Funktion f(x)=logₐ(x): Übungen – Mathe Klasse 11

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungEigenschaften von f(x) = logₖ(x): Definitionsbereich, Monotonie, Asymptote, feste Punkte.

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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zu den Eigenschaften, die jede Logarithmusfunktion mit \(a>1\) hat — und zu dem, was allein von der Basis abhängt. Neben dem Rechnen mit Potenzen geht es um das Vergleichen verschiedener Basen, den Definitionsbereich und die Sonderfälle \(a=1\) und \(a<0\).

1Wertetabelle zur Basis 3AFB I

Gegeben ist \(f(x)=\log_{3}(x)\).

Berechnen Sie die fünf Funktionswerte.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Negative Zahlen mit Minuszeichen. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.

\(x\)	\(\tfrac19\)	\(1\)	\(3\)	\(27\)	\(81\)
\(f(x)\)

\(\tfrac19=3^{-2}\), \(1=3^{0}\), \(3=3^{1}\), \(27=3^{3}\), \(81=3^{4}\). Zwei Werte sollte man sich merken: \(f(1)=0\) für jede Basis und \(f(a)=1\), hier also \(f(3)=1\). Genau das sind die beiden Punkte \((1\,|\,0)\) und \((a\,|\,1)\).

2Was gilt für jede Basis \(a>1\)?AFB I

Der Schieberegler im Applet zeigt: Manches ändert sich mit \(a\), anderes bleibt immer gleich.

Wählen Sie alle Aussagen aus, die für jede Basis \(a>1\) gelten.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.

Vier Eigenschaften bleiben, egal wie du den Regler stellst. Ein \(y\)-Achsenabschnitt kann es nicht geben, weil \(x=0\) gar nicht zum Definitionsbereich gehört; und Symmetrie zur \(y\)-Achse ist unmöglich, weil links davon überhaupt keine Kurve liegt.

3Die Basis aus einem Punkt bestimmenAFB II

Der Graph von \(f(x)=\log_{a}(x)\) verläuft durch \(P(81\,|\,4)\).

Bestimmen Sie die Basis \(a\).

Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein und schreibe sie als Potenzgleichung. Enter prüft.

Einsetzen liefert \(\log_{a}(81)=4\), also \(a^{4}=81\) und damit \(a=\sqrt[4]{81}=3\). Die negative Lösung \(-3\) fällt weg, weil die Basis positiv sein muss.

4Welche Basis liefert den größeren Wert?AFB II

Vergleichen Sie, ohne den Taschenrechner zu benutzen. Nützlich: \(\log_{2}(8)=3\) und \(9>8\).

Setzen Sie in jeder Zeile das richtige Zeichen.

Rechne beide Seiten aus oder schätze sie ab und klicke dann das passende Zeichen an. Mit der Tastatur: Tab zum Zeichen, ←/→ zum Wechseln.

\(\log_{2}(9)\)\(\log_{3}(9)\)

\(\log_{2}(0{,}5)\)\(\log_{3}(0{,}5)\)

\(\log_{4}(16)\)\(\log_{2}(16)\)

\(\log_{10}(1)\)\(\log_{2}(1)\)

\(\log_{3}(27)\)\(\log_{2}(9)\)

\(\log_{5}(5)\)\(\log_{9}(9)\)

Zeile 1: \(\log_{3}(9)=2\), aber \(\log_{2}(9)>\log_{2}(8)=3\). Zeile 2: Links steht genau \(-1\), rechts ein Wert zwischen \(-1\) und 0 — für Argumente unter 1 dreht sich der Vergleich um. Zeile 3: \(2<4\). Zeile 5: \(3<3{,}17\). Merksatz: Bei gleichem Argument größer als 1 liefert die größere Basis den kleineren Wert — der Graph verläuft flacher.

5Die drei charakteristischen PunkteAFB II

Gegeben ist \(f(x)=\log_{3}(x)\).

Setzen Sie die Punkte \((1\,|\,0)\), \((a\,|\,1)\) und \((a^{2}\,|\,2)\) für \(a=3\) in das Koordinatensystem.

Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

\((1\,|\,0)\) liegt bei jeder Basis auf dem Graphen, denn \(a^{0}=1\). \((3\,|\,1)\) ist der Punkt \((a\,|\,1)\) aus der Tabelle, und \((9\,|\,2)\) folgt aus \(3^{2}=9\). Wenn du \(a\) im Applet vergrößerst, wandert der Punkt \((a\,|\,1)\) nach rechts — der Graph wird flacher.

6Der Definitionsbereich auf der ZahlengeradenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=\log_{5}(x)\).

Stellen Sie den Definitionsbereich als Intervall dar.

Ziehe die beiden Griffe auf die Grenzen. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um. Ganz rechts steht der Griff für \(\infty\). Pfeiltasten verschieben den ausgewählten Griff.

a: b:

Es muss \(5^{\,n}=x\) lösbar sein, und Potenzen einer positiven Basis sind immer positiv. Also \(D=\,]0;\infty[\). Die 0 selbst gehört nicht dazu — deshalb zeigt die linke Klammer nach außen. Genau dort liegt die senkrechte Asymptote.

7Die Basis aus einem negativen WertAFB II

Für eine Basis \(a>1\) gilt \(\log_{a}\!\left(\tfrac{1}{32}\right)=-5\).

Bestimmen Sie \(a\) Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Schreibe die Aussage als Potenzgleichung: \(a^{-5}=\tfrac{1}{32}\). Welchen Wert hat dann \(a^{5}\)?
Welche Zahl ergibt hoch 5 genau 32, also \(a=\)
Kontrolle: Wie groß ist \(\log_{2}(32)\)?
Und \(\log_{2}\!\left(\tfrac{1}{32}\right)=\)

Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert: \(a^{-5}=\tfrac{1}{a^{5}}\). Aus \(\tfrac{1}{a^{5}}=\tfrac{1}{32}\) folgt \(a^{5}=32\) und damit \(a=2\). Alle Argumente zwischen 0 und 1 liefern negative Funktionswerte — das ist der Teil des Graphen links von \(x=1\).

8Eigenschaften prüfenAFB II

Fünf Aussagen zur Untersuchung mit dem Schieberegler.

Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage stimmt.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Die vier festen Eigenschaften lauten: nur für \(x>0\) definiert, streng monoton steigend, durch \((1\,|\,0)\), \(y\)-Achse als senkrechte Asymptote. Die Basis entscheidet allein über die Steilheit.

9Fünf Basen, fünf WerteAFB II

Alle fünf Argumente sind Potenzen ihrer Basis.

Berechnen Sie die Werte ohne Taschenrechner.

Trage in jedes Feld eine ganze Zahl ein. Enter prüft.

Ausdruck	\(\log_{2}(1024)\)	\(\log_{3}(729)\)	\(\log_{5}(625)\)	\(\log_{7}(343)\)	\(\log_{10}(10^{6})\)
Wert

\(2^{10}=1024\), \(3^{6}=729\), \(5^{4}=625\), \(7^{3}=343\) und \(10^{6}\) steht schon da. Wer die Potenzreihen der kleinen Basen kennt, rechnet solche Logarithmen im Kopf. Auffallend: 1024 ist über 1000-mal so groß wie 1, der Logarithmus aber nur 10.

10Fehler in einer ZusammenfassungAFB II

Eine Schülerin hat die Eigenschaften von \(f(x)=\log_{a}(x)\) mit \(a>1\) notiert. Drei Zeilen sind falsch.

Markieren Sie genau die fehlerhaften Zeilen.

In dieser Liste stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Die drei Fehler sind typisch: vertauschte Koordinaten, verwechselte Monotonie und der Sonderfall \(a=1\), bei dem gern eine waagerechte Gerade vermutet wird.

11Ein Argument zwischen 0 und 1AFB II

Berechnen Sie \(\log_{4}\!\left(\tfrac{1}{64}\right)\).

Schreibe \(\tfrac{1}{64}\) zuerst als Potenz von 4. Enter prüft.

\(64=4^{3}\), also \(\tfrac{1}{64}=4^{-3}\) und damit \(\log_{4}\!\left(\tfrac{1}{64}\right)=-3\). Punkte mit \(0<x<1\) liegen immer unterhalb der \(x\)-Achse.

12Dasselbe Argument, fünf BasenAFB II

Alle fünf Logarithmen haben das Argument 5, aber verschiedene Basen.

Ordnen Sie sie der Größe nach — beginnend mit dem größten Wert.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1\(\log_{2}(5)\)

2\(\log_{3}(5)\)

3\(\log_{4}(5)\)

4\(\log_{5}(5)\)

5\(\log_{10}(5)\)

Ohne Taschenrechner reicht ein Überlegen: \(\log_{5}(5)=1\) genau. Basen unter 5 brauchen einen Exponenten größer als 1, Basen über 5 einen kleineren. Die Werte lauten rund \(2{,}32\); \(1{,}46\); \(1{,}16\); \(1\); \(0{,}70\). Je größer die Basis, desto kleiner der Wert — der Graph verläuft flacher.

13Zahlen auf einer logarithmischen SkalaAFB III

Auf dieser Achse steht nicht der Wert selbst gleichmäßig, sondern sein Zehnerlogarithmus. Deshalb liegen 1, 10, 100 und 1000 in gleichen Abständen.

Setzen Sie die fünf Werte an die richtige Stelle.

Bewege die Maus über die Skala und klicke, um die Marke zu setzen. Mit der Tastatur: Tab auf die Skala, ←/→ bewegen (mit Shift feiner), Enter setzt.

Der Abstand von 1 bis 10 ist genauso groß wie der von 10 bis 100 und von 100 bis 1000 — jedes Stück steht für den Faktor 10. Die 2 liegt bei \(\log(2)\approx 0{,}30\), also knapp im ersten Drittel des ersten Abschnitts; die 500 liegt bei \(\log(500)\approx 2{,}70\), also kurz vor dem Ende. Diese Skala macht sichtbar, warum die Logarithmusfunktion so langsam wächst.

14Immer, nie oder nur für bestimmte Basen?AFB II

Betrachtet wird \(f(x)=\log_{a}(x)\) mit \(a>1\).

Ordnen Sie jede Aussage dem passenden Bereich zu.

Ordne jede Karte einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.

1 gilt für jedes \(a>1\)

2 gilt für kein \(a\)

3 hängt von \(a\) ab

Die drei Punkte-Aussagen im dritten Bereich legen die Basis jeweils fest: \((4\,|\,2)\) und \(f(2)=1\) bedeuten beide \(a=2\), \((9\,|\,2)\) bedeutet \(a=3\). Unmöglich sind alle Aussagen, die etwas über \(x\le 0\) behaupten.

15Ein Wert zwischen 0 und 1AFB III

Bestimmen Sie \(\log_{8}(4)\) als vollständig gekürzten Bruch.

Hinweis: Schreiben Sie beide Zahlen als Zweierpotenz.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Enter prüft.

\(8=2^{3}\) und \(4=2^{2}\). Gesucht ist \(n\) mit \(\left(2^{3}\right)^{n}=2^{2}\), also \(3n=2\) und \(n=\tfrac23\). Probe: \(8^{2/3}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}=2^{2}=4\). Der Wert liegt zwischen 0 und 1, weil \(1<4<8\).

16Die Funktionsgleichung aus zwei PunktenAFB III

Der Graph einer Logarithmusfunktion \(f(x)=\log_{a}(x)\) geht durch \((1\,|\,0)\) und \((10\,|\,1)\).

Geben Sie den Funktionsterm an. Der Zehnerlogarithmus wird kurz \(\log\) geschrieben.

Gib den Term ein. Schreibweise: log(x) für den Zehnerlogarithmus, ln(x) für den natürlichen. Enter prüft.

Der Punkt \((1\,|\,0)\) liefert keine Information, denn er liegt auf jedem solchen Graphen. Entscheidend ist \((10\,|\,1)\): Wegen \(\log_{a}(10)=1\) muss \(a^{1}=10\) sein, also \(a=10\) und \(f(x)=\log_{10}(x)=\log(x)\). Allgemein legt immer der Punkt \((a\,|\,1)\) die Basis fest.

17Welcher Punkt liegt auf welchem Graphen?AFB II

Vier Logarithmusfunktionen, vier Punkte. Setzen Sie in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere sein, es kann aber auch nur eines sein.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.

	\((8\,\|\,3)\)	\((9\,\|\,2)\)	\((1\,\|\,0)\)	\((100\,\|\,2)\)
\(\log_{2}(x)\)
\(\log_{3}(x)\)
\(\log_{10}(x)\)
\(\log_{5}(x)\)

Ein Punkt \((p\,|\,q)\) liegt genau dann auf dem Graphen, wenn \(a^{q}=p\) gilt. \(2^{3}=8\), \(3^{2}=9\), \(10^{2}=100\) — und \(a^{0}=1\) für jede Basis, weshalb die dritte Spalte vollständig angekreuzt wird. Für \(\log_{5}\) passt keiner der drei anderen Punkte, denn \(5^{2}=25\) und \(5^{3}=125\).

18Die Basis am Graphen einstellenAFB II

Die gestrichelte Kurve gehört zu einer Funktion \(f(x)=\log_{a}(x)\). Sie verläuft unter anderem durch \((16\,|\,2)\).

Stellen Sie die Basis \(a\) so ein, dass die blaue Kurve genau auf der gestrichelten liegt.

Der Regler lässt sich mit der Maus ziehen oder nach Tab mit den Pfeiltasten verstellen. Unter dem Bild siehst du die aktuelle Gleichung.

Basis \(a\)7

Der Punkt \((16\,|\,2)\) bedeutet \(a^{2}=16\), also \(a=4\). Kontrolle am Bild: Die Zielkurve schneidet die Höhe \(y=1\) bei \(x=4\) — das ist immer der Punkt \((a\,|\,1)\). Je größer du den Regler stellst, desto flacher wird die Kurve.

19Sechs Schritte bis zur 64AFB III

Für eine Basis \(a\) gilt \(\log_{a}(64)=6\).

Bestimmen Sie \(a\).

Schreibe die Aussage als Potenzgleichung. Enter prüft.

\(a^{6}=64\), also \(a=\sqrt[6]{64}=2\), denn \(2^{6}=64\). Zum Vergleich: \(\log_{4}(64)=3\) und \(\log_{8}(64)=2\) — je größer die Basis, desto kleiner der Logarithmus derselben Zahl.

20Existiert der Graph überhaupt?AFB III

Gehen Sie die Entscheidungen der Reihe nach durch und prüfen Sie, welche Basen zulässig sind.

Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung. Eine falsche Wahl wird rot, dann probierst du es erneut.

Die Definition schließt zwei Fälle aus, und beide aus einem eigenen Grund: Bei \(b=1\) ist der Exponent nicht eindeutig bestimmbar, bei \(b<0\) fehlen zu den meisten Argumenten überhaupt passende Exponenten.

Nächster SchrittZu den TextaufgabenFünf Sachaufgaben zu f(x)=log_a(x): Werte zu verschiedenen Basen berechnen, die Umkehrrechnung durchführen, negative Funktionswerte deuten und eine Anlagenplanung samt Basis beurteilen. Nächstes UnterkapitelDie Funktion f(x) = a · log₂(x + b) + cWie die drei Parameter a, b und c den Graphen strecken und verschieben — und wohin dabei die senkrechte Asymptote wandert.

Interaktive ÜbungDie Funktion f(x) = logₖ(x)

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