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TextaufgabenExponentialfunktionen — Definition

Fünf Sachaufgaben zur Form \(f(x)=a\cdot n^{x}\): Vorfaktor und Basis aus einem Sachtext herauslesen, Funktionswerte mit positiven und negativen Exponenten berechnen und aus Messdaten eine Exponentialfunktion aufstellen.

1

Bakterienkultur im Brutschrank

AFB I

In einem Brutschrank wird eine Bakterienkultur beobachtet. Zu Beobachtungsbeginn enthält die Nährlösung \(200\) Bakterien, und die Anzahl verdoppelt sich in jeder weiteren Stunde. Die Zeit \(t\) wird in Stunden seit Beobachtungsbeginn gemessen. Für die Anzahl der Bakterien gilt $$N(t)=200\cdot 2^{t}.$$

  1. Berechne die Anzahl der Bakterien nach \(0\), \(3\) und \(5\) Stunden.
  2. Gib an welche Zahl im Term der Vorfaktor \(a\) und welche die Basis \(n\) ist, und was beide im Sachzusammenhang bedeuten.
  3. Berechne wie viele Bakterien zwei Stunden vor Beobachtungsbeginn in der Nährlösung waren.
  4. Nenne die beiden Bedingungen, die die Definition an die Basis \(n\) stellt, und prüfe sie für diese Funktion.
Hinweis zu Aufgabe a)
Setze für \(t\) nacheinander die drei Zahlen ein und denke daran, dass \(2^{0}=1\) gilt. Rechne zuerst die Zweierpotenz aus und multipliziere erst danach mit \(200\).Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis zur vollständigen Antwort.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(N(0)=200\cdot 2^{0}=200\cdot 1=200\) Bakterien. \(N(3)=200\cdot 2^{3}=200\cdot 8=1600\) Bakterien. \(N(5)=200\cdot 2^{5}=200\cdot 32=6400\) Bakterien.

Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche \(N(t)=200\cdot 2^{t}\) Stück für Stück mit der allgemeinen Form \(f(x)=a\cdot n^{x}\). Überlege dann, welchen Funktionswert der Vorfaktor an der Stelle \(t=0\) liefert.„Gib an“ verlangt die reine Angabe ohne Herleitung — dafür aber vollständig, also beide Zahlen mit ihrer Bedeutung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Vorfaktor ist \(a=200\), die Basis ist \(n=2\). Der Vorfaktor \(200\) ist die Anzahl der Bakterien zu Beobachtungsbeginn, denn \(N(0)=200\cdot 2^{0}=200\). Die Basis \(2\) ist der Faktor, mit dem die Anzahl in jeder weiteren Stunde multipliziert wird — die Kultur verdoppelt sich stündlich.

Hinweis zu Aufgabe c)
Zwei Stunden vor Beobachtungsbeginn gehört zur Stelle \(t=-2\). Für negative Exponenten gilt \(2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zwei Stunden vor Beobachtungsbeginn entspricht \(t=-2\). Damit ist \(N(-2)=200\cdot 2^{-2}=200\cdot\frac{1}{4}=50\) Bakterien. Probe: Von \(50\) aus verdoppelt sich die Anzahl zweimal, \(50\cdot 2=100\) und \(100\cdot 2=200\) — das passt genau zum Startwert.

Hinweis zu Aufgabe d)
Schau nach, welche zwei Einschränkungen in der Definition hinter der Basis stehen. Setze anschließend die Basis dieser Aufgabe ein.„Nenne“ heißt aufzählen ohne Erläuterung; die Prüfung besteht hier nur aus dem Einsetzen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Gefordert sind \(n>0\) und \(n\neq 1\). Hier ist \(n=2\), und es gilt \(2>0\) sowie \(2\neq 1\). Beide Bedingungen sind erfüllt, \(N\) ist also eine Exponentialfunktion.

2

Wertverlust eines Neuwagens

AFB II

Ein Autohaus verkauft einen Neuwagen für \(24\,000\) €. Aus Erfahrung rechnet der Händler damit, dass der Wagen in jedem Jahr 15 Prozent des Werts verliert, den er am Anfang dieses Jahres hatte. Für den Restwert nach \(t\) Jahren gilt deshalb $$W(t)=24000\cdot 0{,}85^{t},$$ dabei ist \(t\) die Zeit in Jahren und \(W\) der Wert in Euro.

  1. Berechne den Restwert des Wagens nach \(0\), \(1\) und \(4\) Jahren.
  2. Bestimme das erste Jahr, in dem der Restwert unter \(12\,000\) € liegt.
  3. Überprüfe die Aussage des Verkäufers „Nach zwei Jahren hat der Wagen 30 Prozent an Wert verloren“.
Hinweis zu Aufgabe a)
Bestimme zuerst die Potenz \(0{,}85^{t}\) mit dem Taschenrechner und multipliziere das Ergebnis dann mit \(24000\). Runde erst zum Schluss auf Cent.Bei „Berechne“ gehört die Einheit zwingend zum Ergebnis — hier Euro.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(W(0)=24000\cdot 0{,}85^{0}=24000\cdot 1=24000\) €. \(W(1)=24000\cdot 0{,}85=20400\) €. Für vier Jahre ist \(0{,}85^{4}=0{,}52200625\), also \(W(4)=24000\cdot 0{,}52200625=12528{,}15\) €.

Hinweis zu Aufgabe b)
Lege eine Wertetabelle an und erhöhe \(t\) um jeweils eins; den Wert \(W(4)\) kennst du bereits aus Teilaufgabe a). Gesucht ist die kleinste ganze Zahl \(t\), für die die Marke unterschritten wird.„Bestimme“ verlangt einen nachvollziehbaren Lösungsweg, hier also die Tabelle mit einer kurzen Begründung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus Teilaufgabe a) ist \(W(4)=12528{,}15\) € bekannt; wegen \(12528{,}15 > 12000\) reichen vier Jahre noch nicht. Für \(t=5\) gilt \(0{,}85^{5}=0{,}4437053125\) und damit \(W(5)=24000\cdot 0{,}4437053125=10648{,}93\) € (gerundet). Wegen \(10648{,}93 < 12000\) ist das fünfte Jahr das erste, in dem der Restwert unter \(12\,000\) € liegt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne \(W(2)\) und vergleiche den Wertverlust in Euro mit dem Neupreis. Zwei Jahre mit je 15 Prozent Verlust ergeben nicht einfach 30 Prozent.„Überprüfe“ verlangt am Ende ein klares Urteil: Die Aussage trifft zu oder sie trifft nicht zu.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Es ist \(0{,}85^{2}=0{,}7225\), also \(W(2)=24000\cdot 0{,}7225=17340\) €. Der Wertverlust beträgt \(24000-17340=6660\) €, bezogen auf den Neupreis also \(\frac{6660}{24000}=0{,}2775\) — das sind \(27{,}75\) Prozent.

Die Aussage ist damit nicht zutreffend. Im zweiten Jahr werden die 15 Prozent nur noch vom bereits verringerten Wert \(20400\) € berechnet, deshalb addieren sich die beiden Verluste nicht zu 30 Prozent. Statt der Summe wirkt der Faktor \(0{,}85\) zweimal hintereinander.

3

Lichtstärke in einem Bergsee

AFB II

Für eine Untersuchung der Wasserqualität wird in einem Bergsee gemessen, wie viel Licht in welcher Tiefe ankommt. Direkt an der Wasseroberfläche werden \(1200\) Watt pro Quadratmeter gemessen. Jeder weitere Meter Wasser lässt nur \(75\) Prozent des Lichts durch, das oben angekommen ist. Für die Tiefe \(x\) in Metern gilt daher $$I(x)=1200\cdot 0{,}75^{x}\qquad\text{mit}\quad [I]=\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2}}.$$

  1. Berechne die Lichtstärke an der Oberfläche sowie in \(2\) m und in \(5\) m Tiefe.
  2. Ermittle die kleinste ganzzahlige Tiefe in Metern, in der weniger als zehn Prozent der Lichtstärke an der Oberfläche ankommen.
  3. Zeige dass \(I(x)\) für keine Tiefe den Wert null annimmt, und deute dieses Ergebnis für den See.
  4. Begründe warum die Basis in einem solchen Absorptionsmodell zwischen null und eins liegen muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Setze für \(x\) die Werte \(0\), \(2\) und \(5\) ein. Runde die Ergebnisse sinnvoll auf zwei Nachkommastellen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(I(0)=1200\cdot 0{,}75^{0}=1200\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2}}\). \(I(2)=1200\cdot 0{,}5625=675\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2}}\). \(I(5)=1200\cdot 0{,}2373046875=284{,}77\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2}}\) (gerundet).

Hinweis zu Aufgabe b)
Rechne zuerst aus, welcher Lichtstärke zehn Prozent des Oberflächenwerts entsprechen. Vergrößere dann \(x\) schrittweise um eins, bis der Funktionswert diese Marke unterschreitet.„Ermittle“ verlangt neben dem Ergebnis den Weg dorthin, hier also die Wertetabelle.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Zehn Prozent des Oberflächenwerts sind \(0{,}1\cdot 1200=120\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2}}\). Für \(x=8\) gilt \(0{,}75^{8}=0{,}1001129\ldots\) und damit \(I(8)=120{,}14\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2}}\) (gerundet) — die Marke ist also noch nicht unterschritten. Für \(x=9\) gilt \(0{,}75^{9}=0{,}0750847\ldots\) und damit \(I(9)=90{,}10\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2}}\) (gerundet). Wegen \(90{,}10 < 120\) ist die gesuchte Tiefe \(9\) Meter. Bemerkenswert ist, wie knapp der Wert bei \(8\) m über der Marke liegt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Überlege, welches Vorzeichen eine Potenz mit positiver Basis haben kann. Ein Produkt ist nur dann null, wenn einer der Faktoren null ist.„Zeige“ verlangt eine allgemeine Begründung, die für alle \(x\) gilt, nicht nur einzelne eingesetzte Werte.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Basis ist \(0{,}75\) und damit positiv, deshalb ist \(0{,}75^{x} > 0\) für jedes \(x\). Der Vorfaktor \(1200\) ist ebenfalls positiv, also ist \(I(x)=1200\cdot 0{,}75^{x} > 0\) für jedes \(x\). Ein Produkt aus zwei positiven Faktoren kann nie null werden, die Funktion hat also keine Nullstelle und ihr Graph verläuft vollständig oberhalb der \(x\)-Achse.

Im Sachzusammenhang bedeutet das: Nach dem Modell dringt in jede noch so große Tiefe ein Rest Licht vor. In Wirklichkeit sind die Werte ab einigen Dutzend Metern so klein, dass kein Messgerät sie noch von null unterscheiden kann — das Modell liefert hier zwar richtige, aber praktisch bedeutungslose Zahlen.

Hinweis zu Aufgabe d)
Überlege getrennt, was passiert, wenn die Basis größer als eins ist, und was der Sonderfall \(n=1\) bedeuten würde. Denke außerdem an die Bedingung aus der Definition.„Begründe“ heißt: die Aussage nennen und sie auf die Eigenschaften der Exponentialfunktion zurückführen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Nach der Definition muss ohnehin \(n>0\) und \(n\neq 1\) gelten. Wäre die Basis größer als eins, so würden die Funktionswerte mit wachsendem \(x\) immer größer — es käme in der Tiefe mehr Licht an als an der Oberfläche, was physikalisch unmöglich ist. Für \(n=1\) wäre \(1^{x}=1\) für jedes \(x\), die Lichtstärke bliebe also in jeder Tiefe bei \(1200\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2}}\); der Graph wäre eine waagerechte Gerade und beschriebe gar keine Abnahme. Nur für eine Basis mit \(0 < n < 1\) nehmen die Werte mit wachsender Tiefe ab und bleiben dabei stets positiv — genau das leistet hier \(n=0{,}75\).

4

Nutzerzahlen einer Lern-App

AFB II

Eine kleine Firma veröffentlicht eine Lern-App. In der Startwoche benutzen \(1500\) Personen die App. Die Entwickler stellen fest, dass die Nutzerzahl in jeder weiteren Woche auf das \(1{,}4\)-Fache der Vorwoche steigt. Mit der Zeit \(t\) in Wochen seit dem Start beschreibt $$N(t)=1500\cdot 1{,}4^{t}$$ die Anzahl der Nutzerinnen und Nutzer.

  1. Berechne die Nutzerzahl in der Startwoche sowie nach \(3\) und nach \(6\) Wochen.
  2. Bestimme die erste volle Woche, in der die App mehr als \(50\,000\) Nutzer hat.
  3. Überprüfe die Behauptung eines Entwicklers „Pro Woche kommen 600 neue Nutzer dazu“.
Hinweis zu Aufgabe a)
Setze \(t=0\), \(t=3\) und \(t=6\) ein. Da es sich um Personen handelt, rundest du am Ende auf ganze Zahlen.Bei „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und ein im Sachkontext sinnvoll gerundetes Ergebnis zur Antwort.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(N(0)=1500\cdot 1{,}4^{0}=1500\) Nutzer. \(N(3)=1500\cdot 1{,}4^{3}=1500\cdot 2{,}744=4116\) Nutzer. \(N(6)=1500\cdot 1{,}4^{6}=1500\cdot 7{,}529536=11294{,}304\), also rund \(11\,294\) Nutzer.

Hinweis zu Aufgabe b)
Lege eine Wertetabelle an und erhöhe \(t\) schrittweise um eins, bis der Funktionswert die Marke überschreitet. Rechne mit dem Taschenrechner und runde erst am Ende.„Bestimme“ verlangt einen dargestellten Lösungsweg und ein klar formuliertes Ergebnis.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für \(t=10\) gilt \(1{,}4^{10}=28{,}9254\ldots\) und damit \(N(10)=1500\cdot 28{,}9254\ldots=43388{,}20\), also rund \(43\,388\) Nutzer — das ist noch weniger als \(50\,000\). Für \(t=11\) gilt \(1{,}4^{11}=40{,}4956\ldots\) und damit \(N(11)=60743{,}48\), also rund \(60\,743\) Nutzer. Erst in der elften Woche nach dem Start wird die Marke von \(50\,000\) Nutzern überschritten.

Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne den Zuwachs in der ersten Woche und vergleiche ihn mit dem Zuwachs zwischen der fünften und der sechsten Woche. Achte darauf, ob der Zuwachs oder der Faktor konstant ist.„Überprüfe“ verlangt am Ende ein eindeutiges Urteil über die Aussage.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

In der ersten Woche gilt \(N(1)-N(0)=2100-1500=600\) Nutzer — für diese eine Woche stimmt die Zahl. Für die sechste Woche ist \(N(5)=1500\cdot 5{,}37824=8067{,}36\) und \(N(6)=11294{,}304\), also \(N(6)-N(5)=3226{,}944\), das sind rund \(3227\) neue Nutzer.

Die Behauptung ist damit nicht zutreffend. Sie beschreibt einen gleichbleibenden Zuwachs, also lineares Wachstum. Bei einer Exponentialfunktion ist aber nicht die Differenz, sondern der Faktor von Woche zu Woche konstant, hier \(1{,}4\) — deshalb wächst auch der Zuwachs selbst von Woche zu Woche.

5

Wirkstoffabbau im Blut

AFB III

Nach der Einnahme einer Tablette wird die Wirkstoffmenge im Blut einer Patientin gemessen. Zwei Stunden nach der Einnahme sind es \(288\) mg, fünf Stunden nach der Einnahme noch \(147{,}456\) mg. Die behandelnde Ärztin geht davon aus, dass sich der Abbau durch eine Exponentialfunktion der Form \(m(t)=a\cdot n^{t}\) beschreiben lässt. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden seit der Einnahme und \(m\) die Wirkstoffmenge in Milligramm.

  1. Bestimme den Vorfaktor \(a\) und die Basis \(n\) aus den beiden Messwerten und gib die Funktionsgleichung an.
  2. Deute den Vorfaktor und die Basis der gefundenen Funktion im Sachzusammenhang.
  3. Beurteile die Aussage des Herstellers „Zwölf Stunden nach der Einnahme ist der Wirkstoff vollständig abgebaut“.
  4. Vergleiche den Abbau mit dem eines zweiten Präparats, für das \(m_{2}(t)=300\cdot 0{,}9^{t}\) gilt, und gib an, ab welcher vollen Stunde das zweite Präparat mehr Wirkstoff im Blut hat.
Hinweis zu Aufgabe a)
Stelle für jeden Messwert eine Gleichung auf und teile die zweite durch die erste — der Vorfaktor kürzt sich dabei weg. Die so gefundene Basis ist eine glatte Zahl mit nur einer Nachkommastelle.„Bestimme“ verlangt den vollständigen Lösungsweg, nicht nur das fertige Ergebnis.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: Aus den Messwerten folgt \(a\cdot n^{2}=288\) und \(a\cdot n^{5}=147{,}456\). Division der zweiten Gleichung durch die erste liefert $$\frac{a\cdot n^{5}}{a\cdot n^{2}}=n^{3}=\frac{147{,}456}{288}=0{,}512.$$ Wegen \(0{,}8\cdot 0{,}8\cdot 0{,}8=0{,}512\) ist \(n=0{,}8\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(a\cdot 0{,}8^{2}=a\cdot 0{,}64=288\), also \(a=\frac{288}{0{,}64}=450\).

Die gesuchte Funktion lautet \(m(t)=450\cdot 0{,}8^{t}\). Probe: \(m(5)=450\cdot 0{,}32768=147{,}456\) — der zweite Messwert wird genau getroffen. Beide Bedingungen der Definition sind erfüllt, denn \(0{,}8>0\) und \(0{,}8\neq 1\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Überlege, zu welchem Zeitpunkt der Vorfaktor der Funktionswert ist. Rechne für die Basis aus, welchem Anteil in Prozent sie entspricht.„Deute“ verlangt, die mathematischen Größen in Aussagen über den Sachverhalt zu übersetzen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Vorfaktor \(a=450\) ist der Funktionswert an der Stelle \(t=0\), denn \(m(0)=450\cdot 0{,}8^{0}=450\). Er beschreibt also die Wirkstoffmenge von \(450\) mg unmittelbar nach der Einnahme.

Die Basis \(n=0{,}8\) ist der Faktor, mit dem die Menge in jeder weiteren Stunde multipliziert wird. Nach jeder Stunde sind noch \(80\) Prozent der vorherigen Menge im Blut, pro Stunde werden also \(20\) Prozent abgebaut. Weil \(0{,}8\) kleiner als eins ist, nimmt die Menge ab.

Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne \(m(12)\) und vergleiche das Ergebnis mit der Anfangsmenge. Frage dich außerdem, ob eine Exponentialfunktion den Wert null überhaupt erreichen kann.„Beurteile“ verlangt ein begründetes eigenes Urteil, das mathematische Rechnung und Sachkontext gegeneinander abwägt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Es ist \(0{,}8^{12}=0{,}068719\ldots\), also \(m(12)=450\cdot 0{,}068719\ldots=30{,}92\) mg (gerundet). Das sind noch rund \(6{,}9\) Prozent der Anfangsmenge von \(450\) mg.

Mathematisch ist die Aussage nicht haltbar: Die Basis \(0{,}8\) ist positiv, deshalb gilt \(0{,}8^{t} > 0\) für jedes \(t\) und damit \(m(t) > 0\). Die Funktion besitzt keine Nullstelle, der Wirkstoff verschwindet nach diesem Modell also zu keinem Zeitpunkt vollständig.

Im Sachzusammenhang muss man das jedoch abwägen: Ob \(30{,}92\) mg noch wirken, hängt davon ab, ab welcher Menge das Medikament überhaupt eine Wirkung zeigt. Sinnvoll wäre daher die Formulierung, dass nach zwölf Stunden die Wirkschwelle unterschritten ist — nicht aber, dass der Wirkstoff vollständig abgebaut ist.

Hinweis zu Aufgabe d)
Lege eine gemeinsame Wertetabelle für beide Funktionen an. Das zweite Präparat startet mit weniger Wirkstoff, wird aber langsamer abgebaut.„Vergleiche“ verlangt, beide Funktionen gegenüberzustellen und Gemeinsamkeiten sowie Unterschiede ausdrücklich zu benennen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Wertetabelle: Für \(t=0\) ist \(m(0)=450\) mg und \(m_{2}(0)=300\) mg. Für \(t=3\) ist \(m(3)=450\cdot 0{,}512=230{,}4\) mg und \(m_{2}(3)=300\cdot 0{,}729=218{,}7\) mg — das erste Präparat liegt noch vorn. Für \(t=4\) ist \(m(4)=450\cdot 0{,}4096=184{,}32\) mg und \(m_{2}(4)=300\cdot 0{,}6561=196{,}83\) mg. Wegen \(184{,}32 < 196{,}83\) liegt ab der vierten Stunde das zweite Präparat vorn, und der Abstand wächst danach weiter: für \(t=5\) sind es \(147{,}456\) mg gegenüber \(177{,}147\) mg.

Vergleich: Beide Funktionen haben die Form \(a\cdot n^{x}\) mit einer Basis zwischen null und eins, beschreiben also eine Abnahme, und beide Graphen verlaufen ganz oberhalb der \(t\)-Achse. Unterschiedlich sind Vorfaktor und Basis: Das erste Präparat startet mit dem größeren Vorfaktor \(450\), verliert wegen \(n=0{,}8\) aber \(20\) Prozent pro Stunde. Das zweite startet nur mit \(300\), behält wegen \(n=0{,}9\) aber \(90\) Prozent pro Stunde. Die größere Basis setzt sich auf Dauer gegen den größeren Vorfaktor durch.