MINT lernen

Interaktive ÜbungDie Parameter a, b und c

Zwanzig Aufgaben zu den drei Parametern: Wirkung von a, b und c beschreiben, die Asymptote bestimmen, Funktionswerte berechnen und aus Asymptote und Punkt die Gleichung aufstellen.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDie drei Parameter a, b und c — Streckung, Verschiebung und die Lage der Asymptote.
Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zu den drei Parametern. Im Parameter-Labor stellst du eine Zielkurve nach; danach wird gerechnet: Funktionswerte mit Verschiebung, Asymptoten bestimmen und aus zwei Angaben die vollständige Gleichung aufstellen.

1Welcher Parameter tut was?AFB I

Sechs Beschreibungen. Sortieren Sie jede in den Korb des Parameters, der sie bewirkt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Parameter a
2Parameter b
3Parameter c
Nur \(c\) bewegt die Asymptote — \(a\) und \(b\) lassen sie liegen. Und nur \(a\) kann den Graphen spiegeln.
2Parameter ablesenAFB I

Wählen Sie in jedem Menü den richtigen Eintrag. Achten Sie beim Exponenten auf das Vorzeichen.

Öffne jedes Menü und wähle den passenden Eintrag. Am Ende alles auf einmal prüfen.

Gegeben ist \(f(x)=3\cdot 2^{\,x-1}+4\).

Es ist \(a=\) , \(b=\) und \(c=\) .

Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y=\) und der Graph ist gegenüber \(2^{x}\) um eine Einheit nach verschoben.

Im Exponenten steht \(x+b\). Aus \(x-1\) folgt deshalb \(b=-1\) — und ein negatives \(b\) verschiebt nach rechts. Die Asymptote liegt bei \(y=c=4\).
3Funktionswert mit allen drei ParameternAFB I

Gegeben ist \(f(x)=2\cdot 3^{\,x+1}-5\). Berechnen Sie \(f(1)\).

Erst den Exponenten ausrechnen, dann potenzieren, dann mal 2, dann minus 5. Enter prüft.
\(f(1)=2\cdot 3^{1+1}-5=2\cdot 9-5=18-5=13\). Der Exponent wird zuerst zusammengefasst — nicht erst \(3^{1}\) berechnen und dann 1 addieren.
4Wertetabelle mit Verschiebung nach obenAFB II

Vervollständigen Sie die Wertetabelle zu \(f(x)=2^{x}+3\). Beobachten Sie, welchem Wert sich die Zahlen links nähern.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.
x−2−10123
f(x)
Nach links nähern sich die Werte der 3 — das ist die neue Asymptote \(y=3\). Sie wird nie erreicht, weil \(2^{x}\) nie 0 wird.
5Parameter-Labor: Zielkurve treffenAFB II

Die graue gestrichelte Kurve ist das Ziel, die Basis ist \(n=2\). Stellen Sie \(a\), \(b\) und \(c\) so ein, dass die violette Kurve genau darauf liegt. Beginnen Sie mit der Asymptote.

Ziehe die drei Regler oder verstelle sie nach Tab mit den Pfeiltasten. Die orange Linie zeigt deine aktuelle Asymptote, die grün gepunktete die Ziel-Asymptote.
Zuerst \(c=-3\) an der Asymptote ablesen. Dann sieht man am Punkt über \(x=1\): dort ist \(f(1)=2\cdot 2^{0}-3=-1\), also \(a=2\) und \(b=-1\). Die Zielkurve lautet \(f(x)=2\cdot 2^{\,x-1}-3\).
6Negatives a: drei Angaben berechnenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=-2\cdot 2^{\,x+3}+5\). Berechnen Sie die beiden Funktionswerte und geben Sie den \(y\)-Wert der Asymptote an.

Drei Felder, gemeinsam geprüft. Enter prüft.
\(f(-3)=-2\cdot 2^{0}+5=-2+5=3\) und \(f(-1)=-2\cdot 2^{2}+5=-8+5=-3\). Die Asymptote liegt bei \(y=c=5\); wegen \(a<0\) verläuft der ganze Graph unterhalb davon.
7Wo liegt die Asymptote?AFB I

Fünf Funktionen. Kreuzen Sie die Gleichung der waagerechten Asymptote an.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.
Funktion\(y=0\)\(y=2\)\(y=-3\)
\(f(x)=2^{x}\)
\(f(x)=2^{x}+2\)
\(f(x)=3\cdot 2^{\,x-1}-3\)
\(f(x)=2^{\,x+5}\)
\(f(x)=-4\cdot 2^{x}+2\)
Nur der Summand ganz am Ende zählt. \(2^{\,x+5}\) hat kein \(+c\), also bleibt die Asymptote \(y=0\) — egal wie stark waagerecht verschoben wird.
8Stimmt das über a, b und c?AFB II

Sieben Aussagen. Entscheiden Sie nacheinander, ob sie zutreffen.

Sieben Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 7

Die häufigste Falle ist das Vorzeichen bei \(b\): Im Term steht \(x+b\), deshalb verschiebt ein positives \(b\) nach links.
9Rechenkette: Gleichung aus Asymptote und PunktAFB II

Ein Graph der Form \(f(x)=a\cdot 2^{x}+c\) hat die Asymptote \(y=2\) und geht durch \(P(0\,|\,5)\). Bestimmen Sie die Gleichung und zwei weitere Werte.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Welchen Wert hat \(c\)?
  2. Setze \(P\) ein: \(5=a\cdot 2^{0}+2\). Wie groß ist \(a\)?
  3. Berechne \(f(2)\).
  4. Berechne \(f(-1)\).
Die Asymptote liefert \(c\) sofort. Danach bleibt \(5=a+2\), also \(a=3\) und \(f(x)=3\cdot 2^{x}+2\). Damit ist \(f(2)=3\cdot 4+2=14\) und \(f(-1)=3\cdot 0{,}5+2=3{,}5\).
10Die Wirkung in WortenAFB I

Sieben Lücken. Setzen Sie die passenden Begriffe ein — ein Baustein bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso.

Der Parameter \(a\) bewirkt eine in \(y\)-Richtung; ist \(a\) negativ, wird der Graph zusätzlich an der Asymptote . Der Parameter \(b\) steht im und verschiebt den Graphen für \(b>0\) nach . Der Parameter \(c\) wird am Ende und verschiebt den Graphen samt seiner . Diese liegt dann bei \(y=\) .

„Nullstelle“ bleibt übrig. Für \(c=0\) gibt es keine; erst wenn \(a\) und \(c\) verschiedene Vorzeichen haben, schneidet der Graph die \(x\)-Achse.
11Verschiebung in den Vorfaktor umrechnenAFB III

Schreiben Sie \(f(x)=3\cdot 2^{\,x+2}\) ohne Verschiebung, also in der Form \(a\cdot 2^{x}\).

Schreibweise: 12*2^x — Malzeichen * oder weglassen, Potenzen mit ^. Enter prüft.
\(2^{\,x+2}=2^{x}\cdot 2^{2}=4\cdot 2^{x}\), also \(f(x)=3\cdot 4\cdot 2^{x}=12\cdot 2^{x}\). Eine waagerechte Verschiebung lässt sich bei Exponentialfunktionen immer als Streckung schreiben — bei keiner anderen Funktionsklasse geht das.
12Zwei Fehler in einer KurvenbeschreibungAFB II

Zu \(f(x)=-2\cdot 3^{\,x-1}+4\) wurde folgende Beschreibung verfasst. Sie enthält zwei Fehler. Markieren Sie genau die falschen Zeilen.

In dieser Beschreibung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Vorzeichen entscheiden hier doppelt: \(b\) über die Richtung der Verschiebung und \(a\) darüber, auf welcher Seite der Asymptote die Kurve liegt.
13Alle mit der Asymptote y = −1AFB II

Sieben Funktionen. Markieren Sie alle, deren Graph die waagerechte Asymptote \(y=-1\) hat.

Suche in jedem Term den Summanden ganz am Ende. Markiere alle Treffer.
\(2^{\,x-1}\) sieht der ersten Funktion ähnlich, aber die \(-1\) steht im Exponenten und verschiebt nur waagerecht — die Asymptote bleibt \(y=0\).
14Reihenfolge beim ZeichnenAFB I

Fünf Schritte, um aus \(n^{x}\) den Graphen von \(a\cdot n^{\,x+b}+c\) zu zeichnen. Bringen Sie sie in eine sinnvolle Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Um c nach oben verschieben (bei negativem c nach unten).
2Die Grundkurve n hoch x einzeichnen.
3Die Asymptote y = c einzeichnen und prüfen, dass die Kurve sie nicht schneidet.
4Mit a in y-Richtung strecken — bei negativem a zusätzlich spiegeln.
5Um b nach links verschieben (bei negativem b nach rechts).
Die Reihenfolge folgt dem Term von innen nach außen: erst die Potenz, dann der Faktor \(a\), dann die Verschiebungen. Zuletzt dient die Asymptote als Kontrolle.
15a und c aus Asymptote und PunktAFB III

Der Graph von \(f(x)=a\cdot 2^{x}+c\) hat die Asymptote \(y=-1\) und geht durch \(P(3\,|\,15)\). Bestimmen Sie \(a\) und \(c\).

Zuerst \(c\), dann den Punkt einsetzen. Enter prüft.
Die Asymptote liefert \(c=-1\). Einsetzen: \(15=a\cdot 2^{3}-1\), also \(8a=16\) und \(a=2\). Die Funktion lautet \(f(x)=2\cdot 2^{x}-1\).
16Fünf Werte einer verschobenen KurveAFB II

Gegeben ist \(f(x)=4\cdot 2^{\,x-2}-3\). Berechnen Sie die fünf Funktionswerte.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Enter prüft ebenfalls.
x01234
f(x)
\(f(0)=4\cdot 2^{-2}-3=4\cdot 0{,}25-3=-2\). Von Schritt zu Schritt verdoppelt sich nur der Anteil über der Asymptote \(y=-3\): 1, 2, 4, 8, 16.
17Welcher Graph gehört zu 2 hoch x minus 2?AFB I

Vier Graphen mit ihrer grün gestrichelten Asymptote. Wählen Sie den Graphen von \(f(x)=2^{x}-2\) aus.

Klicke die passende Karte an und prüfe dann. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter auswählen.
Der Summand \(-2\) senkt die Asymptote auf \(y=-2\). Karte C zeigt \(2^{x}+2\), Karte D zeigt \(-2^{x}\) — dort ist der Vorfaktor negativ, nicht der Summand.
18Nachweis: Gleichung aus Asymptote und PunktAFB III

Ein Graph der Form \(f(x)=a\cdot 2^{x}+c\) hat die Asymptote \(y=3\) und geht durch \(P(2\,|\,7)\). Setzen Sie den Lösungsweg zusammen — zwei Bausteine sind falsch.

Setze den Lösungsweg von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.
Die Asymptote gehört zu \(c\), nicht zu \(a\). Und die 3 muss vor dem Teilen abgezogen werden — sonst kommt 1,75 statt 1 heraus.
19Regler auf die passende AsymptoteAFB II

Der Graph von \(f(x)=3\cdot 2^{\,x+1}+c\) soll die Asymptote \(y=-2\) haben. Stellen Sie den Regler auf den passenden Wert von \(c\).

Schiebe den Regler auf den gesuchten Wert — Pfeiltasten bewegen ihn in halben Schritten. Der Regler muss exakt stimmen.
-55
Die Asymptote liegt immer bei \(y=c\), also ist \(c=-2\). Weder der Vorfaktor 3 noch die Verschiebung \(b=1\) ändern daran etwas.
20Kurvendiskussion im SchnelldurchgangAFB III

Untersucht wird \(f(x)=-2^{x}+4\). Spielen Sie die vier Fragen durch.

Spiele die Untersuchung Schritt für Schritt durch: Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Sobald \(a\) und \(c\) verschiedene Vorzeichen haben, gibt es genau eine Nullstelle. Bei der reinen Grundfunktion \(n^{x}\) ist das nie der Fall — dort ist \(c=0\).
    Nächster SchrittZu den TextaufgabenFünf Sachaufgaben zur Form f(x)=acdot nx+b+c: Asymptoten deuten, Streckung, Spiegelung und Verschiebung im Sachkontext lesen und aus Messwerten eine Funktionsgleichung gewinnen. WeiterZurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel von Funktionen auf einen Blick.