Die Funktion f(x) = nˣ: Textaufgaben – Mathe Klasse 11

Hefekultur im Gärtank

AFB I

In einem Gärtank vermehrt sich eine Hefekultur so, dass sich die Zellzahl jede Stunde verdoppelt. Der Laborant zählt zum Zeitpunkt $x=0$ und gibt jede spätere Zellzahl als Vielfaches dieser Startmenge an. Für dieses Vielfache gilt $$f(x)=2^{x},$$ wobei $x$ die Zeit in Stunden nach der ersten Zählung ist. Negative $x$ beschreiben Zeitpunkte vor der ersten Zählung.

Berechne das Vielfache der Startmenge zu den Zeitpunkten $x=0$, $x=3$ und $x=6$.
Berechne die Funktionswerte $f(-1)$ und $f(-3)$ und deute beide im Sachzusammenhang.
Gib an den Punkt, durch den der Graph jeder Funktion $f(x)=n^{x}$ verläuft, den Punkt, an dem sich die Basis direkt ablesen lässt, und die Gleichung der Asymptote.

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze die Stundenzahl für $x$ in $2^{x}$ ein. Denke daran, dass jede Potenz mit dem Exponenten $0$ den Wert $1$ hat.Der Operator „Berechne“ verlangt Ansatz, Rechnung und Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: $f(x)=2^{x}$.

$f(0)=2^{0}=1$, $f(3)=2^{3}=8$, $f(6)=2^{6}=64$.

Nach $3$ Stunden ist die Zellzahl also das 8-Fache, nach $6$ Stunden das 64-Fache der Startmenge. Bei $x=0$ ist das Vielfache $1$ — das ist genau die Startmenge selbst.

Hinweis zu Aufgabe b)

Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert der Potenz, zum Beispiel $2^{-1}=\frac{1}{2}$. Überlege danach, was ein Vielfaches kleiner als $1$ für die Zellzahl bedeutet.Zu „Berechne“ gehört hier auch die geforderte Deutung des Zahlenwerts im Sachkontext.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

$f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2}=0{,}5$ und $f(-3)=2^{-3}=\frac{1}{8}=0{,}125$.

Deutung: Eine Stunde vor der ersten Zählung enthielt der Tank nur halb so viele Zellen, drei Stunden vorher nur ein Achtel der Startmenge. Beide Werte sind positiv — das Modell liefert an keiner Stelle den Wert $0$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Zwei der drei Angaben bekommst du, indem du $x=0$ und $x=1$ einsetzt. Für die Asymptote schau dir an, welchem Wert sich $f(x)$ für immer kleinere $x$ nähert.„Gib an“ verlangt keine Herleitung, aber alle drei geforderten Angaben vollständig.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Wegen $n^{0}=1$ geht jeder Graph durch den Punkt $(0\,|\,1)$. Wegen $f(1)=n^{1}=n$ liegt außerdem der Punkt $(1\,|\,n)$ auf dem Graphen; hier lässt sich die Basis direkt ablesen, im Beispiel also $(1\,|\,2)$.

Die Asymptote ist die $x$-Achse mit der Gleichung $y=0$: Für $x\to-\infty$ geht $f(x)\to 0$, ohne den Wert $0$ je zu erreichen. Im Sachzusammenhang heißt das: Die Kultur stirbt in diesem Modell nie vollständig aus.

Verdünnungsreihe im Labor

AFB II

In einem Chemielabor wird eine Farbstofflösung stufenweise verdünnt: In jeder Stufe wird ein Teil der bisherigen Lösung mit neun Teilen Wasser gemischt, die Lösung ist danach also zehnmal so schwach wie zuvor. Der Verdünnungsfaktor $f(x)$ gibt an, um welchen Faktor die Lösung nach $x$ Stufen gegenüber der Ausgangslösung verdünnt ist. Es gilt $$f(x)=10^{x}.$$ Der Wert $f(x)=100$ steht dabei für die Verdünnung $1:100$.

Berechne die Verdünnungsfaktoren nach $2$, $4$ und $6$ Stufen und gib sie zusätzlich in der Schreibweise $1:\ldots$ an.
Bestimme die Anzahl der Stufen, die für eine Verdünnung von $1:100\,000$ nötig sind.
Begründe warum der Farbstoff nach diesem Modell auch nach sehr vielen Stufen nie vollständig verschwindet.

Hinweis zu Aufgabe a)

Bei der Basis $10$ sagt der Exponent, wie viele Nullen hinter der $1$ stehen.„Berechne“ verlangt den Ansatz mit eingesetzten Werten und das vollständige Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: $f(x)=10^{x}$.

$f(2)=10^{2}=100$, also die Verdünnung $1:100$. $f(4)=10^{4}=10\,000$, also $1:10\,000$. $f(6)=10^{6}=1\,000\,000$, also $1:1\,000\,000$.

Jede weitere Stufe verzehnfacht den Verdünnungsfaktor — das ist genau die Wirkung der Basis $10$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Schreibe $100\,000$ als Zehnerpotenz. Dann kannst du die Exponenten links und rechts direkt vergleichen.„Bestimme“ verlangt einen nachvollziehbaren Lösungsweg, nicht nur die Zahl.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: $10^{x}=100\,000$. Rechts steht eine Zehnerpotenz: $100\,000=10^{5}$.

Aus $10^{x}=10^{5}$ folgt durch Vergleich der Exponenten $x=5$. Es sind also 5 Verdünnungsstufen nötig.

Probe: $10^{5}=100\,000$. $\checkmark$

Hinweis zu Aufgabe c)

Der Anteil des Farbstoffs an der Lösung ist der Kehrwert des Verdünnungsfaktors, also $\frac{1}{10^{x}}=10^{-x}$. Überlege, welches Vorzeichen Potenzwerte von $10^{x}$ haben.„Begründe“ verlangt eine fachliche Argumentation mit einer Eigenschaft der Funktion, nicht nur ein Beispiel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Farbstoffanteil beträgt nach $x$ Stufen $\frac{1}{f(x)}=10^{-x}$ — das ist ein Funktionswert von $f$ an einer negativen Stelle.

Für die Funktion $f(x)=10^{x}$ gilt $f(x)>0$ für alle $x$; sie hat keine Nullstelle, die $x$-Achse ist nur Asymptote. Beispiel: $10^{-5}=0{,}00001$ — sehr klein, aber positiv.

Der Anteil wird also beliebig klein, erreicht aber nie den Wert $0$. Modellgrenze: In der Realität besteht der Farbstoff aus endlich vielen Teilchen, sodass ab einer bestimmten Stufe tatsächlich kein einziges Teilchen mehr in der Probe ist.

Zahlenschloss mit drei Symbolen

AFB II

Ein Fahrradschloss besteht aus mehreren Drehrädchen. Auf jedem Rädchen stehen genau drei verschiedene Symbole, und jedes Rädchen lässt sich unabhängig von den anderen einstellen. Für ein Schloss mit $x$ Rädchen ist die Anzahl der möglichen Codes $$f(x)=3^{x}.$$ Jedes zusätzliche Rädchen verdreifacht also die Anzahl der Einstellungen.

Berechne die Anzahl der möglichen Codes für Schlösser mit $2$, $4$ und $6$ Rädchen.
Bestimme die kleinste Anzahl von Rädchen, mit der sich mehr als $1000$ verschiedene Codes einstellen lassen.
Überprüfe die Werbeaussage eines Herstellers: „Ein Schloss mit sechs Symbolen je Rädchen und drei Rädchen bietet genauso viele Codes wie eines mit drei Symbolen je Rädchen und sechs Rädchen.“

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze die Anzahl der Rädchen für $x$ ein und rechne die Potenz schrittweise aus, zum Beispiel $3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$.„Berechne“ verlangt Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit der passenden Einheit — hier die Anzahl der Codes.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: $f(x)=3^{x}$.

$f(2)=3^{2}=9$ Codes, $f(4)=3^{4}=81$ Codes, $f(6)=3^{6}=729$ Codes.

Von $4$ auf $6$ Rädchen verneunfacht sich die Anzahl $(81\cdot 9=729)$, denn es kommen zwei Faktoren $3$ hinzu.

Hinweis zu Aufgabe b)

Rechne die Potenzen $3^{x}$ der Reihe nach weiter, bis du die Grenze überschreitest. Beachte, dass die Anzahl der Rädchen eine natürliche Zahl sein muss.„Bestimme“ verlangt, dass der Weg zur Lösung — hier das systematische Probieren — sichtbar wird.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: Gesucht ist das kleinste $x\in\mathbb{N}$ mit $3^{x}>1000$.

$3^{6}=729$, und $729<1000$ — das reicht noch nicht. $3^{7}=2187$, und $2187>1000$.

Es sind also 7 Rädchen nötig. Da $f$ streng monoton steigend ist, liefert jede größere Rädchenzahl erst recht mehr als $1000$ Codes.

Hinweis zu Aufgabe c)

Stelle für beide Schlösser die Anzahl der Codes als Potenz auf: einmal steht die $6$ unten, einmal die $3$. Vergleiche danach die beiden Werte.„Überprüfe“ verlangt eine Rechnung und ein klares Urteil über die Aussage.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Schloss A: $6$ Symbole, $3$ Rädchen $\Rightarrow 6^{3}=216$ Codes. Schloss B: $3$ Symbole, $6$ Rädchen $\Rightarrow 3^{6}=729$ Codes.

Wegen $216<729$ ist die Aussage falsch. Schloss B bietet $729:216=3{,}375$, also etwa 3,4-mal so viele Codes.

Basis und Exponent lassen sich nicht vertauschen: Der Exponent — also die Anzahl der Rädchen — wirkt viel stärker als die Basis.

Wasserpflanze im Teich

AFB II

In einem Teich breitet sich eine eingeschleppte Wasserpflanze aus: Die von ihr bedeckte Fläche vervierfacht sich jede Woche. Die Biologin gibt die bedeckte Fläche als Vielfaches der Fläche bei der ersten Zählung an; nach $x$ Wochen gilt $$f(x)=4^{x}.$$ Eine heimische Art im selben Teich breitet sich dagegen gar nicht aus — für ihr Flächenvielfaches gilt $g(x)=1^{x}$.

Berechne das Flächenvielfache der eingeschleppten Art nach $2$, $3$ und $5$ Wochen.
Bestimme nach wie vielen vollen Wochen die bedeckte Fläche erstmals mehr als das 500-Fache der Anfangsfläche beträgt.
Überprüfe die Meldung einer Zeitung: „Nach zehn Wochen ist die bedeckte Fläche vierzigmal so groß wie am Anfang.“
Erkläre welchen Verlauf der Graph von $g(x)=1^{x}$ hat und was das für die heimische Art bedeutet.

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze die Wochenzahl für $x$ ein. Du kannst schrittweise rechnen: Jede weitere Woche bedeutet einen Faktor $4$ mehr.„Berechne“ verlangt Ansatz, Rechnung und Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: $f(x)=4^{x}$.

$f(2)=4^{2}=16$, $f(3)=4^{3}=64$, $f(5)=4^{5}=1024$.

Nach $2$ Wochen ist die Fläche also das 16-Fache, nach $3$ Wochen das 64-Fache und nach $5$ Wochen bereits das 1024-Fache der Anfangsfläche.

Hinweis zu Aufgabe b)

Vergleiche die Potenzen $4^{4}$ und $4^{5}$ mit $500$. Es sind nur ganze Wochen gefragt.„Bestimme“ verlangt einen begründeten Lösungsweg mit den entscheidenden Zwischenwerten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: Gesucht ist das kleinste $x\in\mathbb{N}$ mit $4^{x}>500$.

$4^{4}=256$, und $256<500$. $4^{5}=1024$, und $1024>500$.

Nach 5 Wochen ist die Fläche erstmals mehr als das 500-Fache. Weil $f$ streng monoton steigend ist, bleibt sie danach dauerhaft darüber.

Hinweis zu Aufgabe c)

Die Zeitung hat offenbar $4\cdot 10$ gerechnet. Rechne stattdessen $4^{10}$ aus, zum Beispiel als $4^{5}\cdot 4^{5}$.„Überprüfe“ verlangt Rechnung, Vergleich und ein eindeutiges Urteil.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Nach dem Modell gilt $f(10)=4^{10}=4^{5}\cdot 4^{5}=1024\cdot 1024=1\,048\,576$.

Die Fläche ist also rund eine Million Mal so groß und nicht $40$-mal. Die Meldung ist falsch.

Fehlerursache: Die Zeitung hat $4\cdot 10=40$ gerechnet und damit gleichmäßiges Wachstum angenommen. Bei $4^{x}$ steht die Wochenzahl aber im Exponenten — jede Woche wird die bisherige Fläche mit $4$ multipliziert.

Hinweis zu Aufgabe d)

Rechne $1^{x}$ für mehrere $x$-Werte aus, auch für negative. Vergleiche das Ergebnis mit dem Sonderfall aus der Eigenschaftentabelle.„Erkläre“ verlangt, den mathematischen Sachverhalt und seine Bedeutung im Kontext in eigenen Worten darzustellen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Es gilt $1^{x}=1$ für jedes $x$, zum Beispiel $1^{0}=1$, $1^{3}=1$ und $1^{-2}=1$. Der Graph ist deshalb eine waagerechte Gerade auf der Höhe $1$ durch den Punkt $(0\,|\,1)$.

Er steigt und fällt nirgends und ist als einziger Fall achsensymmetrisch zur $y$-Achse; eine Asymptote im eigentlichen Sinn gibt es nicht.

Bedeutung: Die heimische Art bedeckt in jeder Woche genau dieselbe Fläche wie am Anfang — sie breitet sich weder aus noch geht sie zurück. Deshalb ist $n=1$ der Sonderfall, der kein echtes exponentielles Wachstum beschreibt.

Zwei Musikplattformen im Vergleich

AFB III

Zwei junge Musikplattformen vergleichen ihr Nutzerwachstum. Die Plattform „Flowtune“ startet mit $10\,000$ aktiven Nutzern und gibt ihre Nutzerzahl danach als Vielfaches dieses Startwerts an: nach $0$, $1$, $2$ und $3$ Monaten das $1$-, $5$-, $25$- und $125$-Fache.

Die Plattform „Beatly“ beschreibt ihr eigenes Wachstum mit $g(x)=3^{x}$, wobei $x$ ebenfalls die Zeit in Monaten und $g(x)$ das Vielfache des Startwerts angibt.

Ermittle aus den Messwerten von „Flowtune“ die Basis $n$ und gib die zugehörige Funktionsgleichung $f(x)=n^{x}$ an.
Vergleiche das Wachstum der beiden Plattformen anhand geeigneter Funktionswerte in den ersten sechs Monaten.
Beurteile die Aussage eines Bloggers: „Beide Graphen starten im selben Punkt und nähern sich links beide der $x$-Achse — die Plattformen wachsen also praktisch gleich schnell.“
Bewerte ob sich das Modell $f(x)=5^{x}$ eignet, um die Nutzerzahl von „Flowtune“ für die nächsten zwölf Monate vorherzusagen.

Hinweis zu Aufgabe a)

Teile jeden Wert durch seinen Vorgänger. Ist dieser Quotient immer gleich, passt eine Funktion der Form $n^{x}$ — und du kannst die Basis außerdem am Punkt $(1\,|\,n)$ ablesen.„Ermittle“ verlangt, die gesuchte Größe aus den gegebenen Daten herzuleiten und das Ergebnis zu belegen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Quotienten benachbarter Werte: $5:1=5$, $25:5=5$, $125:25=5$. Der Wachstumsfaktor ist in jedem Monat derselbe, also liegt exponentielles Wachstum vor.

Damit ist $n=5$; dasselbe liest man direkt am Punkt $(1\,|\,5)$ ab. Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=5^{x}$.

Kontrolle: $f(0)=5^{0}=1$ $\checkmark$, $f(2)=5^{2}=25$ $\checkmark$, $f(3)=5^{3}=125$ $\checkmark$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Berechne $f$ und $g$ an denselben Stellen, etwa bei $x=1$, $x=3$ und $x=6$, und bilde zum Schluss das Verhältnis der beiden Werte.„Vergleiche“ verlangt Gemeinsamkeiten und Unterschiede — belegt mit Zahlen, nicht nur beschrieben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

$f(1)=5$ gegenüber $g(1)=3$; $f(3)=125$ gegenüber $g(3)=27$; $f(6)=15\,625$ gegenüber $g(6)=729$.

Gemeinsam: Beide starten bei $(0\,|\,1)$, beide sind streng monoton steigend und beide Funktionswerte sind stets positiv.

Unterschied: Die größere Basis von „Flowtune“ macht den Graphen deutlich steiler. Nach sechs Monaten ist der Vorsprung $15\,625:729\approx 21{,}4$ — „Flowtune“ hat dann rund das 21-Fache des Vielfachen von „Beatly“ erreicht. In absoluten Zahlen wären das $10\,000\cdot 15\,625=156\,250\,000$ Nutzer.

Hinweis zu Aufgabe c)

Prüfe die beiden genannten Eigenschaften einzeln nach und frage dich dann, ob daraus wirklich folgt, dass die Graphen ähnlich verlaufen. Ein Blick auf den Punkt $(1\,|\,n)$ hilft.„Beurteile“ verlangt ein begründetes Urteil: richtige Teile bestätigen, den Fehlschluss benennen und mit Zahlen widerlegen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Richtig ist: Beide Graphen gehen durch $(0\,|\,1)$, denn $n^{0}=1$ für jede Basis. Beide haben die $x$-Achse als Asymptote, denn für $x\to-\infty$ geht $n^{x}\to 0$, ohne $0$ zu erreichen.

Falsch ist der Schluss. Diese Eigenschaften gelten für jede Basis $n>1$ und sagen nichts über die Steilheit aus. Die entscheidet allein die Basis, ablesbar an $(1\,|\,n)$: $(1\,|\,5)$ gegenüber $(1\,|\,3)$. Nach sechs Monaten stehen $15\,625$ gegen $729$ — ein Faktor von etwa $21{,}4$.

Links von der $y$-Achse ist es sogar umgekehrt: $f(-1)=\frac{1}{5}=0{,}2$ liegt unter $g(-1)=\frac{1}{3}\approx 0{,}33$. Die größere Basis schmiegt sich links schneller an die $x$-Achse an. Das Urteil des Bloggers ist also nicht haltbar.

Hinweis zu Aufgabe d)

Rechne $f(12)$ aus und übersetze das Vielfache mit dem Startwert von $10\,000$ Nutzern in eine absolute Nutzerzahl. Vergleiche sie mit der Weltbevölkerung von rund $8$ Milliarden Menschen.„Bewerte“ verlangt ein Urteil über die Tragfähigkeit des Modells — mit Rechnung, Vergleichsgröße und Angabe des Gültigkeitsbereichs.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Rechnung: $f(12)=5^{12}=244\,140\,625$. Mit dem Startwert ergibt das $10\,000\cdot 244\,140\,625=2\,441\,406\,250\,000$, also rund $2{,}4\cdot 10^{12}$ Nutzer.

Vergleich: Das ist etwa das 300-Fache der Weltbevölkerung von rund $8$ Milliarden Menschen — eine unmögliche Nutzerzahl.

Urteil: Das Modell ist für zwölf Monate nicht geeignet. Eine Funktion $n^{x}$ mit $n>1$ wächst über alle Grenzen, während die Zahl möglicher Nutzer durch den Markt begrenzt ist. Realistisch flacht das Wachstum ab, sobald ein großer Teil der Zielgruppe erreicht ist; ein beschränktes Wachstumsmodell wäre passender.

Für die ersten Monate beschreibt $f(x)=5^{x}$ die Daten dagegen sehr gut — das Modell ist also nur kurzfristig brauchbar.

TextaufgabenDie Funktion f(x) = n hoch x

Hefekultur im Gärtank

Verdünnungsreihe im Labor

Zahlenschloss mit drei Symbolen

Wasserpflanze im Teich

Zwei Musikplattformen im Vergleich