Potenzfkt.: neg. Exponent: Textaufgaben – Mathe Klasse 11

Beleuchtungsstärke einer Lampe

AFB I

Eine Lampe hängt über einem Arbeitstisch. Der Abstand zwischen Lampe und Tischplatte wird mit $x$ bezeichnet und in Metern angegeben. Für die Beleuchtungsstärke auf der Tischplatte gilt $$E(x)=36\cdot x^{-2}=\frac{36}{x^{2}}\qquad\text{mit}\quad [E]=\mathrm{lx}.$$ Die Einheit Lux (lx) misst, wie hell eine Fläche beleuchtet wird.

Berechne die Beleuchtungsstärke für die Abstände $x=1$, $x=2$, $x=3$ und $x=6$.
Begründe warum für $x$ nicht der Wert $0$ eingesetzt werden darf, und gib die Definitionsmenge der Funktion an.
Beschreibe wie sich die Beleuchtungsstärke verhält, wenn der Abstand immer größer wird, und benenne die zugehörige Asymptote.

Hinweis zu Aufgabe a)

Rechne in zwei Schritten: zuerst $x^{2}$ im Nenner, dann $36$ durch dieses Ergebnis teilen. Für $x=2$ also erst $2^{2}=4$, dann $36:4$.Beim Operator „Berechne“ genügt der Rechenweg mit Ergebnis und Einheit.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$E(1)=\frac{36}{1^{2}}=\frac{36}{1}=36$, also $36\ \mathrm{lx}$. $E(2)=\frac{36}{2^{2}}=\frac{36}{4}=9$, also $9\ \mathrm{lx}$, und $E(3)=\frac{36}{9}=4$, also $4\ \mathrm{lx}$. $E(6)=\frac{36}{36}=1$, also $1\ \mathrm{lx}$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Setze in Gedanken $x=0$ ein. Was steht dann im Nenner des Bruchs?„Begründe“ heißt: Aussage nennen und Ursache angeben — hier also den verbotenen Rechenschritt benennen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für $x=0$ stünde im Nenner $0^{2}=0$. Eine Division durch null ist nicht erklärt, an dieser Stelle liefert der Term also keinen Wert; man spricht von einer Definitionslücke. Die Definitionsmenge lautet daher $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$; im Sachzusammenhang kommen ohnehin nur Abstände $x>0$ vor.

Hinweis zu Aufgabe c)

Setze probeweise sehr große Abstände ein, etwa $x=12$ oder $x=60$. In welche Richtung wandern die Werte?„Beschreibe“ verlangt einen zusammenhängenden Satz — den Fachbegriff musst du dabei nennen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Je größer der Abstand wird, desto größer wird der Nenner $x^{2}$ und desto kleiner wird der Bruch: Die Beleuchtungsstärke nimmt immer weiter ab, wird aber nie null, denn ein Bruch mit dem Zähler $36$ kann den Wert null nicht annehmen. Der Graph nähert sich der Geraden $y=0$ beliebig dicht an, ohne sie zu erreichen — sie ist die waagerechte Asymptote.

Druck und Volumen in einer Luftpumpe

AFB II

In einer zugehaltenen Luftpumpe befindet sich eine feste Menge Luft. Drückt man den Kolben hinein, so wird das Volumen kleiner und der Druck größer. Solange die Temperatur gleich bleibt, ist das Produkt aus Druck und Volumen konstant; hier beträgt es $24$. Mit dem Volumen $x$ in Litern gilt $$p(x)=24\cdot x^{-1}=\frac{24}{x}\qquad\text{mit}\quad [p]=\mathrm{bar}.$$

Berechne den Druck für die Volumina $x=2$, $x=4$, $x=8$ und $x=12$.
Bestimme das Volumen, bei dem der Druck genau $1{,}5\ \mathrm{bar}$ beträgt.
Überprüfe die Behauptung „Halbiert man das Volumen, so halbiert sich auch der Druck.“ am Beispiel $x=8$.

Hinweis zu Aufgabe a)

Teile jeweils $24$ durch das angegebene Volumen. Für $x=2$ also $24:2$.Die Einheit gehört bei „Berechne“ zwingend zum Ergebnis — hier bar.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$p(2)=\frac{24}{2}=12$, also $12\ \mathrm{bar}$. $p(4)=\frac{24}{4}=6$, also $6\ \mathrm{bar}$, und $p(8)=\frac{24}{8}=3$, also $3\ \mathrm{bar}$. $p(12)=\frac{24}{12}=2$, also $2\ \mathrm{bar}$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Setze $\frac{24}{x}=1{,}5$ an. Multipliziere beide Seiten mit $x$ und teile anschließend durch $1{,}5$.„Bestimme“ verlangt einen nachvollziehbaren Lösungsweg, nicht nur die Zahl.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: $\frac{24}{x}=1{,}5$. Multiplikation beider Seiten mit $x$ liefert $24=1{,}5\cdot x$, und Division durch $1{,}5$ ergibt $x=16$. Bei einem Volumen von $16$ Litern beträgt der Druck genau $1{,}5\ \mathrm{bar}$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Rechne $p(8)$ und $p(4)$ aus und vergleiche die beiden Werte miteinander.„Überprüfe“ verlangt am Ende ein klares Urteil: Die Behauptung ist zutreffend oder nicht zutreffend.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Aus Teilaufgabe 1 ist $p(8)=3\ \mathrm{bar}$ bekannt. Das halbe Volumen ist $x=4$, und dort gilt $p(4)=6\ \mathrm{bar}$. Der Druck hat sich also nicht halbiert, sondern verdoppelt; die Behauptung ist nicht zutreffend. Der Grund steckt im Exponenten $-1$: Das Volumen steht im Nenner, und ein halb so großer Nenner ergibt einen doppelt so großen Bruch. Beide Größen verhalten sich also gegenläufig.

Verdünnung einer Farbstofflösung

AFB II

Im Chemieraum werden $30\ \mathrm{mg}$ eines Farbstoffs in Wasser gelöst. Die Wassermenge wird mit $x$ bezeichnet und in Litern angegeben. Für die Konzentration der Lösung gilt $$c(x)=30\cdot x^{-1}=\frac{30}{x}\qquad\text{mit}\quad [c]=\frac{\mathrm{mg}}{\ell}.$$ Der Farbstoff bleibt dabei immer derselbe, es kommt nur Wasser hinzu.

Berechne die Konzentration für die Wassermengen $x=1$, $x=2$, $x=5$ und $x=10$.
Bestimme wie viel Wasser mindestens nötig ist, damit die Konzentration höchstens $0{,}5\ \frac{\mathrm{mg}}{\ell}$ beträgt.
Erkläre warum die Konzentration bei noch so großer Wassermenge niemals den Wert null erreicht, und benenne den passenden Fachbegriff.

Hinweis zu Aufgabe a)

Teile jeweils $30$ durch die Wassermenge. Für $x=5$ also $30:5$.Beim Operator „Berechne“ genügt der Rechenweg mit Ergebnis und Einheit.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$c(1)=\frac{30}{1}=30$, also $30\ \frac{\mathrm{mg}}{\ell}$. $c(2)=\frac{30}{2}=15$ und $c(5)=\frac{30}{5}=6$, also $15\ \frac{\mathrm{mg}}{\ell}$ beziehungsweise $6\ \frac{\mathrm{mg}}{\ell}$. $c(10)=\frac{30}{10}=3$, also $3\ \frac{\mathrm{mg}}{\ell}$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Rechne zuerst mit dem Gleichheitszeichen: $\frac{30}{x}=0{,}5$. Überlege danach, ob mehr oder weniger Wasser die Konzentration weiter senkt.„Bestimme“ verlangt einen nachvollziehbaren Lösungsweg — hier gehört die Übersetzung von „höchstens“ dazu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz mit dem Gleichheitszeichen: $\frac{30}{x}=0{,}5$, also $30=0{,}5\cdot x$ und damit $x=60$. Bei $60$ Litern beträgt die Konzentration genau $0{,}5\ \frac{\mathrm{mg}}{\ell}$. Da mehr Wasser den Nenner vergrößert und den Bruch dadurch verkleinert, gilt die Bedingung für alle $x\ge 60$; es sind also mindestens $60$ Liter nötig.

Hinweis zu Aufgabe c)

Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist. Wie groß ist der Zähler hier?„Erkläre“ verlangt einen Zusammenhang in eigenen Worten, nicht nur eine Rechnung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ein Bruch hat genau dann den Wert null, wenn sein Zähler null ist. Der Zähler ist hier die feste Farbstoffmenge $30$, und die verschwindet nicht, egal wie viel Wasser dazukommt — der Farbstoff verteilt sich nur auf mehr Flüssigkeit. Die Gleichung $\frac{30}{x}=0$ hat deshalb keine Lösung, die Werte werden nur beliebig klein. Der Graph nähert sich der Geraden $y=0$ immer weiter an, ohne sie je zu berühren; sie heißt waagerechte Asymptote.

Fixkosten einer Schülerfirma

AFB II

Eine Schülerfirma bedruckt T-Shirts für das Schulfest. Für die Druckmaschine fällt eine feste Miete an, die gleichmäßig auf alle gedruckten Shirts umgelegt wird; die Auflage wird mit $x$ bezeichnet und in Stück angegeben. Bei einer Auflage von $40$ Shirts entfallen auf jedes einzelne Shirt $12$ Euro Maschinenmiete. Der Fixkostenanteil je Shirt lässt sich durch eine Funktion der Form $k(x)=c\cdot x^{-1}=\frac{c}{x}$ beschreiben, wobei $k(x)$ den Anteil in Euro angibt.

Ermittle den Wert der Konstanten $c$ und gib den vollständigen Funktionsterm von $k$ an.
Berechne den Fixkostenanteil je Shirt für die Auflagen $x=60$, $x=120$ und $x=240$.
Bestimme die Auflage, bei der der Fixkostenanteil genau $2{,}50$ Euro je Shirt beträgt.
Überprüfe die Aussage eines Firmenmitglieds: „Von $40$ auf $80$ Shirts sinkt der Anteil um $6$ Euro; von $80$ auf $120$ Shirts sinkt er also erneut um $6$ Euro.“

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze die bekannte Auflage und den zugehörigen Anteil in $k(x)=\frac{c}{x}$ ein und löse die entstehende Gleichung nach $c$ auf.„Ermittle“ verlangt, dass du das Ergebnis aus den gegebenen Daten herleitest und den Rechenweg zeigst.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Einsetzen des bekannten Wertepaares liefert $\frac{c}{40}=12$. Multiplikation beider Seiten mit $40$ ergibt $c=12\cdot 40=480$. Der Funktionsterm lautet damit $k(x)=480\cdot x^{-1}=\frac{480}{x}$. Die Konstante $480$ ist die gesamte Maschinenmiete in Euro; sie wird auf die $x$ Shirts verteilt.

Hinweis zu Aufgabe b)

Teile jeweils $480$ durch die Auflage. Für $x=60$ also $480:60$.Beim Operator „Berechne“ gehören Rechenweg, Ergebnis und Einheit zusammen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

$k(60)=\frac{480}{60}=8$, also $8$ Euro je Shirt. $k(120)=\frac{480}{120}=4$, also $4$ Euro je Shirt. $k(240)=\frac{480}{240}=2$, also $2$ Euro je Shirt. Je größer die Auflage, desto kleiner der Anteil, den ein einzelnes Shirt an der Miete tragen muss.

Hinweis zu Aufgabe c)

Setze $\frac{480}{x}=2{,}50$ an, multipliziere beide Seiten mit $x$ und teile das Ergebnis anschließend durch $2{,}50$.„Bestimme“ verlangt einen nachvollziehbaren Lösungsweg, nicht nur die fertige Zahl.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: $\frac{480}{x}=2{,}50$. Multiplikation mit $x$ ergibt $480=2{,}50\cdot x$, Division durch $2{,}50$ liefert $x=192$. Bei einer Auflage von 192 Shirts beträgt der Fixkostenanteil genau $2{,}50$ Euro. Bei jeder größeren Auflage liegt er darunter, denn ein größerer Nenner verkleinert den Bruch.

Hinweis zu Aufgabe d)

Berechne $k(40)$, $k(80)$ und $k(120)$ und vergleiche die beiden Abnahmen. Überlege zusätzlich, welcher Wert herauskäme, wenn die Aussage zuträfe.„Überprüfe“ verlangt am Ende ein klares Urteil: Die Aussage ist zutreffend oder nicht zutreffend.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Es ist $k(40)=\frac{480}{40}=12$ und $k(80)=\frac{480}{80}=6$; die erste Abnahme beträgt also tatsächlich $12-6=6$ Euro. Weiter ist $k(120)=\frac{480}{120}=4$, die zweite Abnahme damit nur $6-4=2$ Euro. Die Aussage ist nicht zutreffend.

Wäre sie richtig, ergäbe sich $6-6=0$ Euro je Shirt — die Miete wäre also spurlos verschwunden, obwohl sie weiterhin bezahlt werden muss. Der Denkfehler liegt in der Annahme einer gleichmäßigen, linearen Abnahme. Bei $k(x)=480\cdot x^{-1}$ steht $x$ jedoch im Nenner: Der Graph ist eine Hyperbel und verläuft mit wachsendem $x$ immer flacher. Gleich große Schritte in $x$ bewirken deshalb immer kleinere Abnahmen von $k$.

Datenrate und Übertragungsdauer

AFB III

Eine Videodatei von $1200\ \mathrm{MB}$ wird auf einen Server hochgeladen. Die Datenrate wird mit $x$ bezeichnet und in Megabyte je Sekunde angegeben. Für die Dauer des Uploads gilt $$t(x)=1200\cdot x^{-1}=\frac{1200}{x}\qquad\text{mit}\quad [t]=\mathrm{s}.$$

Berechne die Übertragungsdauer für die Datenraten $x=2$, $x=5$, $x=10$ und $x=40$.
Bestimme die Datenrate, bei der der Upload genau eine Minute und zwanzig Sekunden dauert.
Überprüfe die Werbeaussage „Mit der doppelten Datenrate brauchst du nur die halbe Zeit.“ allgemein.
Erkläre warum es keine Datenrate gibt, bei der der Upload null Sekunden dauert, und welche Rolle die Stelle $x=0$ dabei spielt.

Hinweis zu Aufgabe a)

Teile jeweils $1200$ durch die Datenrate. Für $x=40$ also $1200:40$.Beim Operator „Berechne“ genügt der Rechenweg mit Ergebnis und Einheit.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$t(2)=\frac{1200}{2}=600$, also $600\ \mathrm{s}$. $t(5)=\frac{1200}{5}=240$ und $t(10)=\frac{1200}{10}=120$, also $240\ \mathrm{s}$ beziehungsweise $120\ \mathrm{s}$. $t(40)=\frac{1200}{40}=30$, also $30\ \mathrm{s}$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Rechne die Zeitangabe zuerst vollständig in Sekunden um und setze diesen Wert dann für $t(x)$ ein.„Bestimme“ verlangt einen nachvollziehbaren Lösungsweg — die Umrechnung der Einheit gehört dazu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Eine Minute und zwanzig Sekunden sind $60+20=80$ Sekunden. Ansatz: $\frac{1200}{x}=80$, also $1200=80\cdot x$. Division durch $80$ liefert $x=15$; die Datenrate beträgt also $15$ Megabyte je Sekunde.

Hinweis zu Aufgabe c)

Setze in den Term statt $x$ den Ausdruck $2x$ ein und vergleiche das Ergebnis mit $t(x)$.„Überprüfe … allgemein“ heißt: nicht an einem Beispiel, sondern mit dem Term selbst argumentieren.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Einsetzen der doppelten Datenrate ergibt $t(2x)=\frac{1200}{2x}$. Diesen Bruch kann man zerlegen in $\frac{1}{2}\cdot\frac{1200}{x}=\frac{1}{2}\cdot t(x)$. Die Dauer ist damit tatsächlich halb so groß, und zwar für jede Datenrate — die Werbeaussage ist zutreffend.

Hinweis zu Aufgabe d)

Frage dich, wann ein Bruch überhaupt null werden kann — und was an der Stelle $x=0$ im Nenner passiert.„Erkläre“ verlangt, den Sachverhalt auf die Gesetzmäßigkeit zurückzuführen: hier auf Asymptote und Definitionslücke.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Der Bruch $\frac{1200}{x}$ hat den Zähler $1200$, und dieser ist nicht null; die Gleichung $t(x)=0$ besitzt deshalb keine Lösung. Eine noch so hohe Datenrate macht die Dauer nur beliebig klein: Der Graph nähert sich der waagerechten Asymptote $t=0$, erreicht sie aber nie. Umgekehrt ist an der Stelle $x=0$ gar kein Wert definiert, denn dort müsste man durch null teilen. Diese Definitionslücke ist eine Polstelle: Je kleiner die Datenrate wird, desto größer wird die Dauer, und zwar über jede Grenze hinaus. Anschaulich heißt das: Ohne Datenrate wird die Datei nie fertig übertragen.

TextaufgabenNegative Exponenten

Beleuchtungsstärke einer Lampe

Druck und Volumen in einer Luftpumpe

Verdünnung einer Farbstofflösung

Fixkosten einer Schülerfirma

Datenrate und Übertragungsdauer