Funktion f(x)=logₐ(x): Textaufgaben – Mathe Klasse 11

Runden eines Tennisturniers

AFB I

Bei einem Tennisturnier im K.-o.-System scheidet in jeder Runde die Hälfte der Startenden aus, die Siegerinnen ziehen in die nächste Runde ein. Beginnt das Turnier mit $x$ Startenden, so gibt $$r(x)=\log_{2}(x)$$ die Zahl der Runden bis zur Turniersiegerin an. Die Ausgabegröße wird in Runden gemessen.

Berechne die Rundenzahl für $x=8$, $x=64$ und $x=128$ Startende.
Gib an welchen Funktionswert $r$ an der Stelle $x=1$ hat und was dieser Wert für das Turnier bedeutet.
Beschreibe wie sich die Rundenzahl verändert, wenn das Teilnehmerfeld immer größer wird, und wodurch jeweils genau eine weitere Runde entsteht.

Hinweis zu Aufgabe a)

Frage dich jedes Mal: Mit welchem Exponenten muss ich $2$ potenzieren, um die Zahl $x$ zu erhalten? Halbiere zur Kontrolle das Teilnehmerfeld Runde für Runde.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und das Ergebnis mit Einheit dazu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: $r(x)=\log_{2}(x)$ ist die Zahl $n$ mit $2^{\,n}=x$.

$8=2^{3}$, also $r(8)=3$ — 3 Runden (Viertelfinale, Halbfinale, Finale). $64=2^{6}$, also $r(64)=6$ — 6 Runden. $128=2^{7}$, also $r(128)=7$ — 7 Runden.

Kontrolle für $x=8$: $8\to 4\to 2\to 1$, das sind drei Halbierungen.

Hinweis zu Aufgabe b)

Setze $x=1$ in die Funktionsgleichung ein und überlege, wie ein Turnier mit nur einer Startenden ausgeht.„Gib an“ verlangt nur die Angabe ohne Herleitung — dafür aber vollständig, hier also Wert und Bedeutung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Es gilt $r(1)=\log_{2}(1)=0$, denn $2^{0}=1$. Der Punkt $(1\,|\,0)$ liegt damit auf dem Graphen — und zwar bei jeder Basis $a>1$.

Im Sachzusammenhang heißt das: Wer als Einzige antritt, ist bereits Siegerin. Es wird keine einzige Runde gespielt. Zugleich ist $x=1$ die einzige Nullstelle der Funktion.

Hinweis zu Aufgabe c)

Vergleiche die Werte aus Teilaufgabe a) miteinander: Um wie viel muss sich $x$ ändern, damit $r(x)$ um $1$ zunimmt?„Beschreibe“ verlangt die Darstellung des Sachverhalts in eigenen Worten, ohne Bewertung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Rundenzahl nimmt mit wachsendem Teilnehmerfeld zu: Der Graph ist streng monoton steigend. Für $x\to+\infty$ wächst $r(x)$ über alle Grenzen, aber immer langsamer.

Genau eine weitere Runde entsteht immer dann, wenn sich das Teilnehmerfeld verdoppelt: Von $x=2$ auf $x=4$ steigt $r$ von $1$ auf $2$, von $x=64$ auf $x=128$ von $6$ auf $7$. Im ersten Fall genügen dafür $2$ zusätzliche Startende, im zweiten sind es bereits $64$ — der Graph wird nach rechts hin also immer flacher.

Magnitude eines Erdbebens

AFB II

Seismologen vergleichen die größte gemessene Bodenauslenkung $A$ eines Bebens mit einer festen Bezugsauslenkung $A_{0}$. Setzt man $x=\dfrac{A}{A_{0}}$, so berechnet sich die Magnitude des Bebens aus $$M(x)=\log_{10}(x).$$ Die Eingabegröße $x$ ist damit ein reines Verhältnis ohne Einheit, die Magnitude wird in Skalenwerten angegeben.

Berechne die Magnitude für die Auslenkungsverhältnisse $x=100$, $x=10\,000$ und $x=1\,000\,000$.
Bestimme das Auslenkungsverhältnis $x$, das zu einem Beben der Magnitude $7$ gehört.
Überprüfe die Aussage einer Zeitung: „Ein Beben der Magnitude $6$ hat eine doppelt so große Bodenauslenkung wie ein Beben der Magnitude $3$.“
Erkläre warum die Skala für ein völlig ruhiges Messgerät, also für $x=0$, keinen Magnitudenwert liefern kann.

Hinweis zu Aufgabe a)

Schreibe jede Zahl zuerst als Zehnerpotenz. Der Logarithmus liefert dann genau den Exponenten.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis dazu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: $M(x)=\log_{10}(x)$ ist die Zahl $n$ mit $10^{\,n}=x$.

$100=10^{2}$, also $M(100)=2$. $10\,000=10^{4}$, also $M(10\,000)=4$. $1\,000\,000=10^{6}$, also $M(1\,000\,000)=6$.

Die drei Beben haben demnach die Magnituden 2, 4 und 6.

Hinweis zu Aufgabe b)

Hier läuft die Rechnung rückwärts: Aus $7=\log_{10}(x)$ wird eine Potenzgleichung. Nutze die Bedeutung des Logarithmus als gesuchter Exponent.„Bestimme“ verlangt einen dargestellten Lösungsweg und ein im Sachzusammenhang formuliertes Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: $7=\log_{10}(x)$. Nach der Definition des Logarithmus bedeutet das $$10^{7}=x\quad\Rightarrow\quad x=10\,000\,000.$$ Die Bodenauslenkung ist also zehnmillionenfach so groß wie die Bezugsauslenkung. Probe: $\log_{10}(10^{7})=7$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Rechne beide Auslenkungsverhältnisse wie in Teilaufgabe b) aus und bilde ihren Quotienten, nicht ihre Differenz.„Überprüfe“ verlangt am Ende ein klares Urteil: Die Aussage ist zutreffend oder nicht zutreffend.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Magnitude $6$ bedeutet $x_{6}=10^{6}=1\,000\,000$, Magnitude $3$ bedeutet $x_{3}=10^{3}=1000$.

Der Quotient ist $$\frac{x_{6}}{x_{3}}=\frac{10^{6}}{10^{3}}=10^{3}=1000.$$ Die Auslenkung ist also tausendmal so groß, nicht doppelt so groß. Die Aussage ist nicht zutreffend.

Ursache ist der Bau der Funktion: Eine Differenz von $3$ bei den Funktionswerten gehört zu einem Faktor $10^{3}$ bei den Argumenten. Wer die Skalenwerte wie gewöhnliche Zahlen vergleicht, verwechselt Funktionswert und Argument.

Hinweis zu Aufgabe d)

Überlege, ob es einen Exponenten $n$ mit $10^{\,n}=0$ gibt, und schau dir an, wie sich der Graph für kleine positive $x$ verhält.„Erkläre“ verlangt eine nachvollziehbare Begründung mit den Eigenschaften der Funktion, nicht nur die Nennung des Ergebnisses.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Der Logarithmus fragt nach dem Exponenten: $\log_{10}(0)$ wäre die Zahl $n$ mit $10^{\,n}=0$. Eine Zehnerpotenz ist aber für jedes $n$ positiv, sie wird nie $0$. Ein solcher Exponent existiert also nicht.

Deshalb ist der Definitionsbereich $D=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}$; die Stelle $x=0$ gehört nicht dazu. Für $x\to 0$ von rechts fällt $M(x)\to-\infty$: Die $y$-Achse ist senkrechte Asymptote. Praktisch heißt das, dass immer kleinere Auslenkungen zu immer stärker negativen Skalenwerten führen, ein Wert für „gar keine Auslenkung“ aber nicht existiert.

Umsatz eines Start-ups

AFB II

Ein Start-up verdreifacht in seiner Aufbauphase jedes Jahr seinen Jahresumsatz. Im Startjahr der Beobachtung beträgt der Umsatz $45\,000$ Euro. Bezeichnet $x$ das Verhältnis des aktuellen Umsatzes zum Umsatz im Startjahr, so gibt $$n(x)=\log_{3}(x)$$ an, wie viele Jahre seit dem Startjahr vergangen sind.

Berechne die Jahreszahl für $x=9$, $x=81$ und $x=243$ und gib jeweils den zugehörigen Umsatz an.
Bestimme die seit dem Startjahr vergangene Zeit, wenn das Unternehmen einen Umsatz von $32\,805\,000$ Euro meldet.
Deute den Funktionswert $n\!\left(\tfrac{1}{9}\right)$ im Sachzusammenhang.
Begründe warum sich der Funktionswert bei jeder weiteren Verdreifachung des Umsatzes um genau $1$ erhöht, unabhängig davon, wie groß der Umsatz bereits ist.

Hinweis zu Aufgabe a)

Schreibe jede Zahl als Potenz von $3$. Den Umsatz erhältst du, indem du $45\,000$ Euro mit $x$ malnimmst.Beim Operator „Berechne“ gehören zu jedem Wert die Rechnung und die Einheit.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: $n(x)=\log_{3}(x)$ ist die Zahl $n$ mit $3^{\,n}=x$.

$9=3^{2}$: $n(9)=2$, also nach 2 Jahren mit $45\,000\ \text{€}\cdot 9=405\,000\ \text{€}$.

$81=3^{4}$: $n(81)=4$, also nach 4 Jahren mit $45\,000\ \text{€}\cdot 81=3\,645\,000\ \text{€}$.

$243=3^{5}$: $n(243)=5$, also nach 5 Jahren mit $45\,000\ \text{€}\cdot 243=10\,935\,000\ \text{€}$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Berechne zuerst das Verhältnis $x$ aus gemeldetem Umsatz und Startumsatz. Prüfe dann, welche Potenz von $3$ dieses Verhältnis ist.„Bestimme“ verlangt einen dargestellten Lösungsweg und ein im Sachzusammenhang formuliertes Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Verhältnis: $x=\dfrac{32\,805\,000}{45\,000}=729$. Wegen $3^{6}=729$ gilt $$n(729)=\log_{3}(729)=6.$$ Seit dem Startjahr sind also 6 Jahre vergangen. Probe: $45\,000\cdot 729=32\,805\,000$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Schreibe $\tfrac{1}{9}$ als Potenz von $3$ mit negativem Exponenten. Überlege, was ein Verhältnis kleiner als $1$ über den Zeitpunkt aussagt.„Deute“ verlangt, das Rechenergebnis in eine Aussage über die Sachsituation zu übersetzen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Es gilt $\tfrac{1}{9}=3^{-2}$, also $n\!\left(\tfrac{1}{9}\right)=-2$.

Ein negativer Funktionswert steht für einen Zeitpunkt vor dem Startjahr, hier für das Jahr zwei Jahre davor. Der Umsatz betrug damals $45\,000\ \text{€}:9=5000\ \text{€}$.

Am Graphen ist das der Bereich $0<x<1$ links der Nullstelle $x=1$: Dort liegen die Funktionswerte unterhalb der $x$-Achse, obwohl das Argument positiv bleibt.

Hinweis zu Aufgabe d)

Vergleiche die Argumente $x$ und $3x$. Schreibe beide als Potenz von $3$ und schau dir die Exponenten an.„Begründe“ heißt: die Aussage nennen und sie auf eine Regel oder Gesetzmäßigkeit zurückführen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Ist $x=3^{\,k}$, so gilt $n(x)=k$. Für den verdreifachten Umsatz folgt $3x=3\cdot 3^{\,k}=3^{\,k+1}$ und damit $$n(3x)=k+1=n(x)+1.$$

Der Zuwachs beträgt also stets genau $1$, gleichgültig ob der Umsatz von $45\,000\ \text{€}$ auf $135\,000\ \text{€}$ oder von $3\,645\,000\ \text{€}$ auf $10\,935\,000\ \text{€}$ steigt. Genau das ist die Kernidee der Logarithmusfunktion: Sie übersetzt Multiplikation beim Argument in Addition beim Funktionswert. Anschaulich erklärt das auch, warum der Graph nach rechts immer flacher verläuft — für denselben Zuwachs von $1$ braucht es jedes Mal ein dreimal so großes Argument.

Länge eines sicheren Passworts

AFB II

Ein Rechenzentrum prüft Passwörter, die nur aus den $26$ Kleinbuchstaben des Alphabets bestehen. Ein Passwort der Länge $L$ lässt sich auf $26^{L}$ verschiedene Arten bilden. Umgekehrt gibt $$L(x)=\log_{26}(x)$$ an, wie viele Zeichen nötig sind, damit sich genau $x$ verschiedene Passwörter bilden lassen. Die Ausgabegröße wird in Zeichen gemessen.

Berechne die Passwortlänge für $x=676$, $x=17\,576$ und $x=456\,976$ mögliche Passwörter.
Bestimme die kleinste Passwortlänge, mit der sich mindestens $10$ Millionen verschiedene Passwörter bilden lassen.
Erkläre warum ein reines Ziffernpasswort mit den $10$ Ziffern von $0$ bis $9$, beschrieben durch $g(x)=\log_{10}(x)$, für dieselbe Zahl von $1\,000\,000$ Möglichkeiten mehr Stellen braucht als ein Buchstabenpasswort.

Hinweis zu Aufgabe a)

Potenziere $26$ schrittweise: $26^{2}$, $26^{3}$, $26^{4}$. Vergleiche die Ergebnisse mit den drei gegebenen Zahlen.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und das Ergebnis mit Einheit dazu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: $L(x)=\log_{26}(x)$ ist die Zahl $L$ mit $26^{L}=x$.

$26^{2}=676$, also $L(676)=2$ — 2 Zeichen. $26^{3}=17\,576$, also $L(17\,576)=3$ — 3 Zeichen. $26^{4}=456\,976$, also $L(456\,976)=4$ — 4 Zeichen.

Hinweis zu Aufgabe b)

Aus Teilaufgabe a) kennst du $26^{4}$ bereits. Rechne die nächste Potenz aus und nutze, dass die Funktion streng monoton steigend ist.„Bestimme“ verlangt einen nachvollziehbaren Lösungsweg, hier also den Vergleich der Potenzen mit Begründung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gefordert sind $x\ge 10\,000\,000$. Aus Teilaufgabe a) ist $26^{4}=456\,976 < 10\,000\,000$ bekannt — vier Zeichen reichen also nicht.

Für fünf Zeichen gilt $$26^{5}=456\,976\cdot 26=11\,881\,376.$$ Wegen $11\,881\,376\ge 10\,000\,000$ sind 5 Zeichen die kleinste passende Länge.

Dass keine kürzere Länge genügt, folgt aus der strengen Monotonie: Da $L$ für $a=26>1$ monoton steigend ist, wächst auch die Zahl der Möglichkeiten mit jeder zusätzlichen Stelle, und kleinere Längen liefern stets kleinere Werte.

Hinweis zu Aufgabe c)

Berechne beide nötigen Längen und vergleiche anschließend die Graphen von $\log_{10}$ und $\log_{26}$ im selben Koordinatensystem — welcher steigt flacher?„Erkläre“ verlangt, den beobachteten Unterschied auf eine Eigenschaft der Funktion zurückzuführen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ziffern: $1\,000\,000=10^{6}$, also $g(1\,000\,000)=6$ — es sind 6 Stellen nötig.

Buchstaben: $26^{4}=456\,976 < 1\,000\,000\le 11\,881\,376=26^{5}$, also genügen 5 Zeichen.

Erklärung: Beide Graphen gehen durch $(1\,|\,0)$, aber die größere Basis liefert den flacheren Graphen. Wegen $26>10$ verläuft $\log_{26}$ für $x>1$ durchgehend unterhalb von $\log_{10}$, liefert also zu jedem Argument den kleineren Funktionswert. Sachlich heißt das: Jede zusätzliche Stelle vervielfacht die Möglichkeiten bei Buchstaben mit $26$ statt nur mit $10$, sodass man das Ziel früher erreicht.

Stufen einer Sortieranlage

AFB III

Ein Paketdienst plant eine Sortieranlage. Die Pakete durchlaufen mehrere Verteilstufen; in jeder Stufe wird ein ankommender Strom auf gleich viele Ausgänge aufgeteilt. Bezeichnet $x$ die Zahl der Zielrampen und $n(x)$ die Zahl der nötigen Verteilstufen, so liefert der Prototyp diese Messreihe:

$x=1\to n=0$, $x=5\to n=1$, $x=25\to n=2$, $x=125\to n=3$, $x=625\to n=4$.

Die Planung geht davon aus, dass sich der Zusammenhang durch eine Funktion der Form $n(x)=\log_{a}(x)$ beschreiben lässt.

Bestimme die Basis $a$ aus der Messreihe und gib die Funktionsgleichung sowie die Bedeutung von $a$ im Sachzusammenhang an.
Überprüfe die Behauptung eines Anlagenbauers: „Wenn wir die Zahl der Ausgänge je Stufe verdoppeln, halbiert sich die Zahl der Verteilstufen.“ Rechne dazu mit $15\,625$ Zielrampen.
Beurteile den Vorschlag eines Entwicklers, für eine besonders einfache Anlage die Basis $a=1$ zu wählen, also je Stufe nur einen Ausgang vorzusehen.
Erläutere warum die Anlage bei $a=5$ für $20\,000$ Zielrampen $7$ Verteilstufen benötigt, obwohl $\log_{5}(20\,000)$ keinen ganzzahligen Wert liefert.

Hinweis zu Aufgabe a)

Nutze den Punkt $(a\,|\,1)$: Er verrät die Basis unmittelbar. Prüfe deine Wahl anschließend an den übrigen vier Wertepaaren.„Bestimme“ verlangt einen dargestellten Lösungsweg und die vollständige Angabe des Ergebnisses.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Jeder Graph von $n(x)=\log_{a}(x)$ geht durch $(a\,|\,1)$. Das Wertepaar $x=5$, $n=1$ liefert daher unmittelbar $a=5$.

Probe an den übrigen Werten: $5^{0}=1$, $5^{2}=25$, $5^{3}=125$, $5^{4}=625$ — alle vier Punkte passen. Die Funktionsgleichung lautet also $$n(x)=\log_{5}(x).$$

Die Basis $a=5$ ist die Zahl der Ausgänge je Verteilstufe: Jede Stufe teilt einen Strom auf fünf Folgeströme auf.

Hinweis zu Aufgabe b)

Berechne zuerst die Stufenzahl für $a=5$. Prüfe dann für $a=10$, welche Zehnerpotenzen unterhalb und oberhalb von $15\,625$ liegen — die Stufenzahl muss ganzzahlig sein und ausreichen.„Überprüfe“ verlangt am Ende ein klares Urteil: Die Behauptung ist zutreffend oder nicht zutreffend.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für $a=5$: $5^{6}=15\,625$, also $n(15\,625)=\log_{5}(15\,625)=6$ — 6 Stufen.

Für $a=10$ wären nach der Behauptung $3$ Stufen nötig. Tatsächlich gilt $10^{3}=1000<15\,625$ und $10^{4}=10\,000<15\,625$, aber $10^{5}=100\,000\ge 15\,625$. Es sind also 5 Stufen nötig, nicht $3$. Die Behauptung ist nicht zutreffend.

Halbiert wird die Stufenzahl erst, wenn die neue Basis das Quadrat der alten ist: Wegen $25^{3}=15\,625$ genügen mit $a=25$ genau $3$ Stufen. Der Grund liegt in $25=5^{2}$, also $25^{3}=(5^{2})^{3}=5^{6}$. Verdoppelt man dagegen nur die Basis, so wächst der Graph zwar flacher, aber bei Weitem nicht doppelt so flach.

Hinweis zu Aufgabe c)

Überlege, welche Werte $1^{\,n}$ überhaupt annehmen kann, und schließe daraus, für welche $x$ sich $\log_{1}(x)$ bestimmen lässt.„Beurteile“ verlangt ein begründetes Urteil, das die fachlichen Gründe klar benennt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für $a=1$ gilt $1^{\,n}=1$ für jeden Exponenten $n$. Zu einem Argument $x\neq 1$ gibt es deshalb überhaupt keinen Exponenten mit $1^{\,n}=x$, und für $x=1$ passt jeder Exponent. In beiden Fällen ist kein eindeutiger Funktionswert festgelegt: $\log_{1}(x)$ ist keine Funktion, der Sonderfall $a=1$ besitzt keinen Graphen.

Der Sachkontext bestätigt das: Eine Stufe mit nur einem Ausgang teilt gar nichts auf. Die Zahl der erreichbaren Rampen bleibt bei $1$, gleichgültig wie viele Stufen man baut — mehr als eine Rampe ist so nie erreichbar.

Urteil: Der Vorschlag ist abzulehnen. Er ist nicht nur unpraktisch, sondern mathematisch gar nicht beschreibbar; die Anlage braucht zwingend $a>1$.

Hinweis zu Aufgabe d)

Schließe $20\,000$ zwischen zwei aufeinanderfolgende Potenzen von $5$ ein und überlege, welche Rolle die strenge Monotonie beim Aufrunden spielt.„Erläutere“ verlangt, den Zusammenhang mit Beispielen und Begründungen so darzustellen, dass er verständlich wird.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Einschluss: $5^{6}=15\,625<20\,000$ und $5^{7}=78\,125\ge 20\,000$. Damit liegt $\log_{5}(20\,000)$ zwischen $6$ und $7$, ist also keine ganze Zahl.

Weil $n(x)=\log_{5}(x)$ für $a=5>1$ streng monoton steigend ist, folgt aus $20\,000>15\,625$ sofort $n(20\,000)>6$. Sechs Stufen erschließen nur $15\,625$ Rampen und reichen daher nicht aus. Sieben Stufen erschließen $78\,125$ Rampen und genügen.

Der rechnerische Wert muss also stets aufgerundet werden: Stufen lassen sich nur ganz bauen, halbe Verteilstufen gibt es nicht. Der Preis dafür ist eine erhebliche Reserve — von den $78\,125$ möglichen Anschlüssen werden nur $20\,000$ genutzt. Das ist ein typischer Modellierungsschritt: Die Funktion beschreibt den Zusammenhang lückenlos für alle $x>0$, die Sachsituation lässt aber nur ganzzahlige Ergebnisse zu.

TextaufgabenDie Funktion f(x) = log_a(x)

Runden eines Tennisturniers

Magnitude eines Erdbebens

Umsatz eines Start-ups

Länge eines sicheren Passworts

Stufen einer Sortieranlage