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Interaktive ÜbungDefinition

Zwanzig Aufgaben zur Form a · n hoch x: Vorfaktor und Basis ablesen, Funktionswerte berechnen, die beiden Bedingungen an die Basis prüfen und aus zwei Punkten die Gleichung bestimmen.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungExponentialfunktionen — die Form a · n hoch x und die Bedingungen an die Basis.
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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zur Definition. Erst wird sortiert und abgelesen, dann gerechnet: Funktionswerte mit positiven und negativen Exponenten, Basis und Vorfaktor aus Punkten bestimmen, Potenzgesetze anwenden.

1Drei Körbe: Exponential-, Potenz- oder keins von beidenAFB I

Sechs Funktionsterme. Sortieren Sie jeden in den passenden Korb. Achten Sie darauf, wo das \(x\) steht und ob die Basis erlaubt ist.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Exponentialfunktion
2Potenzfunktion
3keine von beiden
Entscheidend ist die Stelle des \(x\): oben im Exponenten heißt Exponentialfunktion, unten in der Basis heißt Potenzfunktion. \(1^{x}=1\) ist konstant und \((-2)^{x}\) hat eine negative Basis — beide sind laut Definition ausgeschlossen.
2Vorfaktor und Basis ablesenAFB I

Lesen Sie zu jedem Term den Vorfaktor \(a\) und die Basis \(n\) ab. Steht kein Faktor da, ist \(a=1\). Brüche als Dezimalzahl eintragen.

Fülle alle acht Felder aus und prüfe dann auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft ebenfalls.
Term\(4\cdot 3^{x}\)\(2^{x}\)\(0{,}5\cdot 10^{x}\)\(7\cdot\left(\tfrac12\right)^{x}\)
\(a=\)
\(n=\)
Der Vorfaktor steht vor der Potenz, die Basis unter dem Exponenten. Bei \(2^{x}\) ist der unsichtbare Faktor \(a=1\), bei \(\left(\tfrac12\right)^{x}\) ist die Basis \(n=0{,}5\) — nicht 2.
3Einen Funktionswert berechnenAFB I

Gegeben ist \(f(x)=5\cdot 2^{x}\). Berechnen Sie \(f(3)\).

Erst die Potenz, dann den Vorfaktor — Punkt vor Strich gilt auch hier. Enter prüft.
\(f(3)=5\cdot 2^{3}=5\cdot 8=40\). Wer 40 mit \((5\cdot 2)^{3}=1000\) verwechselt, hat zuerst multipliziert statt potenziert.
4Wertetabelle zu 3 · 2 hoch xAFB II

Vervollständigen Sie die Wertetabelle zu \(f(x)=3\cdot 2^{x}\). Negative Exponenten ergeben Werte zwischen 0 und 3.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
x−2−10123
f(x)
Von links nach rechts verdoppelt sich jeder Wert: 0,75 → 1,5 → 3 → 6 → 12 → 24. Das ist das Kennzeichen der Basis 2. Bei \(x=0\) steht der Vorfaktor selbst: \(f(0)=3\cdot 1=3\).
5Die Vokabeln der DefinitionAFB I

Sieben Begriffe fehlen. Setzen Sie die passenden Wörter ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso.

Bei einer Exponentialfunktion steht das \(x\) im , die Basis ist eine feste . Die allgemeine Form lautet \(f(x)=a\cdot n^{x}\); die Zahl \(a\) heißt . Für die Basis wird \(n>0\) verlangt, also muss \(n\) sein. Außerdem ist \(n=1\) ausgeschlossen, weil dann eine Funktion entsteht. Steht das \(x\) dagegen unten in der Basis, handelt es sich um eine . Nullstellen hat keine Exponentialfunktion, denn \(n^{x}\) ist immer .

„Scheitelpunkt“ bleibt übrig — der gehört zu Parabeln. Die beiden Bedingungen \(n>0\) und \(n\neq 1\) sind kein Zierrat: Ohne sie gäbe es entweder keinen durchgehenden Graphen oder nur eine waagerechte Gerade.
6Negativer Exponent — exakt als BruchAFB II

Gegeben ist \(f(x)=2\cdot 3^{x}\). Berechnen Sie \(f(-2)\) und geben Sie das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.
\(3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac19\), also \(f(-2)=2\cdot\dfrac19=\dfrac29\). Ein negativer Exponent macht den Wert klein, aber niemals negativ.
7Welche Terme sind Exponentialfunktionen?AFB II

Sieben Terme. Markieren Sie alle, die eine Exponentialfunktion beschreiben.

Denke an beide Bedingungen an die Basis. Markiere alle Treffer.
\(3^{-x}=\left(\tfrac13\right)^{x}\) ist eine Exponentialfunktion mit der Basis \(\tfrac13\). \(\pi\approx 3{,}14\) ist positiv und nicht 1, also erlaubt. Ausgeschlossen sind nur \(x^{5}\) (das \(x\) steht unten), \(1^{x}\) (konstant) und \((-5)^{x}\) (negative Basis).
8Rechenkette: Gleichung aus zwei AngabenAFB II

Von \(f(x)=a\cdot n^{x}\) ist bekannt: \(f(0)=6\) und \(f(3)=48\). Bestimmen Sie Schritt für Schritt \(a\), \(n\) und daraus \(f(5)\).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Wie groß ist \(a\)? Denke an \(n^{0}=1\).
  2. Teile \(f(3)\) durch \(a\). Welchen Wert hat \(n^{3}\)?
  3. Welche Basis \(n\) gehört zu \(n^{3}=8\)?
  4. Berechne mit \(f(x)=6\cdot 2^{x}\) den Wert \(f(5)\).
\(f(0)=a\cdot n^{0}=a\), deshalb ist \(a=6\) sofort ablesbar. Danach bleibt \(n^{3}=8\), also \(n=2\). Zum Schluss: \(f(5)=6\cdot 32=192\).
9Auswahlmenüs: alles über 3 · 2 hoch xAFB II

Wählen Sie in jedem Menü den richtigen Eintrag. Zwei der fünf Angaben müssen Sie ausrechnen.

Öffne jedes Menü und wähle den passenden Eintrag. Am Ende alles auf einmal prüfen.

Für \(f(x)=3\cdot 2^{x}\) gilt: Vorfaktor \(a=\) , Basis \(n=\) .

Damit ist \(f(0)=\) und \(f(-2)=\) . Der Graph verläuft .

\(f(0)=3\cdot 2^{0}=3\cdot 1=3\) und \(f(-2)=3\cdot 2^{-2}=3\cdot 0{,}25=0{,}75\). Weil die Basis 2 größer als 1 ist und \(a>0\), steigt der Graph.
10Stimmt das über die Definition?AFB II

Sieben Aussagen. Entscheiden Sie nacheinander, ob sie zutreffen. Eine falsche Einschätzung startet die Serie neu.

Sieben Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 7

Zwei Fallen kommen immer wieder vor: \(a\) und \(n\) zu vertauschen und zu vergessen, dass \(n^{0}=1\) für jede Basis gilt.
11Gleichung aus zwei PunktenAFB III

Der Graph von \(f(x)=a\cdot n^{x}\) geht durch \(P(1\,|\,12)\) und \(Q(3\,|\,108)\). Bestimmen Sie \(n\) und \(a\).

Teile die beiden Gleichungen durcheinander — dann fällt \(a\) heraus. Enter prüft.
Aus \(a\cdot n^{3}=108\) und \(a\cdot n^{1}=12\) folgt durch Division \(n^{2}=9\), wegen \(n>0\) also \(n=3\). Einsetzen in \(a\cdot 3=12\) liefert \(a=4\), also \(f(x)=4\cdot 3^{x}\).
12Punkte von 2 hoch x eintragenAFB I

Setzen Sie nacheinander die vier Punkte des Graphen von \(f(x)=2^{x}\) für \(x=0,\,1,\,2,\,3\).

Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

Von Punkt zu Punkt verdoppelt sich der Funktionswert: 1, 2, 4, 8. Links von \(x=0\) werden die Werte halbiert und kommen der \(x\)-Achse immer näher, ohne sie je zu erreichen.
13Zwei Fehler in einer RechnungAFB II

Zu \(f(x)=3\cdot 2^{x}\) wurde gerechnet und argumentiert. Die Zeilen enthalten zwei Fehler. Markieren Sie genau die falschen Zeilen.

In dieser Rechnung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der häufigste Fehler ist die vertauschte Reihenfolge: \(3\cdot 2^{3}\) ist nicht \((3\cdot 2)^{3}\). Und die Basis entscheidet über steigend oder fallend, nicht der Vorfaktor.
14Basis gesuchtAFB II

Für \(f(x)=n^{x}\) gilt \(f(4)=81\). Bestimmen Sie die Basis \(n\).

Welche positive Zahl ergibt hoch 4 den Wert 81? Enter prüft.
\(n^{4}=81=3^{4}\), also \(n=3\). Die Lösung \(n=-3\) scheidet aus, weil die Definition \(n>0\) verlangt.
15Prüfreihenfolge festlegenAFB I

Fünf Prüfschritte für die Frage „Ist das eine Exponentialfunktion?“ stehen durcheinander. Bringen Sie sie in eine sinnvolle Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Die Basis ablesen: Welche Zahl wird potenziert?
2Prüfen, ob die Basis ungleich 1 ist.
3Den Term auf die Form a · n hoch x bringen.
4Prüfen, ob die Basis größer als 0 ist.
5Nachsehen, wo das x steht: im Exponenten oder in der Basis?
Zuerst wird der Term sortiert, dann geklärt, wo das \(x\) steht — erst danach lohnt der Blick auf die Basis und ihre beiden Bedingungen.
16Potenzgesetz anwendenAFB III

Vereinfachen Sie \(2^{x}\cdot 2^{3}\) so weit wie möglich und schreiben Sie das Ergebnis in der Form \(a\cdot n^{x}\).

Schreibweise: 8*2^x — Malzeichen * oder weglassen, Potenzen mit ^. Enter prüft.
Gleiche Basis, also Exponenten addieren: \(2^{x}\cdot 2^{3}=2^{x+3}=2^{x}\cdot 8=8\cdot 2^{x}\). Der Vorfaktor ist damit \(a=8\), die Basis bleibt \(n=2\).
17Kopfrechnen mit PotenzenAFB II

Berechnen Sie die sechs Werte ohne Taschenrechner. Ergebnisse als Dezimalzahl.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft ebenfalls.
Potenz\(2^{0}\)\(2^{-1}\)\(2^{-3}\)\(10^{-2}\)\(5^{-2}\)\(4^{0{,}5}\)
Wert
Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert: \(2^{-3}=\tfrac{1}{8}=0{,}125\) und \(5^{-2}=\tfrac{1}{25}=0{,}04\). Der Exponent \(0{,}5\) steht für die Wurzel: \(4^{0{,}5}=\sqrt{4}=2\).
18Nachweis: die Gleichung durch zwei PunkteAFB III

Der Graph von \(f(x)=a\cdot n^{x}\) geht durch \(P(2\,|\,18)\) und \(Q(4\,|\,162)\). Setzen Sie den Lösungsweg zusammen — zwei Bausteine sind falsch und bleiben übrig.

Setze den Lösungsweg von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.
Beim Teilen fällt \(a\) heraus und die Exponenten werden subtrahiert: \(n^{4}:n^{2}=n^{2}\), nicht \(n^{3}\). Und beim Einsetzen wird durch 9 geteilt, nicht mit 9 multipliziert.
19Warum muss die Basis positiv sein?AFB II

Spielen Sie Schritt für Schritt durch, was bei einer negativen Basis passiert. Betrachtet wird \(f(x)=(-4)^{x}\).

Spiele die Untersuchung Schritt für Schritt durch: Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Die Werte springen zwischen positiv und negativ, und dazwischen fehlen ganze Bereiche. Genau deshalb steht \(n>0\) in der Definition.
    20Wachsend, fallend — oder gar keine?AFB III

    Sechs Terme. Ordnen Sie jeden dem passenden Bereich zu. Zwei Terme muss man erst umschreiben, bevor man die Basis sieht.

    Ordne jede Karte einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
    1 wachsend: n > 1
    2 fallend: 0 < n < 1
    3 keine Exponentialfunktion
    \(2^{-x}=\left(\tfrac12\right)^{x}\) hat die Basis \(0{,}5\) und fällt deshalb. \(x^{3}\) hat das \(x\) unten in der Basis, \((-3)^{x}\) eine verbotene negative Basis.
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