Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDas gemeinsame Schaubild, Definitions- und Wertebereich sowie die Symmetrie von Sinus und Cosinus.
Nächster SchrittZu den TextaufgabenFünf Sachaufgaben zur Sinus- und Cosinuskurve: markante Stellen berechnen, mit Definitions- und Wertebereich argumentieren, die Symmetrieformeln im Sachkontext deuten und Modellvorschläge beurteilen.
ZurückKapitelübersicht: FunktionenAlle Unterkapitel von den Potenzfunktionen bis zu den Logarithmusfunktionen.
Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1
Übungsaufgaben
Zwanzig Aufgaben. Zuerst gehst du direkt an der Kurve entlang, danach wird gerechnet: Werte bestimmen, Symmetrieformeln anwenden und Aussagen über den Wertebereich begründen.
1Die markanten Stellen der SinuskurveAFB I
Klicke nacheinander die geforderten Stellen auf der Kurve an. Der Cursor rastet in Schritten von \(\frac{1}{8}\pi\) ein.
Bewege den Cursor mit der Maus oder mit ←/→ (vorher mit Tab ins Bild). Ein Klick bzw. Enter setzt die Marke.
Die Sinuskurve durchläuft zwischen \(0\) und \(2\pi\) genau eine volle Welle: Nullstelle, Hochpunkt, Nullstelle, Tiefpunkt, Nullstelle. Nach links setzt sie sich unverändert fort — deshalb liegt bei \(-\frac12\pi\) wieder ein Tiefpunkt.
2Nur Sinus, nur Cosinus oder beide?AFB I
Ordne jede Eigenschaft der passenden Gruppe zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs.
1gilt nur für \(\sin(x)\)
2gilt nur für \(\cos(x)\)
3gilt für beide
Beide Kurven haben dieselbe Wellenform, denselben Definitions- und Wertebereich und dieselbe Periode. Unterschiedlich sind nur der Startwert bei \(x=0\) und damit die Symmetrie.
3Stimmt das?AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie neu.
Die vierte Aussage ist die klassische Verwechslung: Punktsymmetrie beim Sinus, Achsensymmetrie beim Cosinus. Merke dir die beiden Formeln zusammen: \(\sin(-x)=-\sin(x)\) und \(\cos(-x)=\cos(x)\).
4Werte an den markanten StellenAFB II
Lies die Werte aus dem Schaubild ab bzw. rufe sie aus dem Gedächtnis auf.
Nur die Zahl eintragen. Alle Felder werden gemeinsam geprüft.
\(\sin(\pi)=\) \(\cos(\pi)=\)
\(\sin\left(\tfrac32\pi\right)=\) \(\cos\left(\tfrac32\pi\right)=\)
\(\sin(2\pi)=\) \(\cos(2\pi)=\)
Das sind dieselben fünf Stellen wie am Einheitskreis, nur im Bogenmaß geschrieben: \(\pi \hat{=} 180^\circ\) und \(\frac32\pi \hat{=} 270^\circ\). An jeder Stelle ist genau einer der beiden Werte \(0\) und der andere \(\pm 1\).
5Was folgt aus dem Wertebereich?AFB II
Markiere alle Aussagen, die aus \(W=[-1\,;\,1]\) folgen.
Mehrere Antworten können richtig sein.
Der Wertebereich sagt etwas über die \(y\)-Werte aus, nicht über die \(x\)-Werte. Nach links und rechts läuft die Kurve unbegrenzt weiter, nach oben und unten ist sie eingesperrt. Genau deshalb ist der Wertebereich das beste Kontrollwerkzeug bei jeder Rechnung.
6Den Wertebereich einstellenAFB II
Stelle den Wertebereich von \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) auf der Zahlengeraden ein — mit den richtigen Klammern.
Ziehe die beiden Griffe auf die Grenzen. Ein Klick auf einen Griff (oder Enter) dreht seine Klammer um. Die Pfeiltasten verschieben den ausgewählten Griff.
a: b:
Der Wertebereich lautet \(W=[-1\,;\,1]\). Beide Klammern sind geschlossen, denn die Werte \(-1\) und \(1\) werden wirklich angenommen — \(\sin\left(\frac32\pi\right)=-1\) und \(\sin\left(\frac12\pi\right)=1\).
7Mit der Symmetrie rechnenAFB II
Die Formeln lauten \(\sin(-x)=-\sin(x)\) und \(\cos(-x)=\cos(x)\).
Berechne die vier fehlenden Werte.Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt. Alle vier Felder werden gemeinsam geprüft.
Beim Sinus dreht das Spiegeln das Vorzeichen um, beim Cosinus ändert sich gar nichts. Die letzten beiden Zeilen laufen rückwärts — das Vorgehen bleibt aber dasselbe.
8Fehlersuche in einer KurvenbeschreibungAFB II
Jemand beschreibt die beiden Kurven im Bereich von \(0\) bis \(2\pi\).
Klicke genau die Zeilen an, die falsch sind.Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die beiden Fehler betreffen genau die zwei Punkte, in denen sich die Kurven unterscheiden: wo sie starten und wie sie sich spiegeln. Alles andere ist bei Sinus und Cosinus gleich.
9Die markanten Stellen der CosinuskurveAFB II
Klicke die geforderten Stellen an. Achte darauf, dass die Cosinuskurve anders startet als die Sinuskurve.
Cursor mit der Maus oder mit ←/→ bewegen, Klick bzw. Enter setzt die Marke.
Der Cosinus startet oben statt in der Mitte. Deshalb liegen seine Nullstellen bei \(\frac12\pi\), \(\frac32\pi\), \(\frac52\pi\) … und seine Hochpunkte bei \(0\), \(2\pi\), \(4\pi\) … Die letzte Teilaufgabe zeigt die Achsensymmetrie direkt am Bild.
10Ein Term aus drei WertenAFB II
Berechne \(\sin(\pi) + \cos(\pi) - \sin\left(\tfrac32\pi\right)\).
Nur die Zahl eintragen. Enter prüft.
\(0 + (-1) - (-1) = 0\). Zwei Minuszeichen hintereinander werden zu einem Plus — das ist hier die eigentliche Schwierigkeit, nicht die Winkelfunktionen.
11Cosinuswerte der Größe nachAFB II
Es gilt \(\cos(60^\circ)\approx 0{,}5\) und \(\cos(120^\circ)\approx -0{,}5\).
Ordne die fünf Werte vom kleinsten zum größten.Ziehe die Zeilen oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.
1\(\cos(180^\circ)\)
2\(\cos(120^\circ)\)
3\(\cos(90^\circ)\)
4\(\cos(60^\circ)\)
5\(\cos(0^\circ)\)
Die Werte sind \(-1\), \(-0{,}5\), \(0\), \(0{,}5\) und \(1\). Zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) fällt der Cosinus ständig — je größer der Winkel, desto kleiner der Wert. Die Reihenfolge der Winkel ist also genau umgekehrt zur Reihenfolge der Werte.
12Welche Symmetrie hat der Graph?AFB II
Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz.
In jeder Zeile gehört genau ein Kreuz.
| punktsymmetrisch zum Ursprung | achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse | keines von beiden | |
|---|---|---|---|
| \(f(x)=\sin(x)\) | |||
| \(f(x)=\cos(x)\) | |||
| \(f(x)=-\sin(x)\) | |||
| \(f(x)=\cos(x)+3\) | |||
| \(f(x)=\sin(x)+2\) | |||
| \(f(x)=-\cos(x)\) |
Ein Minuszeichen vor der Funktion spiegelt den Graphen an der \(x\)-Achse — die Symmetrieart bleibt dabei erhalten. Eine Verschiebung nach oben zerstört dagegen die Punktsymmetrie des Sinus (der Ursprung liegt dann nicht mehr auf der Kurve), während die Achsensymmetrie des Cosinus eine Verschiebung nach oben übersteht.
13Rechenkette mit \(\sin(0{,}7)\)AFB II
Es gilt \(\sin(0{,}7)\approx 0{,}644\) und \(\cos(0{,}7)\approx 0{,}765\).
Berechne Schritt für Schritt. Runde jeweils auf drei Nachkommastellen.Zahlen mit Komma oder Punkt. Enter prüft die aktuelle Zeile.
- Wie groß ist \(\sin(-0{,}7)\)?
- Wie groß ist \(\cos(-0{,}7)\)?
- Wie groß ist \(\sin(0{,}7+2\pi)\)?
- Berechne \(\sin(0{,}7)+\cos(-0{,}7)\).
Drei Regeln in vier Zeilen: Punktsymmetrie beim Sinus (Vorzeichen dreht sich um), Achsensymmetrie beim Cosinus (nichts ändert sich) und die Periode \(2\pi\) (nichts ändert sich). Nur die letzte Zeile ist eine echte Addition.
14Wer hat dort eine Nullstelle?AFB II
Ordne jede Stelle dem passenden Bereich zu.
Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 nur \(\sin(x)=0\)
2 nur \(\cos(x)=0\)
3 keine der beiden Kurven ist dort \(0\)
Die Nullstellen der beiden Kurven wechseln sich im Abstand \(\frac12\pi\) ab: \(\sin\) bei \(0,\pi,2\pi,\dots\), \(\cos\) bei \(\frac12\pi,\frac32\pi,\dots\) Zwischen zwei solchen Stellen — etwa bei \(\frac14\pi\) oder bei \(x=2\) — ist keine von beiden null.
15Den gespiegelten Graphen aufschreibenAFB III
Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f(x)=\sin(x)\), indem man ihn an der \(x\)-Achse spiegelt. Gib den Term von \(g\) an. Es darf nur eine Winkelfunktion vorkommen.
Schreibe Winkelfunktionen als
sin(x), cos(x) oder tan(x). Enter prüft.Spiegeln an der \(x\)-Achse heißt: jeden Funktionswert mit \(-1\) multiplizieren, also \(g(x)=-\sin(x)\). Wegen \(\sin(-x)=-\sin(x)\) könnte man denselben Graphen auch als \(\sin(-x)\) schreiben — beim Sinus führt Spiegeln an der \(x\)-Achse und Spiegeln an der \(y\)-Achse zum selben Ergebnis. Genau das ist die Punktsymmetrie.
16Definitions- und Wertebereich aufschreibenAFB II
Trage beide Mengen ein. Schreibe den Definitionsbereich als
R und den Wertebereich in der Form [-1;1].Beide Felder ausfüllen, dann gemeinsam prüfen.
\(D=\mathbb{R}\), denn jeder Winkel ist erlaubt, und \(W=[-1\,;\,1]\), denn der Zeiger im Einheitskreis hat die Länge \(1\). Die eckigen Klammern zeigen an, dass die Randwerte dazugehören.
17Wo liegt der Tiefpunkt?AFB II
Bestimme, bei welchem Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) die Cosinuskurve ihren Tiefpunkt hat, und stelle den Regler darauf.
18Stelle und WertAFB II
Finde die fünf Paare.
Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen.
Zwei Paare sind bewusst in Worten formuliert: Der größte Wert ist \(1\), der kleinste \(-1\) — das sind genau die Ränder des Wertebereichs. Die Periode ist keine Stelle und kein Wert, sondern der Abstand, nach dem sich alles wiederholt.
19Ablauf: Hat \(\cos(x)=1{,}3\) eine Lösung?AFB III
Spiele die Argumentation Schritt für Schritt durch.
Was ist der nächste richtige Schritt? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Dieselbe Argumentation funktioniert bei jeder Gleichung der Form \(\sin(x)=a\) oder \(\cos(x)=a\): Für \(|a|>1\) gibt es keine Lösung, für \(|a|\le 1\) sogar unendlich viele — wegen der Periode \(2\pi\).
20Das Gerüst der CosinuskurveAFB III
Baue die fünf markanten Punkte der Cosinuskurve von \(x=0\) bis \(x=2\pi\) in der richtigen Reihenfolge zusammen.
Vier bis fünf Plätze von links nach rechts. Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, Klick im Bauplan legt ihn zurück.
Der Cosinus läuft von oben nach unten und wieder nach oben: \(1,\;0,\;-1,\;0,\;1\). Die drei übrigen Bausteine gehören zur Sinuskurve — sie beschreiben dieselben Stellen, aber mit den Werten \(0,\;1,\;0\).