Funktionswert 400.

Bestimme die positive Stelle \(x\), an der \(f(x)=400\) gilt.

Trage nur die Zahl \(x\) ein. Enter prüft.

Aus \(x^{-2}=400\) wird \(\frac{1}{x^{2}}=400\), also \(x^{2}=\frac{1}{400}=0{,}0025\) und damit \(x=\pm 0{,}05\). Gefragt war die positive Stelle: \(x=0{,}05\). Probe: \(0{,}05^{-2}=\frac{1}{0{,}0025}=400\) ✓. Dass es zwei Lösungen gibt, passt zum Bild: Bei geradem Exponenten liegen beide Äste oberhalb der \(x\)-Achse.

19Potenz und Wert als PaarAFB II

Finde die fünf Paare aus Potenz und zugehörigem Wert. Du hast 16 Versuche.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen.

Versuche: 0 von 16

Zwei Karten kannst du ohne Rechnung zuordnen: Nur \((-4)^{-1}\) und \((-1)^{-9}\) haben eine negative Basis mit ungeradem Exponenten, also einen negativen Wert. Der Rest ist Kehrwertbildung: \(4^{-2}=\frac{1}{16}=0{,}0625\), \(0{,}2^{-1}=\frac{1}{0{,}2}=5\) und \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}=\frac{5}{2}=2{,}5\).

20Den Exponenten bestimmenAFB III

Der Graph von \(f(x)=x^{-n}\) mit \(n\in\mathbb{N}\) verläuft durch \(P(-0{,}5\,|\,16)\).

Spiele den Lösungsweg durch — nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Spiele den Lösungsweg Schritt für Schritt durch.

Aus \((-0{,}5)^{-n}=16\) folgt \((-0{,}5)^{n}=\frac{1}{16}=0{,}0625\) und damit \(n=4\). Der Funktionsterm lautet \(f(x)=x^{-4}=\frac{1}{x^{4}}\). Dass der Funktionswert trotz negativer Stelle positiv ist, war schon vorher klar: Der Exponent muss gerade sein.

Interaktive ÜbungNegative Exponenten

20 Übungsaufgaben