Graph und Eigenschaften: Textaufgaben – Mathe Klasse 11

Schaufel am Wasserrad

AFB I

Ein historisches Wasserrad mit dem Radius $1\,\mathrm{m}$ dreht sich gleichmäßig. An seinem Rand ist eine Schaufel farbig markiert. Bezeichnet $x$ den seit dem Start zurückgelegten Drehwinkel im Bogenmaß, so gilt für die Höhe der Schaufel über der Radachse und für ihren waagerechten Abstand von der Achse $$h(x)=\sin(x)\qquad\text{und}\qquad g(x)=\cos(x),\qquad [h]=[g]=\mathrm{m}.$$ Ein negativer Wert von $h$ bedeutet, dass die Schaufel unterhalb der Achse steht, ein negativer Wert von $g$, dass sie links von der Achse steht.

Berechne die Höhe $h(x)$ und den waagerechten Abstand $g(x)$ für die Drehwinkel $x=0$, $x=\tfrac{1}{2}\pi$, $x=\pi$ und $x=\tfrac{3}{2}\pi$.
Gib an den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktion $h$.
Beschreibe was die Werte $h(x)=1$ und $h(x)=-1$ für die Lage der Schaufel bedeuten, und nenne dabei die zugehörigen Drehwinkel im Intervall von $0$ bis $2\pi$.

Hinweis zu Aufgabe a)

Das sind genau die vier markanten Stellen aus dem Schaubild. An jeder von ihnen ist einer der beiden Werte $0$ und der andere $1$ oder $-1$.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Wert und Einheit zum Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Einsetzen in $h(x)=\sin(x)$ und $g(x)=\cos(x)$:

$x=0$: $h(0)=\sin(0)=0$, also $0\,\mathrm{m}$; $g(0)=\cos(0)=1$, also $1\,\mathrm{m}$.
$x=\tfrac12\pi$: $h=\sin\left(\tfrac12\pi\right)=1$, also $1\,\mathrm{m}$; $g=\cos\left(\tfrac12\pi\right)=0$, also $0\,\mathrm{m}$.
$x=\pi$: $h=\sin(\pi)=0$, also $0\,\mathrm{m}$; $g=\cos(\pi)=-1$, also $-1\,\mathrm{m}$.
$x=\tfrac32\pi$: $h=\sin\left(\tfrac32\pi\right)=-1$, also $-1\,\mathrm{m}$; $g=\cos\left(\tfrac32\pi\right)=0$, also $0\,\mathrm{m}$.

Die Schaufel steht nacheinander rechts, oben, links und unten am Rad.

Hinweis zu Aufgabe b)

Überlege, welche Drehwinkel du überhaupt einsetzen darfst und wie weit die Schaufel höchstens über oder unter der Achse liegen kann.„Gib an“ verlangt nur die Angabe ohne Herleitung — dafür aber vollständig und in korrekter Mengenschreibweise.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Definitionsbereich: $D=\mathbb{R}$ — das Rad lässt sich beliebig weiterdrehen, und auch eine Rückwärtsdrehung (negative $x$) ist denkbar.

Wertebereich: $W=[-1\,;\,1]$ — die Schaufel sitzt auf dem Rand des Rades mit dem Radius $1\,\mathrm{m}$ und kann deshalb höchstens $1\,\mathrm{m}$ über und höchstens $1\,\mathrm{m}$ unter der Achse stehen.

Hinweis zu Aufgabe c)

Suche im Schaubild der Sinuskurve zwischen $0$ und $2\pi$ den Hochpunkt und den Tiefpunkt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

$h(x)=1$ ist der größte mögliche Wert: Die Schaufel steht am höchsten Punkt des Rades, genau $1\,\mathrm{m}$ über der Achse. Das ist bei $x=\tfrac12\pi$ der Fall.

$h(x)=-1$ ist der kleinste mögliche Wert: Die Schaufel steht am tiefsten Punkt, $1\,\mathrm{m}$ unter der Achse, also unten im Wasser. Das ist bei $x=\tfrac32\pi$ der Fall.

Größere oder kleinere Höhen kann es nicht geben, denn der Wertebereich ist $W=[-1\,;\,1]$.

Spannung an der Steckdose

AFB II

Die Spannung an einer Haushaltssteckdose ändert sich ständig. Ein einfaches Modell beschreibt ihren Momentanwert durch $$u(x)=325\cdot\sin(x),\qquad [u]=\mathrm{V}.$$ Dabei ist $x$ der Phasenwinkel im Bogenmaß; eine volle Periode von $x=0$ bis $x=2\pi$ dauert $20\,\mathrm{ms}$. Ein negativer Wert bedeutet, dass die Spannung mit umgekehrter Polung anliegt.

Berechne die Spannung $u(x)$ für $x=\tfrac{1}{2}\pi$, $x=\pi$ und $x=\tfrac{3}{2}\pi$.
Zeige dass der Betrag der Spannung in diesem Modell niemals größer als $325\,\mathrm{V}$ werden kann.
Überprüfe die Angabe eines Messprotokolls, bei $x=\tfrac{1}{6}\pi$ betrage die Spannung genau die Hälfte des Scheitelwerts.
Begründe mithilfe der Formel $\sin(-x)=-\sin(x)$ warum $u(-x)=-u(x)$ gilt, und deute dieses Ergebnis im Sachzusammenhang.

Hinweis zu Aufgabe a)

Bestimme zuerst den Sinuswert an der jeweiligen Stelle und multipliziere ihn anschließend mit $325$.Beim Operator „Berechne“ gehört die Einheit zwingend zum Ergebnis — hier Volt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$u\left(\tfrac12\pi\right)=325\cdot\sin\left(\tfrac12\pi\right)=325\cdot 1=325$, also $325\,\mathrm{V}$.

$u(\pi)=325\cdot\sin(\pi)=325\cdot 0=0$, also $0\,\mathrm{V}$.

$u\left(\tfrac32\pi\right)=325\cdot\sin\left(\tfrac32\pi\right)=325\cdot(-1)=-325$, also $-325\,\mathrm{V}$.

Der größte und der kleinste Wert treten also genau am Hoch- und am Tiefpunkt der Sinuskurve auf.

Hinweis zu Aufgabe b)

Starte beim Wertebereich der Sinusfunktion und multipliziere die gesamte Ungleichung mit $325$.„Zeige“ verlangt eine vollständige Begründung durch Rechnung oder logischen Schluss — ein einzelnes Beispiel genügt nicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für alle $x\in\mathbb{R}$ gilt der Wertebereich $W=[-1\,;\,1]$, also $$-1\le\sin(x)\le 1.$$ Multiplikation mit der positiven Zahl $325$ ändert die Richtung der Ungleichungszeichen nicht: $$-325\le 325\cdot\sin(x)\le 325,$$ also $-325\,\mathrm{V}\le u(x)\le 325\,\mathrm{V}$ und damit $|u(x)|\le 325\,\mathrm{V}$.

Der Scheitelwert $325\,\mathrm{V}$ wird bei $x=\tfrac12\pi$ erreicht, der Wert $-325\,\mathrm{V}$ bei $x=\tfrac32\pi$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Es gilt $\sin\left(\tfrac{1}{6}\pi\right)=0{,}5$; der Winkel $\tfrac16\pi$ entspricht $30^\circ$.„Überprüfe“ verlangt am Ende ein klares Urteil: Die Angabe ist zutreffend oder nicht zutreffend.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Einsetzen: $u\left(\tfrac16\pi\right)=325\cdot\sin\left(\tfrac16\pi\right)=325\cdot 0{,}5=162{,}5$, also $162{,}5\,\mathrm{V}$.

Der Scheitelwert beträgt $325\,\mathrm{V}$, seine Hälfte ist $325:2=162{,}5\,\mathrm{V}$. Beide Werte stimmen überein, die Angabe ist also zutreffend.

Achtung: Der halbe Funktionswert gehört hier nicht zum halben Winkel $\tfrac14\pi$, sondern zu $\tfrac16\pi$ — die Sinuskurve verläuft nicht geradlinig.

Hinweis zu Aufgabe d)

Setze $-x$ in den Funktionsterm ein und ziehe das Minuszeichen vor den Faktor $325$.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Rechnung: $$u(-x)=325\cdot\sin(-x)=325\cdot\left(-\sin(x)\right)=-325\cdot\sin(x)=-u(x).$$

Der Graph von $u$ ist damit — wie die Sinuskurve selbst — punktsymmetrisch zum Ursprung.

Deutung: Gleich weit vor und gleich weit nach einem Nulldurchgang ist die Spannung betragsmäßig gleich groß, aber umgekehrt gepolt. Die Wechselspannung durchläuft in jeder Periode eine positive und eine dazu spiegelbildliche negative Halbwelle.

Ertrag eines Solarmoduls

AFB II

Wie viel Leistung ein fest montiertes Solarmodul liefert, hängt davon ab, wie schräg das Sonnenlicht auftrifft. Bezeichnet $x$ den Winkel zwischen den Sonnenstrahlen und der Senkrechten auf der Modulfläche (im Bogenmaß), so beschreibt $$E(x)=\cos(x)$$ den relativen Ertrag. Dabei bedeutet $E(x)=1$ den vollen Ertrag bei senkrechtem Einfall und $E(x)=0{,}5$ die Hälfte davon.

Berechne den relativen Ertrag $E(x)$ für $x=0$, $x=\tfrac{1}{3}\pi$ und $x=\tfrac{1}{2}\pi$ und gib ihn zusätzlich in Prozent an.
Bestimme alle Winkel $x$ im Intervall von $0$ bis $\tfrac{1}{2}\pi$, für die der relative Ertrag mindestens $0{,}5$ beträgt.
Erkläre mithilfe der Formel $\cos(-x)=\cos(x)$ warum eine Abweichung um denselben Winkel nach Osten und nach Westen zum gleichen Ertrag führt.
Begründe warum im Sachzusammenhang nur Winkel aus dem Intervall von $-\tfrac{1}{2}\pi$ bis $\tfrac{1}{2}\pi$ sinnvoll sind, obwohl für die Cosinusfunktion $D=\mathbb{R}$ gilt.

Hinweis zu Aufgabe a)

Der Winkel $\tfrac13\pi$ entspricht $60^\circ$, der Winkel $\tfrac12\pi$ entspricht $90^\circ$. Es gilt $\cos\left(\tfrac13\pi\right)=0{,}5$.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$E(0)=\cos(0)=1$, also $100\,\%$ des möglichen Ertrags — das Licht fällt senkrecht auf das Modul.

$E\left(\tfrac13\pi\right)=\cos\left(\tfrac13\pi\right)=0{,}5$, also $50\,\%$.

$E\left(\tfrac12\pi\right)=\cos\left(\tfrac12\pi\right)=0$, also $0\,\%$ — das Licht streift die Fläche nur noch und liefert keinen Ertrag.

Hinweis zu Aufgabe b)

Zwischen $0$ und $\tfrac12\pi$ fällt die Cosinuskurve ständig vom Wert $1$ auf den Wert $0$. Suche die Stelle mit $\cos(x)=0{,}5$ und überlege, auf welcher Seite davon die Werte größer sind.„Bestimme“ verlangt einen dargestellten Lösungsweg und ein formuliertes Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gesucht sind alle $x$ mit $\cos(x)\ge 0{,}5$. Aus Teilaufgabe a) ist $\cos\left(\tfrac13\pi\right)=0{,}5$ bekannt.

Auf dem Abschnitt von $0$ bis $\tfrac12\pi$ fällt die Cosinuskurve von $1$ auf $0$, sie nimmt jeden Wert also nur einmal an. Links von $\tfrac13\pi$ sind die Funktionswerte größer als $0{,}5$, rechts davon kleiner.

Ergebnis: $0\le x\le\tfrac13\pi$, also alle Einfallswinkel bis $60^\circ$. Deutung: Selbst bei einer Abweichung von $60^\circ$ aus der Senkrechten liefert das Modul noch die Hälfte des möglichen Ertrags.

Hinweis zu Aufgabe c)

Die eine Abweichungsrichtung entspricht positiven Winkeln $x$, die andere den zugehörigen negativen Winkeln $-x$.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zählt man die Abweichung nach der einen Seite positiv, so gehört zur gleich großen Abweichung nach der anderen Seite der Winkel $-x$. Damit gilt $$E(-x)=\cos(-x)=\cos(x)=E(x).$$

Der Ertrag hängt also nur vom Betrag des Winkels ab, nicht von der Richtung. Grafisch ist das die Achsensymmetrie der Cosinuskurve zur $y$-Achse: Klappt man den Graphen an der $y$-Achse um, liegt er wieder auf sich selbst.

Beispiel: Bei $60^\circ$ Abweichung nach Osten und bei $60^\circ$ nach Westen beträgt der Ertrag jeweils $0{,}5$, also $50\,\%$.

Hinweis zu Aufgabe d)

Berechne $\cos(\pi)$ und überlege, was ein solches Ergebnis für einen Ertrag bedeuten würde.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Rein rechnerisch darf jede reelle Zahl eingesetzt werden, denn $D=\mathbb{R}$. Außerhalb von $-\tfrac12\pi$ bis $\tfrac12\pi$ wird der Cosinus jedoch negativ, zum Beispiel $\cos(\pi)=-1$.

Ein negativer Ertrag ist physikalisch nicht möglich: Ein solcher Winkel bedeutet, dass die Sonne hinter dem Modul steht. Die Vorderseite liegt dann im Schatten, der Ertrag ist $0$.

Deshalb schränkt man den Definitionsbereich im Sachzusammenhang auf $-\tfrac12\pi\le x\le\tfrac12\pi$ ein — der mathematische Definitionsbereich der Cosinusfunktion bleibt davon unberührt.

Tide im Hafenbecken

AFB II

In einem Nordseehafen schwankt der Wasserstand mit den Gezeiten. Gemessen wird jeweils die Abweichung vom mittleren Wasserstand. Ein Modell beschreibt sie durch $$w(x)=1{,}8\cdot\cos(x),\qquad [w]=\mathrm{m}.$$ Dabei zählt $x$ im Bogenmaß ab dem Hochwasser; eine volle Tide von $x=0$ bis $x=2\pi$ dauert etwa $12\,\mathrm{h}\,25\,\mathrm{min}$.

Berechne die Abweichung $w(x)$ vom mittleren Wasserstand für $x=0$, $x=\tfrac{1}{2}\pi$ und $x=\pi$.
Ermittle den Tidenhub, also den Höhenunterschied zwischen Hoch- und Niedrigwasser.
Bestimme alle Stellen $x$ im Intervall von $0$ bis $2\pi$, an denen das Wasser genau auf dem mittleren Stand steht.
Überprüfe die Angabe in einem alten Hafenhandbuch, das Wasser stehe bei Springflut zeitweise $2\,\mathrm{m}$ über dem mittleren Wasserstand.

Hinweis zu Aufgabe a)

Lies zuerst die drei Cosinuswerte an den markanten Stellen ab und multipliziere sie dann mit $1{,}8$.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$w(0)=1{,}8\cdot\cos(0)=1{,}8\cdot 1=1{,}8$, also $1{,}8\,\mathrm{m}$ über dem mittleren Wasserstand — das ist das Hochwasser.

$w\left(\tfrac12\pi\right)=1{,}8\cdot 0=0$, also $0\,\mathrm{m}$: Das Wasser steht genau auf dem mittleren Stand.

$w(\pi)=1{,}8\cdot(-1)=-1{,}8$, also $1{,}8\,\mathrm{m}$ unter dem mittleren Wasserstand — das ist das Niedrigwasser.

Hinweis zu Aufgabe b)

Der größte und der kleinste Funktionswert von $w$ ergeben sich direkt aus dem Wertebereich der Cosinusfunktion.„Ermittle“ verlangt, dass du den Zusammenhang findest und das Ergebnis formulierst — der Weg darf rechnerisch oder grafisch sein.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Wegen $W=[-1\,;\,1]$ gilt $-1\le\cos(x)\le 1$ und nach Multiplikation mit $1{,}8$: $$-1{,}8\le w(x)\le 1{,}8.$$

Höchster Stand: $1{,}8\,\mathrm{m}$; niedrigster Stand: $-1{,}8\,\mathrm{m}$.

Tidenhub: $1{,}8-(-1{,}8)=3{,}6$, also $3{,}6\,\mathrm{m}$. Der Tidenhub ist damit doppelt so groß wie der Faktor vor dem Cosinus.

Hinweis zu Aufgabe c)

Setze $w(x)=0$ und überlege, wo die Cosinuskurve zwischen $0$ und $2\pi$ ihre Nullstellen hat.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: $w(x)=0$, also $1{,}8\cdot\cos(x)=0$. Da $1{,}8\ne 0$ ist, folgt $\cos(x)=0$.

Die Cosinuskurve hat zwischen $0$ und $2\pi$ genau zwei Nullstellen: $x=\tfrac12\pi$ und $x=\tfrac32\pi$.

Deutung: Das ist nach einem Viertel und nach drei Vierteln der Tide der Fall, also etwa $3\,\mathrm{h}\,6\,\mathrm{min}$ und etwa $9\,\mathrm{h}\,19\,\mathrm{min}$ nach dem Hochwasser — halbe Höhe zwischen zwei Extremständen.

Hinweis zu Aufgabe d)

Vergleiche die Angabe mit dem größtmöglichen Funktionswert von $w$, den du in Teilaufgabe b) schon bestimmt hast.„Überprüfe“ verlangt ein klares Urteil und, wenn ein Widerspruch auftritt, den Hinweis darauf, woran er liegt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Der größtmögliche Wert von $w$ ist $1{,}8\,\mathrm{m}$; er wird bei $\cos(x)=1$, also bei $x=0$ und $x=2\pi$, angenommen.

Wegen $2\,\mathrm{m}>1{,}8\,\mathrm{m}$ kann die Angabe aus diesem Modell nicht folgen — im Modell ist ein Stand von $2\,\mathrm{m}$ über dem Mittelwasser unmöglich.

Das spricht nicht zwingend gegen das Handbuch, sondern zeigt eine Grenze des Modells: Der feste Faktor $1{,}8$ beschreibt eine mittlere Tide. Bei Springflut ist der Tidenhub größer, dafür müsste der Faktor angepasst werden.

Luftstrom beim ruhigen Atmen

AFB III

Beim ruhigen Atmen strömt Luft abwechselnd in die Lunge und wieder heraus. In einem Projektkurs soll der Volumenstrom $v$ in Litern pro Sekunde modelliert werden; positive Werte bedeuten Einatmen, negative Werte Ausatmen. Ein voller Atemzug entspricht $x$ von $0$ bis $2\pi$ und dauert etwa $4\,\mathrm{s}$. Zwei Gruppen schlagen vor: $$v_{1}(x)=0{,}5\cdot\sin(x)\qquad\text{und}\qquad v_{2}(x)=0{,}5\cdot\cos(x).$$ Die Messung zeigt: Zu Beginn des Einatmens, also bei $x=0$, ist der Luftstrom null und nimmt danach zu; der größte gemessene Wert liegt bei etwa $0{,}5\,\mathrm{l/s}$.

Entscheide begründet, welcher der beiden Vorschläge zu der beschriebenen Messung passt.
Überprüfe die Behauptung einer Schülerin, mit dem gewählten Modell lasse sich auch ein Spitzenstrom von $0{,}7\,\mathrm{l/s}$ beim tiefen Einatmen beschreiben.
Erläutere warum aus $\sin(-x)=-\sin(x)$ zusammen mit der Wiederholung nach $2\pi$ folgt, dass Ein- und Ausatmen im Modell denselben betragsmäßigen Spitzenwert haben.
Beurteile das Modell insgesamt, indem du mindestens zwei Eigenschaften der Sinuskurve mit dem tatsächlichen Atmen vergleichst.

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze in beiden Termen $x=0$ ein und überlege, wie es danach jeweils weitergeht — die eine Kurve startet in der Mitte, die andere oben.„Entscheide“ verlangt, dass du dich nach dem Abwägen klar für eine Möglichkeit festlegst und die Wahl begründest.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Vorschlag 1: $v_{1}(0)=0{,}5\cdot\sin(0)=0{,}5\cdot 0=0$. Danach wächst der Sinus bis $x=\tfrac12\pi$ auf $1$, der Luftstrom also auf $0{,}5\cdot 1=0{,}5\,\mathrm{l/s}$. Das passt zur Messung.

Vorschlag 2: $v_{2}(0)=0{,}5\cdot\cos(0)=0{,}5\cdot 1=0{,}5$, also sofort der größte Einatemstrom; danach fällt die Cosinuskurve. Das widerspricht der Messung gleich zweifach: Der Startwert ist nicht null, und der Luftstrom nimmt nicht zu, sondern ab.

Entscheidung: Nur $v_{1}(x)=0{,}5\cdot\sin(x)$ ist geeignet. Der Unterschied liegt allein im Startwert der beiden Kurven — $\sin$ beginnt bei $0$, $\cos$ beginnt bei $1$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Der Wertebereich der Sinusfunktion begrenzt auch die Werte von $v_{1}$. Berechne den größtmöglichen Funktionswert.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus $-1\le\sin(x)\le 1$ folgt nach Multiplikation mit $0{,}5$: $$-0{,}5\le v_{1}(x)\le 0{,}5.$$ Der größtmögliche Wert ist also $0{,}5\,\mathrm{l/s}$, erreicht bei $x=\tfrac12\pi$.

Wegen $0{,}7\,\mathrm{l/s}>0{,}5\,\mathrm{l/s}$ ist die Behauptung nicht zutreffend.

Ein tieferer Atemzug lässt sich nur beschreiben, wenn der Faktor vor dem Sinus geändert wird, hier also $v(x)=0{,}7\cdot\sin(x)$. Der Wertebereich der Sinusfunktion selbst bleibt dabei unverändert $[-1\,;\,1]$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Schreibe $\tfrac{3}{2}\pi$ als $2\pi-\tfrac{1}{2}\pi$ und nutze, dass sich die Sinuskurve nach $2\pi$ unverändert wiederholt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der größte Einatemstrom gehört zur Stelle $x=\tfrac12\pi$: $v_{1}\left(\tfrac12\pi\right)=0{,}5\cdot 1=0{,}5\,\mathrm{l/s}$.

Für die Stelle $x=\tfrac32\pi$ gilt wegen der Wiederholung nach $2\pi$ und der Symmetrieformel $$\sin\left(\tfrac32\pi\right)=\sin\left(2\pi-\tfrac12\pi\right)=\sin\left(-\tfrac12\pi\right)=-\sin\left(\tfrac12\pi\right)=-1.$$ Damit ist $v_{1}\left(\tfrac32\pi\right)=0{,}5\cdot(-1)=-0{,}5\,\mathrm{l/s}$.

Deutung: Der stärkste Ausatemstrom ist genauso groß wie der stärkste Einatemstrom, nur mit umgekehrtem Vorzeichen. Grafisch ist das die Punktsymmetrie der Sinuskurve zum Ursprung: Die Ausatemhalbwelle ist das gespiegelte Bild der Einatemhalbwelle.

Hinweis zu Aufgabe d)

Denke daran, wie lange Einatmen und Ausatmen bei dir jeweils dauern, und daran, dass die Sinuskurve sich nach $2\pi$ immer wieder genau gleich wiederholt.„Beurteile“ verlangt ein eigenständiges, fachlich begründetes Urteil — hier über die Tragfähigkeit des Modells.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Was das Modell gut trifft: Der Luftstrom startet bei $0$, wechselt einmal pro Atemzug das Vorzeichen und ist durch den Wertebereich nach oben und unten begrenzt $\left(|v_{1}(x)|\le 0{,}5\,\mathrm{l/s}\right)$. Auch die ständige Wiederholung passt zum regelmäßigen Atemrhythmus.

Was das Modell nicht trifft: Die Sinuskurve teilt die Periode in zwei gleich lange Halbwellen, das Einatmen dauert im Modell also genauso lang wie das Ausatmen — jeweils $2\,\mathrm{s}$. Tatsächlich dauert das Ausatmen beim ruhigen Atmen etwa das Anderthalb- bis Zweifache des Einatmens. Außerdem verläuft jeder Atemzug exakt gleich, während echte Atemzüge in Tiefe und Dauer schwanken; Husten, Sprechen oder Anstrengung sind gar nicht erfasst.

Urteil: Als grobes Modell für ruhiges, gleichmäßiges Atmen ist $v_{1}$ brauchbar, weil es Richtung, Größenordnung und Rhythmus des Luftstroms richtig wiedergibt. Für genauere Aussagen — etwa zur Steuerung eines Beatmungsgeräts — reicht es nicht aus, weil das unterschiedliche Zeitverhältnis von Ein- und Ausatmung fehlt.

TextaufgabenGraph und Eigenschaften der Winkelfunktionen

Schaufel am Wasserrad

Spannung an der Steckdose

Ertrag eines Solarmoduls

Tide im Hafenbecken

Luftstrom beim ruhigen Atmen