Funktion f(x)=a·nˣ⁺ᵇ+c: Textaufgaben – Mathe Klasse 11

Kaffee kühlt ab

AFB I

Ein frisch aufgebrühter Kaffee hat eine Temperatur von $92\,^\circ\mathrm{C}$ und steht in einem Raum mit $20\,^\circ\mathrm{C}$ Raumtemperatur. Für die ersten Minuten beschreibt das Modell $$T(t)=72\cdot 0{,}9^{\,t}+20\qquad\text{mit}\quad [T]={}^\circ\mathrm{C}$$ die Temperatur des Kaffees. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten nach dem Eingießen.

Berechne die Temperatur des Kaffees zu Beginn, nach $5$ Minuten und nach $10$ Minuten.
Gib an welche Bedeutung der Parameter $c=20$ für den Graphen und für die Sachsituation hat.
Beschreibe wie der Graph von $T$ aus dem Graphen der Grundfunktion $0{,}9^{\,t}$ hervorgeht.

Hinweis zu Aufgabe a)

Berechne zuerst die Potenz $0{,}9^{\,t}$, multipliziere das Ergebnis danach mit $72$ und addiere zum Schluss $20$.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit zusammen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$T(0)=72\cdot 0{,}9^{\,0}+20=72\cdot 1+20=92$, also $92\,^\circ\mathrm{C}$.

$T(5)=72\cdot 0{,}9^{\,5}+20=72\cdot 0{,}59049+20=42{,}51528+20=62{,}51528$, also rund $62{,}5\,^\circ\mathrm{C}$.

$T(10)=72\cdot 0{,}9^{\,10}+20\approx 72\cdot 0{,}34868+20\approx 25{,}10+20=45{,}10$, also rund $45{,}1\,^\circ\mathrm{C}$. Der Kaffee hat nach zehn Minuten die angenehme Trinktemperatur bereits deutlich unterschritten.

Hinweis zu Aufgabe b)

Der Parameter $c$ ist der einzige, der die waagerechte Asymptote bewegt. Überlege, welchem Zahlenwert sich $T(t)$ für große $t$ nähert.„Gib an“ verlangt die Angabe ohne Herleitung — dafür aber mit dem korrekten Fachwort.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Parameter $c=20$ verschiebt den Graphen um $20$ Einheiten nach oben. Die waagerechte Asymptote liegt daher nicht bei $y=0$, sondern bei $y=20$.

Im Sachkontext ist das die Raumtemperatur: Der Kaffee nähert sich ihr immer weiter an, kühlt aber nie unter $20\,^\circ\mathrm{C}$ ab.

Hinweis zu Aufgabe c)

Vergleiche die drei Parameter der Modellgleichung mit der Grundform $a\cdot n^{\,t+b}+c$. Sieh dir insbesondere an, wohin der Punkt $(0\,|\,1)$ wandert.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Es ist $a=72$, $b=0$ und $c=20$.

Zuerst wird der Graph von $0{,}9^{\,t}$ wegen $a=72>1$ in $y$-Richtung mit dem Faktor $72$ gestreckt; der Punkt $(0\,|\,1)$ wandert dabei auf $(0\,|\,72)$. Anschließend wird der Graph wegen $c=20$ um $20$ nach oben verschoben, der Punkt liegt dann bei $(0\,|\,92)$.

Wegen $b=0$ findet keine Verschiebung in $t$-Richtung statt. Die Asymptote wandert von $y=0$ auf $y=20$.

Bakterienkultur im Labor

AFB II

Eine Bakterienkultur verdoppelt ihre Anzahl unter idealen Bedingungen jede Stunde. Ein Praktikant beginnt seine Beobachtung nicht direkt beim Ansetzen der Kultur, sondern erst später. Er notiert für die Anzahl der Bakterien das Modell $$N(t)=500\cdot 2^{\,t+2},$$ wobei $t$ die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn angibt.

Berechne die Bakterienzahl zu Beobachtungsbeginn sowie nach $3$ und nach $5$ Stunden.
Zeige dass sich die Modellgleichung auch in der Form $N(t)=2000\cdot 2^{\,t}$ schreiben lässt.
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem das Modell genau $500$ Bakterien liefert, und deute das Ergebnis im Sachkontext.
Erkläre wie der Graph von $N$ aus dem Graphen der Grundfunktion $2^{\,t}$ hervorgeht und warum die Asymptote dabei liegen bleibt.

Hinweis zu Aufgabe a)

Bilde zuerst die Summe im Exponenten, zum Beispiel $3+2=5$, und berechne erst danach die Zweierpotenz.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis zusammen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$N(0)=500\cdot 2^{\,0+2}=500\cdot 4=2000$ Bakterien.

$N(3)=500\cdot 2^{\,3+2}=500\cdot 32=16\,000$ Bakterien.

$N(5)=500\cdot 2^{\,5+2}=500\cdot 128=64\,000$ Bakterien.

Hinweis zu Aufgabe b)

Benutze das Potenzgesetz $n^{\,x+b}=n^{\,x}\cdot n^{\,b}$ und zieh die entstehende Zahl mit dem Vorfaktor zusammen.„Zeige“ verlangt eine vollständige Rechnung, die von der gegebenen zur behaupteten Form führt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Mit dem Potenzgesetz gilt $$N(t)=500\cdot 2^{\,t+2}=500\cdot 2^{\,t}\cdot 2^{2}=500\cdot 4\cdot 2^{\,t}=2000\cdot 2^{\,t}.$$

Beide Schreibweisen beschreiben also dieselbe Funktion. Bei Exponentialfunktionen lässt sich eine Verschiebung um $b$ nach links stets durch eine Streckung mit dem Faktor $n^{\,b}=2^{2}=4$ ersetzen — $a$ und $b$ sind daher nicht unabhängig voneinander.

Hinweis zu Aufgabe c)

Setze $N(t)=500$ und kürze durch $500$. Nutze dann, dass $2^{\,0}=1$ gilt, und vergleiche die Exponenten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: $500\cdot 2^{\,t+2}=500$, also $2^{\,t+2}=1=2^{\,0}$. Ein Exponentenvergleich liefert $t+2=0$, also $t=-2$.

Deutung: Der Wert $500$ gehört zum Zeitpunkt zwei Stunden vor Beobachtungsbeginn. Die Kultur wurde also mit $500$ Bakterien angesetzt, und der Praktikant hat erst zwei Stunden später mit dem Zählen begonnen.

Hinweis zu Aufgabe d)

Ordne die Werte $a=500$, $b=2$ und $c=0$ den drei Wirkungen Streckung, Verschiebung in $x$-Richtung und Verschiebung in $y$-Richtung zu.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Wegen $b=2>0$ wird der Graph von $2^{\,t}$ um $2$ Einheiten nach links verschoben, wegen $a=500$ zusätzlich in $y$-Richtung mit dem Faktor $500$ gestreckt.

Es ist $c=0$, also findet keine Verschiebung in $y$-Richtung statt. Da nur $c$ die waagerechte Asymptote bewegt, bleibt sie die $t$-Achse, also $y=0$. Sachlich passt das: Die Bakterienzahl wächst über alle Grenzen, wird aber nach unten hin niemals negativ.

Ladekurve eines Elektroautos

AFB II

An einer Schnellladesäule wird ein Elektroauto geladen. Beim Anstecken beträgt der Ladestand $20\,\%$. Für den Ladestand $L$ in Prozent gilt näherungsweise $$L(t)=-80\cdot 0{,}25^{\,t}+100,$$ wobei $t$ die Ladezeit in Stunden ist. Auffallend ist das negative Vorzeichen des Vorfaktors.

Berechne den Ladestand beim Anstecken sowie nach $1$ und nach $2$ Stunden.
Erkläre welche Wirkung der negative Vorfaktor $a=-80$ auf den Graphen der Grundfunktion $0{,}25^{\,t}$ hat und was das für den Ladevorgang bedeutet.
Überprüfe die Behauptung eines Fahrers: „Nach zweieinhalb Stunden ist der Akku vollständig geladen.“

Hinweis zu Aufgabe a)

Berechne zuerst die Potenz, multipliziere sie dann mit $-80$ und addiere anschließend $100$. Achte auf das Vorzeichen.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit zusammen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$L(0)=-80\cdot 0{,}25^{\,0}+100=-80\cdot 1+100=20$, also $20\,\%$.

$L(1)=-80\cdot 0{,}25+100=-20+100=80$, also $80\,\%$.

$L(2)=-80\cdot 0{,}0625+100=-5+100=95$, also $95\,\%$. Der Ladevorgang wird also mit der Zeit deutlich langsamer.

Hinweis zu Aufgabe b)

Zerlege die Wirkung in zwei Schritte: Was bewirkt der Betrag $|a|=80$, und was bewirkt zusätzlich das Minuszeichen?„Erkläre“ verlangt, die Beobachtung auf die bekannte Wirkung der Parameter zurückzuführen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Betrag $|a|=80>1$ bewirkt eine Streckung in $y$-Richtung mit dem Faktor $80$. Das Minuszeichen bewirkt zusätzlich eine Spiegelung an der Asymptote: Aus der fallenden Grundkurve $0{,}25^{\,t}$ wird eine steigende Kurve.

Der Punkt $(0\,|\,1)$ wandert auf $(0\,|\,-80)$ und nach der Verschiebung um $c=100$ auf $(0\,|\,20)$ — das ist der Ladestand beim Anstecken. Der Graph nähert sich der Asymptote $y=100$ nun von unten: Der Akku füllt sich, und zwar zu Beginn schnell und später immer langsamer.

Hinweis zu Aufgabe c)

Schreibe $0{,}25=2^{-2}$, dann ist $0{,}25^{\,2{,}5}=2^{-5}$. Sieh dir außerdem an, welchen Wert die Asymptote vorgibt.„Überprüfe“ verlangt, eine Aussage an der Rechnung zu messen und das Ergebnis klar zu bewerten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Rechnung: $0{,}25^{\,2{,}5}=\left(2^{-2}\right)^{2{,}5}=2^{-5}=\frac{1}{32}=0{,}03125$.

Damit ist $L(2{,}5)=-80\cdot 0{,}03125+100=-2{,}5+100=97{,}5$, also $97{,}5\,\%$.

Die Behauptung ist falsch. Mehr noch: Wegen $0{,}25^{\,t}>0$ für alle $t$ gilt stets $L(t)<100$. Der Ladestand $100\,\%$ wird nach dem Modell nie erreicht, weil $y=100$ die waagerechte Asymptote ist.

Zählrate im Physikpraktikum

AFB II

Im Physikpraktikum wird der Zerfall eines Präparats mit einem Zählrohr verfolgt. Auch ohne Präparat misst das Zählrohr wegen der natürlichen Untergrundstrahlung dauerhaft $25$ Impulse pro Sekunde. Die Messung beginnt erst eine Stunde nach der Herstellung des Präparats. Für die gemessene Zählrate gilt $$Z(t)=640\cdot 0{,}5^{\,t+1}+25\qquad\text{mit}\quad [Z]=\tfrac{\text{Impulse}}{\text{s}},$$ wobei $t$ die Zeit in Stunden nach Messbeginn ist.

Berechne die Zählrate bei Messbeginn sowie nach $2$ und nach $5$ Stunden.
Erkläre welche Bedeutung die Parameter $c=25$ und $b=1$ im Sachkontext haben.
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Anzeige des Zählrohrs auf $30$ Impulse pro Sekunde gefallen ist.
Weise nach dass sich die Netto-Zählrate $Z(t)-25$ in jeder Stunde halbiert, die angezeigte Gesamt-Zählrate $Z(t)$ dagegen nicht.

Hinweis zu Aufgabe a)

Bilde zuerst $t+1$ und berechne dann die Potenz von $0{,}5$. Erst ganz am Ende werden die $25$ Impulse pro Sekunde addiert.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit zusammen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$Z(0)=640\cdot 0{,}5^{\,1}+25=320+25=345$ Impulse pro Sekunde.

$Z(2)=640\cdot 0{,}5^{\,3}+25=640\cdot 0{,}125+25=80+25=105$ Impulse pro Sekunde.

$Z(5)=640\cdot 0{,}5^{\,6}+25=640\cdot 0{,}015625+25=10+25=35$ Impulse pro Sekunde.

Hinweis zu Aufgabe b)

Der Parameter $c$ legt die Asymptote fest. Für $b$ hilft die Frage: Zu welchem $t$ liefert der Term $640\cdot 0{,}5^{\,t+1}$ genau den Wert $640$?„Erkläre“ verlangt, den mathematischen Parameter auf die physikalische Ursache zurückzuführen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

$c=25$: Der gesamte Graph ist um $25$ nach oben verschoben, die waagerechte Asymptote liegt bei $y=25$. Physikalisch ist das die Untergrundstrahlung: Die Anzeige sinkt auch nach sehr langer Zeit nicht unter $25$ Impulse pro Sekunde.

$b=1$: Der Graph ist um $1$ nach links verschoben. Der Term $640\cdot 0{,}5^{\,t+1}$ hat bei $t=-1$ den Wert $640$ — eine Stunde vor Messbeginn, also bei der Herstellung, betrug die Netto-Zählrate $640$ Impulse pro Sekunde. Bei Messbeginn ist davon wegen einer bereits verstrichenen Halbwertszeit nur noch die Hälfte, nämlich $320$, übrig.

Hinweis zu Aufgabe c)

Ziehe zuerst den Untergrund ab. Schreibe die verbleibende Zahl als Zweierpotenz: $\frac{1}{128}=0{,}5^{\,7}$.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: $640\cdot 0{,}5^{\,t+1}+25=30$, also $640\cdot 0{,}5^{\,t+1}=5$ und damit $0{,}5^{\,t+1}=\frac{5}{640}=\frac{1}{128}$.

Wegen $\frac{1}{128}=0{,}5^{\,7}$ liefert der Exponentenvergleich $t+1=7$, also $t=6$.

Nach $6$ Stunden zeigt das Zählrohr $30$ Impulse pro Sekunde an. Vom Präparat stammen dann nur noch $5$ davon.

Hinweis zu Aufgabe d)

Bilde $Z(t+1)-25$ und klammere $0{,}5$ aus. Rechne für den zweiten Teil ein konkretes Gegenbeispiel, etwa den Übergang von $t=0$ zu $t=1$.„Weise nach“ verlangt eine allgemeine Rechnung mit Variablen, nicht nur ein Beispiel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Es ist $Z(t)-25=640\cdot 0{,}5^{\,t+1}$ und $$Z(t+1)-25=640\cdot 0{,}5^{\,t+2}=640\cdot 0{,}5^{\,t+1}\cdot 0{,}5=0{,}5\cdot\bigl(Z(t)-25\bigr).$$ Die Netto-Zählrate halbiert sich also in jeder Stunde.

Gegenbeispiel für die Gesamtrate: $Z(0)=345$, aber $Z(1)=640\cdot 0{,}5^{\,2}+25=160+25=185$. Die Hälfte von $345$ wäre $172{,}5$ — die angezeigte Rate fällt langsamer, weil der Untergrund $c=25$ nicht mitzerfällt.

Schadstoffe im Klärbecken

AFB III

In einem Belüftungsbecken einer Kläranlage wird die Konzentration $K$ eines Schadstoffs in Milligramm pro Liter stündlich gemessen. Die Messwerte lauten für $t=0,\,1,\,2,\,3,\,4$ Stunden: $82$, $46$, $28$, $19$ und $14{,}5$ Milligramm pro Liter.

Ein Praktikant möchte die Werte mit einer Exponentialfunktion beschreiben und probiert zunächst den Ansatz $K(t)=a\cdot n^{\,t}$ ohne weitere Parameter.

Untersuche ob sich die Messwerte durch einen Ansatz der Form $K(t)=a\cdot n^{\,t}$ beschreiben lassen.
Ermittle aus den Messwerten eine Funktionsgleichung der Form $K(t)=a\cdot n^{\,t}+c$ und prüfe sie an zwei weiteren Messwerten.
Beurteile die Aussage des Betriebsleiters: „Wenn wir nur lange genug belüften, sinkt die Konzentration unter den Grenzwert von $8$ Milligramm pro Liter.“
Entscheide ob eine Kollegin mit ihrer Gleichung $K_{2}(t)=144\cdot 0{,}5^{\,t+1}+10$ ein anderes Modell beschreibt als du in Teilaufgabe b).

Hinweis zu Aufgabe a)

Bei einer reinen Exponentialfunktion ist der Quotient aufeinanderfolgender Werte konstant. Berechne $46:82$ und $28:46$ und vergleiche.„Untersuche“ verlangt eine planvolle Prüfung mit Rechnung und einem klar formulierten Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Quotienten aufeinanderfolgender Messwerte: $\frac{46}{82}\approx 0{,}561$, $\frac{28}{46}\approx 0{,}609$, $\frac{19}{28}\approx 0{,}679$, $\frac{14{,}5}{19}\approx 0{,}763$.

Die Quotienten sind nicht konstant, sondern wachsen. Der Ansatz $K(t)=a\cdot n^{\,t}$ passt also nicht.

Auffällig sind dagegen die Differenzen: $82-46=36$, $46-28=18$, $28-19=9$, $19-14{,}5=4{,}5$. Sie halbieren sich jeweils. Das spricht für ein Modell mit einem additiven Parameter $c$, denn dieser kürzt sich beim Differenzbilden heraus.

Hinweis zu Aufgabe b)

Aus dem Halbieren der Differenzen folgt die Basis $n$. Stelle danach mit $K(0)=82$ und $K(1)=46$ zwei Gleichungen auf und subtrahiere sie.„Ermittle“ verlangt einen dargestellten Rechenweg bis zum Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Da sich die Differenzen jeweils halbieren, ist $n=0{,}5$.

Gleichungen: $K(0)=a+c=82$ und $K(1)=0{,}5a+c=46$. Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung ergibt $0{,}5a=36$, also $a=72$ und damit $c=82-72=10$.

Es folgt $$K(t)=72\cdot 0{,}5^{\,t}+10.$$

Probe: $K(3)=72\cdot 0{,}125+10=9+10=19$ und $K(4)=72\cdot 0{,}0625+10=4{,}5+10=14{,}5$. Das Modell trifft alle Messwerte exakt.

Hinweis zu Aufgabe c)

Sieh dir an, welchen Wert der Parameter $c$ für die Asymptote vorgibt, und überlege, ob der Term $72\cdot 0{,}5^{\,t}$ jemals null wird.„Beurteile“ verlangt ein begründetes Urteil auf Grundlage der Rechnung, nicht nur eine Meinung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Wegen $c=10$ liegt die waagerechte Asymptote bei $y=10$. Für jedes $t$ gilt $72\cdot 0{,}5^{\,t}>0$ und damit $K(t)>10$.

Zum Vergleich: $K(10)=72\cdot 0{,}5^{\,10}+10=72\cdot \frac{1}{1024}+10\approx 0{,}07+10\approx 10{,}07$ Milligramm pro Liter. Selbst nach zehn Stunden liegt die Konzentration also nur knapp über $10$.

Die Aussage ist damit falsch: Der Grenzwert $8$ Milligramm pro Liter wird nach diesem Modell nie erreicht. Der Sockel $c=10$ lässt sich als ständiger Zulauf deuten, der laufend neuen Schadstoff nachliefert. Wer unter $8$ kommen will, muss also nicht länger belüften, sondern die Anlage verändern — etwa den Zulauf verringern.

Hinweis zu Aufgabe d)

Zerlege $0{,}5^{\,t+1}$ mit dem Potenzgesetz in ein Produkt und fasse den Vorfaktor zusammen.„Entscheide“ verlangt eine eindeutige Festlegung mit tragfähiger Begründung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Umformung: $$K_{2}(t)=144\cdot 0{,}5^{\,t+1}+10=144\cdot 0{,}5^{\,t}\cdot 0{,}5+10=72\cdot 0{,}5^{\,t}+10=K(t).$$

Die Kollegin beschreibt also dasselbe Modell, nur in anderer Schreibweise. Probe für $t=2$: $144\cdot 0{,}5^{\,3}+10=18+10=28$ — das ist genau der Messwert.

Der Grund: Eine Verschiebung um $b=1$ nach links wird durch den halbierten Vorfaktor genau ausgeglichen. Bei Exponentialfunktionen sind $a$ und $b$ daher nicht unabhängig voneinander — anders als der Parameter $c$, der als einziger die Asymptote festlegt und sich nicht durch $a$ oder $b$ ersetzen lässt.

TextaufgabenDie Funktion f(x) = a · n hoch (x+b) + c

Kaffee kühlt ab

Bakterienkultur im Labor

Ladekurve eines Elektroautos

Zählrate im Physikpraktikum

Schadstoffe im Klärbecken