Die Funktion f(x) = nˣ: Übungen – Mathe Klasse 11

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDie Grundfunktion n hoch x — gemeinsamer Punkt, Asymptote und Monotonie.

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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zur Grundfunktion. Neben dem Zuordnen und Begründen steht hier das Rechnen im Vordergrund: Potenzwerte im Kopf, Exponentialgleichungen durch Zerlegen und die Basis aus einem gegebenen Punkt.

1Was gilt für n hoch x?AFB I

Sieben Aussagen über \(f(x)=n^{x}\). Entscheiden Sie nacheinander, ob sie zutreffen.

Sieben Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 7

Die drei gemeinsamen Eigenschaften für \(n>1\) lauten: durch \((0\,|\,1)\), immer positiv, streng monoton steigend mit der \(x\)-Achse als Asymptote.

2Wertetabelle zu 4 hoch xAFB I

Vervollständigen Sie die Wertetabelle zu \(f(x)=4^{x}\). Beachten Sie die Stelle \(x=0{,}5\).

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.

x	−2	−1	0	0,5	1	2
f(x)

\(4^{-2}=\tfrac{1}{16}=0{,}0625\) und \(4^{0{,}5}=\sqrt{4}=2\). Die Stelle \(x=0{,}5\) liegt genau zwischen \(x=0\) und \(x=1\) — der Funktionswert 2 liegt aber nicht in der Mitte von 1 und 4, sondern darunter.

3Exponentialgleichung durch ZerlegenAFB II

Lösen Sie die Gleichung \(2^{x}=64\).

Schreibe 64 als Potenz von 2 — dann kannst du die Exponenten vergleichen. Enter prüft.

\(64=2^{6}\), also \(2^{x}=2^{6}\) und damit \(x=6\). Wer 64 : 2 = 32 rechnet, verwechselt Multiplikation mit Potenzieren.

4Steigend, fallend oder konstant?AFB I

Fünf Funktionen. Kreuzen Sie an, wie der Graph jeweils verläuft. Entscheidend ist allein die Basis.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.

Funktion	streng monoton steigend	streng monoton fallend	konstant
\(f(x)=3^{x}\)
\(f(x)=0{,}5^{x}\)
\(f(x)=1^{x}\)
\(f(x)=\left(\tfrac14\right)^{x}\)
\(f(x)=10^{x}\)

Über 1 heißt steigend, zwischen 0 und 1 heißt fallend, genau 1 heißt konstant. \(\tfrac14=0{,}25\) liegt zwischen 0 und 1 — der Graph fällt.

5Vier Werte von 9 hoch xAFB II

Gegeben ist \(f(x)=9^{x}\). Berechnen Sie die vier Funktionswerte. Brüche dürfen Sie als Bruch eintragen, z. B. 1/9.

Vier Felder, gemeinsam geprüft. Brüche mit /, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt. Enter prüft.

\(f(1)=\)\(f(-1)=\)\(f(0{,}5)=\)\(f(1{,}5)=\)

\(9^{0{,}5}=\sqrt{9}=3\) und \(9^{1{,}5}=9\cdot 9^{0{,}5}=9\cdot 3=27\). Der negative Exponent liefert den Kehrwert: \(9^{-1}=\tfrac19\).

6Punkte am Graphen von 2 hoch xAFB II

Der blaue Graph gehört zu \(f(x)=2^{x}\). Klicken Sie nacheinander die gesuchten Punkte an.

Klicke den gesuchten Punkt im Koordinatensystem an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

\(f(-2)=2^{-2}=0{,}25\) — Punkt C liegt schon sehr nahe an der \(x\)-Achse, ohne sie zu berühren. Punkt E hat die Koordinaten \((1\,|\,3)\), der Graph liegt dort aber bei \(y=2\).

7Potenzwerte der Größe nachAFB II

Sechs Potenzen. Ordnen Sie sie nach ihrem Wert — der kleinste Wert kommt nach oben.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1\(3^{2}\)

2\(2^{-2}\)

3\(3^{1}\)

4\(5^{0}\)

5\(2^{2}\)

6\(3^{-1}\)

Ausgerechnet: \(2^{-2}=0{,}25\), \(3^{-1}\approx 0{,}33\), \(5^{0}=1\), \(3^{1}=3\), \(2^{2}=4\), \(3^{2}=9\). Jede Potenz mit dem Exponenten 0 ergibt 1 — unabhängig von der Basis.

8Die Eigenschaften in WortenAFB I

Sieben Lücken. Setzen Sie die passenden Begriffe ein — ein Baustein bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso.

Für \(n>1\) ist \(f(x)=n^{x}\) streng monoton . Der Graph verläuft vollständig der \(x\)-Achse und hat deshalb keine . Für \(x\to-\infty\) nähert er sich der \(x\)-Achse immer weiter an; sie heißt deshalb . Jeder Graph geht durch den Punkt und außerdem durch . Je größer die Basis, desto steigt der Graph rechts an.

„punktsymmetrisch“ bleibt übrig — der Graph von \(n^{x}\) hat gar keine Symmetrie. Der Punkt \((1\,|\,n)\) ist praktisch: Dort liest man die Basis direkt am Graphen ab.

9Rechenkette: 5 hoch x = ein HundertfünfundzwanzigstelAFB II

Lösen Sie die Gleichung \(5^{x}=\dfrac{1}{125}\) Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Schreibe 125 als Potenz von 5. Welchen Exponenten braucht man?
Welcher Exponent gehört dann zu \(\tfrac{1}{125}=5^{?}\)
Wie lautet damit die Lösung \(x\)?
Probe: Berechne \(5^{x}\cdot 5^{3}\).

\(\tfrac{1}{125}=125^{-1}=(5^{3})^{-1}=5^{-3}\), also \(x=-3\). Die Probe \(5^{-3}\cdot 5^{3}=5^{0}=1\) bestätigt das Ergebnis.

10Welcher Graph gehört zu einem halben hoch x?AFB II

Vier Graphen. Wählen Sie den Graphen von \(f(x)=\left(\tfrac12\right)^{x}\) aus.

Klicke die passende Karte an und prüfe dann. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter auswählen.

Basis \(0{,}5\) liegt zwischen 0 und 1, deshalb fällt der Graph — und geht trotzdem durch \((0\,|\,1)\). Karte A gehört zu \(2^{x}\), Karte C ist die Parabel \(x^{2}\), Karte D ist \(1^{x}\).

11Basis aus einem Punkt bestimmenAFB III

Der Graph von \(f(x)=n^{x}\) geht durch den Punkt \(P(3\,|\,0{,}008)\). Bestimmen Sie die Basis \(n\).

Schreibe 0,008 als Bruch und suche die dritte Wurzel. Enter prüft.

\(0{,}008=\tfrac{8}{1000}=\left(\tfrac{2}{10}\right)^{3}\), also \(n^{3}=0{,}2^{3}\) und damit \(n=0{,}2\). Weil \(0<n<1\) ist, fällt der Graph.

12Funktion und Wert an der Stelle −1AFB II

Fünf Funktionen und fünf Werte. Verbinden Sie jede Funktion mit ihrem Wert \(f(-1)\).

Wähle links eine Funktion aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Wert an.

\(n^{-1}=\tfrac1n\) — an der Stelle \(-1\) steht also immer der Kehrwert der Basis. Bei \(0{,}5^{x}\) ist der Kehrwert von \(0{,}5\) gerade 2.

13Negative Basis: wo steckt der Fehler?AFB II

Jemand untersucht \(f(x)=(-2)^{x}\). Die Argumentation enthält zwei Fehler. Markieren Sie genau die falschen Zeilen.

In dieser Begründung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Die Stelle \(x=0{,}5\) ist der eigentliche Grund für die Bedingung \(n>0\): Ohne sie bliebe von einer Kurve nur eine Punktwolke übrig.

14Sechs Potenzen im KopfAFB II

Berechnen Sie ohne Taschenrechner. Ergebnisse als Dezimalzahl.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Enter prüft ebenfalls.

Potenz	\(2^{5}\)	\(2^{-4}\)	\(5^{3}\)	\(5^{-1}\)	\(10^{-3}\)	\(9^{0{,}5}\)
Wert

\(2^{-4}=\tfrac{1}{16}=0{,}0625\), \(10^{-3}=\tfrac{1}{1000}=0{,}001\) und \(9^{0{,}5}=\sqrt{9}=3\). Bei Zehnerpotenzen gibt der Exponent direkt die Zahl der Nachkommastellen an.

15Gemeinsame Basis herstellenAFB III

Wählen Sie in jedem Menü den passenden Exponenten, sodass beide Seiten für jedes \(x\) denselben Wert haben.

Öffne jedes Menü und wähle den Eintrag, der die Gleichung wahr macht.

Alle drei Terme lassen sich auf eine gemeinsame Basis bringen:

\(\left(\tfrac14\right)^{x}=4^{\,\square}\) mit \(\square=\)

\(8^{x}=2^{\,\square}\) mit \(\square=\)

\(\left(\tfrac19\right)^{x}=3^{\,\square}\) mit \(\square=\)

\(\tfrac14=4^{-1}\), also \(\left(\tfrac14\right)^{x}=4^{-x}\). \(8=2^{3}\), also \(8^{x}=\left(2^{3}\right)^{x}=2^{3x}\). Und \(\tfrac19=3^{-2}\) liefert \(3^{-2x}\). Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten multipliziert, nicht addiert.

16Was gilt für jede Basis n > 1?AFB II

Sieben Aussagen. Markieren Sie alle, die für jede Basis \(n>1\) zutreffen.

Markiere alle Treffer. Eine einzige Ausnahme genügt, damit eine Aussage nicht mehr gilt.

Die \(x\)-Achse wird nie geschnitten — sie ist Asymptote, kein Schnittpartner. Und Symmetrie gibt es bei \(n^{x}\) für \(n>1\) überhaupt nicht.

17Basis aus einem Punkt — Schritt für SchrittAFB II

Der Graph von \(f(x)=n^{x}\) soll durch \(P(2\,|\,49)\) gehen. Spielen Sie die Lösung durch.

Spiele die Rechnung Schritt für Schritt durch: Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Die Bedingung \(n>0\) ist hier entscheidend: Ohne sie hätte \(n^{2}=49\) zwei Lösungen. Und der \(y\)-Achsenabschnitt ist bei \(f(x)=n^{x}\) immer 1.

18Nachweis: keine NullstelleAFB II

Setzen Sie den Nachweis zusammen, dass \(f(x)=n^{x}\) für \(n>0\) keine Nullstelle hat. Zwei Bausteine sind falsch und bleiben übrig.

Setze den Nachweis von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück.

Der Graph kommt der \(x\)-Achse beliebig nahe, erreicht sie aber nie — genau das meint das Wort Asymptote. \(n^{0}\) ist übrigens 1 und nicht 0.

19Regler auf die passende BasisAFB II

Der Graph von \(f(x)=n^{x}\) soll durch \(P(3\,|\,27)\) gehen. Stellen Sie den Regler auf die passende Basis \(n\).

Schiebe den Regler auf den berechneten Wert — Pfeiltasten bewegen ihn in halben Schritten. Der Regler muss exakt stimmen.

010

\(n^{3}=27\) und \(27=3^{3}\), also \(n=3\). Ein Blick auf den Punkt \((1\,|\,n)\) bestätigt es: Der Graph von \(3^{x}\) geht durch \((1\,|\,3)\).

20Zwei Basen im VergleichAFB III

Füllen Sie beide Zeilen aus und vergleichen Sie anschließend: \(g(x)=\left(\tfrac12\right)^{x}\) und \(f(x)=2^{x}\).

Zwölf Felder — fülle alle aus und prüfe dann auf einmal.

x	−3	−2	−1	0	1	2
\(g(x)=\left(\tfrac12\right)^{x}\)
\(f(x)=2^{x}\)

Die zweite Zeile ist die erste rückwärts gelesen: \(\left(\tfrac12\right)^{x}=2^{-x}\). Die beiden Graphen sind deshalb Spiegelbilder an der \(y\)-Achse — und treffen sich in \((0\,|\,1)\).

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