Eigenschaften der Potenzfkt.: Übungen – Mathe Klasse 11

1In welchen Quadranten verläuft der Graph?AFB II

Vier Funktionsterme, vier Bilder. Entscheidend sind zwei Fragen: Ist der Exponent gerade oder ungerade — und steht ein Minuszeichen vor der Potenz?

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz in die Spalte mit den richtigen Quadranten.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.

	I und II	I und III	II und IV	III und IV
\(f(x)=x^{4}\)
\(g(x)=x^{5}\)
\(h(x)=-x^{3}\)
\(k(x)=-x^{2}\)

Ein gerader Exponent liefert nie negative Werte — \(x^{4}\) liegt in I und II, \(x^{5}\) wandert links mit nach unten und liegt in I und III. Das Minuszeichen vor der Potenz spiegelt den Graphen an der \(x\)-Achse und vertauscht dabei die Quadranten: aus I und III wird II und IV, aus I und II wird III und IV.

2Stelle und Gegenzahl im VergleichAFB I

Gegeben sind \(f(x)=x^{4}\) und \(g(x)=x^{3}\).

Berechne die vier Funktionswerte. Achte auf die Vorzeichen.

Alle vier Felder ausfüllen, dann prüfen. Enter prüft ebenfalls.

\(f(3)=\)\(f(-3)=\)\(g(3)=\)\(g(-3)=\)

Bei \(f\) ist der Exponent gerade, die vier Minuszeichen heben sich paarweise auf: \(f(-3)=f(3)=81\). Bei \(g\) ist der Exponent ungerade, ein Minuszeichen bleibt übrig: \(g(-3)=-g(3)=-27\). Genau das sind die beiden Symmetrieregeln \(f(-x)=f(x)\) und \(g(-x)=-g(x)\).

3Eigenschaften prüfenAFB II

Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt. Eine falsche Einschätzung startet die Serie neu.

Fünf Aussagen nacheinander.

Aussage 1 von 5

Zwei Aussagen prüfen die Parität des Exponenten unmittelbar, zwei weitere die Folgen daraus; eine gilt für jede Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten. Merke: Der Exponent entscheidet über die Symmetrie, das Minuszeichen davor nur über die Richtung.

4Zwei Wertetabellen als SymmetrietestAFB I

Gegeben sind \(f(x)=x^{4}\) und \(g(x)=x^{5}\).

Berechne alle acht Funktionswerte. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.

\(x\)	\(f(x)=x^{4}\)	\(g(x)=x^{5}\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0{,}5\)
\(2\)

In der Spalte von \(f\) stehen bei \(-2\) und \(2\) dieselben Werte — das ist die Achsensymmetrie. In der Spalte von \(g\) stehen dort \(-32\) und \(32\), also entgegengesetzte Werte — das ist die Punktsymmetrie. Bei \(x=0{,}5\) werden beide Werte klein: \(0{,}5^{4}=0{,}0625\) und \(0{,}5^{5}=0{,}03125\), denn innerhalb des Einheitsquadrats schrumpfen die Potenzen.

5Die Beschreibung vervollständigenAFB I

Vier Bausteine fehlen. Vier der acht Wörter bleiben übrig.

Vervollständige die Beschreibung von \(f(x)=x^{4}\).

Wähle ein Wort aus der Bank und klicke dann die passende Lücke an.

Der Exponent von \(f(x)=x^{4}\) ist . Deshalb ist der Graph zur \(y\)-Achse, er verläuft in den Quadranten , und seine Wertemenge lautet .

Die Kette läuft immer gleich: gerader Exponent → achsensymmetrisch → Quadranten I und II → \(W_{f}=\mathbb{R}_{0}^{+}\). Die vier übrigen Wörter beschreiben genau den ungeraden Fall, etwa \(x^{5}\).

6Innerhalb des EinheitsquadratsAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{6}\).

Berechne \(f(-0{,}5)\) exakt — also ohne zu runden.

Trage nur die Zahl ein — Enter prüft.

Der Exponent 6 ist gerade, also ist \(f(-0{,}5)=0{,}5^{6}=0{,}015625\) positiv. Zum Vergleich: \(0{,}5^{2}=0{,}25\). Innerhalb des Einheitsquadrats macht ein größerer Exponent die Potenz also kleiner — der Graph schmiegt sich dort an die \(x\)-Achse.

7Innen klein, außen großAFB II

Zwei Potenzen an der Stelle \(0{,}5\), drei an der Stelle \(2\) und dazwischen der gemeinsame Punkt bei \(x=1\).

Ordne die sechs Werte der Größe nach — beginnend mit dem kleinsten. Rechne dazu jeden Wert zuerst aus.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.

1\(0{,}5^{6}=0{,}015625\)

2\(0{,}5^{2}=0{,}25\)

3\(1^{6}=1\)

4\(2^{2}=4\)

5\(2^{4}=16\)

6\(2^{6}=64\)

Bei der Basis \(0{,}5\) dreht sich die gewohnte Reihenfolge um: Je größer der Exponent, desto kleiner die Potenz. Bei der Basis \(2\) wächst sie dagegen rasant. Die Wende liegt genau bei \(x=1\), wo alle Potenzen den Wert 1 haben — das ist die obere Ecke \(P(1\,|\,1)\) des Einheitsquadrats.

8Was gilt für \(g(x)=x^{7}\)?AFB II

Wähle alle Aussagen aus, die für \(g(x)=x^{7}\) zutreffen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden.

Der Exponent 7 ist ungerade. Damit gilt \(g(-x)=-g(x)\): punktsymmetrisch zum Ursprung, Quadranten I und III, \(W_{g}=\mathbb{R}\), und der linke Ast stürzt nach unten. Achsensymmetrie und \(\mathbb{R}_{0}^{+}\) gehören dagegen zum geraden Fall.

9Ein Minuszeichen vor der PotenzAFB II

Gegeben ist \(h(x)=-x^{4}\). Das Minuszeichen steht vor der Potenz, gehört also nicht zur Basis.

Führe die Untersuchung Schritt für Schritt durch. Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Enter prüft.

Berechne zuerst die Potenz: \((-2)^{4}=\)
Jetzt das Minuszeichen davor: \(h(-2)=-(-2)^{4}=\)
Und auf der anderen Seite: \(h(2)=-2^{4}=\)
Bilde die Differenz \(h(-2)-h(2)=\)
Ist \(h\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse? Antworte mit ja oder nein.

Es ist \(h(-2)=h(2)=-16\), die Differenz also 0 — genau das Kennzeichen der Achsensymmetrie \(h(-x)=h(x)\). Das Minuszeichen spiegelt jeden Wert an der \(x\)-Achse und ändert dadurch Monotonie und Quadranten, die Symmetrie aber nicht: Die entscheidet weiterhin allein der gerade Exponent 4.

10Term und Steckbrief verbindenAFB II

Verbinde jeden Funktionsterm mit dem Steckbrief, der zu ihm gehört.

Klicke links einen Term an und dann rechts den passenden Steckbrief.

Zuerst die Parität des Exponenten: 4 und 6 sind gerade (achsensymmetrisch), 3 ist ungerade (punktsymmetrisch). Danach trennt der Funktionswert die beiden geraden Fälle: \((-2)^{4}=16\), aber \(0{,}5^{6}=0{,}015625\). Ein Minuszeichen vor der Potenz spiegelt schließlich an der \(x\)-Achse.

11Fünf Potenzen mit MinuszeichenAFB I

Berechne jeden Wert und trage ihn ein. Achte besonders auf die beiden letzten Felder — dort entscheidet die Klammer.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal.

Term	\((-1)^{4}\)	\((-1)^{5}\)	\((-0{,}5)^{2}\)	\((-2)^{4}\)	\(-2^{4}\)
Wert

\((-1)^{4}=1\) und \((-1)^{5}=-1\): Der dritte Kontrollpunkt liegt also einmal bei \(Q(-1\,|\,1)\) und einmal bei \(R(-1\,|\,-1)\). \((-0{,}5)^{2}=0{,}25\). Bei \((-2)^{4}=16\) gehört das Minus zur Basis und wird viermal mitmultipliziert; bei \(-2^{4}=-16\) steht es vor der Potenz und spiegelt das Ergebnis an der \(x\)-Achse.

12Gerade, ungerade oder beides?AFB II

Ordne jede Eigenschaft dem Bereich zu, in den sie gehört. Gemeint ist immer \(f(x)=x^{n}\) mit natürlichem \(n\).

Klicke einen Begriff an (oder wähle ihn mit Enter aus) und klicke dann den passenden Bereich an — alternativ drücke die Ziffer des Bereichs.

1 nur bei geradem \(n\)

2 nur bei ungeradem \(n\)

3 bei geradem und ungeradem \(n\)

Drei Eigenschaften gelten immer: \(D_{f}=\mathbb{R}\), die beiden Punkte \(O(0\,|\,0)\) und \(P(1\,|\,1)\) und das Verhalten für \(x\to+\infty\). Alles andere hängt am Faktor \((-1)^{n}\) in \((-x)^{n}=(-1)^{n}\cdot x^{n}\) — er ist \(+1\) bei geradem und \(-1\) bei ungeradem \(n\).

13Neun Terme in drei QuadrantenpaareAFB II

Jeder der neun Graphen belegt genau zwei Quadranten.

Ordne jeden Term dem passenden Quadrantenpaar zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Quadranten I und II

2Quadranten I und III

3Quadranten II und IV

Ohne Minuszeichen entscheidet allein der Exponent: gerade → I und II, ungerade → I und III. Mit Minuszeichen wird der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt, aus I und III wird also II und IV. Beachte, dass \(x=x^{1}\) einen ungeraden Exponenten hat.

14Den Term aus zwei Eigenschaften bestimmenAFB III

Der Graph einer Potenzfunktion \(f\) mit \(f(x)=x^{n}\) und \(n\le 8\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und verläuft durch \(A(-2\,|\,64)\).

Gib den Funktionsterm an. Schreibweise: x^7, Potenzen mit ^.

Gib den Term ein. Potenzen mit ^. Enter prüft.

Achsensymmetrie bedeutet: \(n\) ist gerade. Aus \((-2)^{n}=64\) folgt \(2^{n}=64\), und wegen \(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=64\) ist \(n=6\) — eine gerade Zahl, die Bedingung passt also. Damit ist \(f(x)=x^{6}\); Probe: \((-2)^{6}=64\) ✓.

15Fehlersuche in einer KurvendiskussionAFB III

Ein Schüler beschreibt die Funktion \(h\) mit \(h(x)=-x^{4}\). Zwei Zeilen sind falsch.

Klicke genau die fehlerhaften Zeilen an.

In dieser Beschreibung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an.

Beide Fehler entstehen aus derselben Nachlässigkeit: Das Minuszeichen wurde bei der Symmetrie richtig berücksichtigt, danach aber vergessen. Merke: Spiegeln kippt Quadranten, Monotonie und Wertemenge — nur die Symmetrie bleibt, wie sie ist.

16Die Wertemenge auf der ZahlengeradenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{4}\) mit \(D_{f}=\mathbb{R}\).

Stelle die Wertemenge \(W_{f}\) als Intervall ein. Denke auch an die Klammern: Gehört der Randwert dazu oder nicht?

Verschiebe die beiden Grenzen mit den Pfeil-Buttons; ein Klick auf einen Griff wechselt zwischen eckiger und runder Klammer. Ganz außen stehen \(-\infty\) und \(\infty\).

a: b:

Ein gerader Exponent liefert nie einen negativen Wert, also ist \(W_{f}=\mathbb{R}_{0}^{+}\), als Intervall \([0;\infty[\). Die 0 gehört dazu — sie wird an der Stelle \(x=0\) angenommen —, deshalb steht links eine geschlossene Klammer. Nach oben ist die Wertemenge unbeschränkt, denn \(x\to\pm\infty\) führt beide Male auf \(f(x)\to+\infty\).

17Den Exponenten aus einem Punkt bestimmenAFB III

Der Graph von \(f(x)=x^{n}\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung und verläuft durch \(B(-2\,|\,-128)\).

Bestimme den Exponenten \(n\).

Trage nur die Zahl \(n\) ein. Enter prüft.

Aus \((-2)^{n}=-128\) folgt zunächst \(2^{n}=128\); die Zweierpotenzen lauten \(2,4,8,16,32,64,128\), also \(n=7\). Dass das Ergebnis negativ ist, passt dazu: Nur ein ungerader Exponent lässt ein Minuszeichen übrig — und genau das bedeutet auch die angegebene Punktsymmetrie.

18Eine Funktion vollständig charakterisierenAFB II

Gegeben ist \(h(x)=-x^{6}\).

Arbeite die fünf Schritte der Reihe nach ab — nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Spiele die Charakterisierung Schritt für Schritt durch.

Die vier Schritte nach dem Exponenten — Symmetrie, Quadranten, Wertemenge, Grenzverhalten — folgen dem Merksatz aus der Erklärung: Erst die Parität, dann alles Weitere. Berechnen musst du dabei nichts; das Minuszeichen vor der Potenz kippt in jedem Schritt nur noch die Richtung, nie die Symmetrie.

19Einen Funktionswert exakt einstellenAFB III

Gegeben ist \(f(x)=x^{4}\).

Berechne \(f(-1{,}5)\) und stelle den Wert dann genau ein. Der Regler rastet in Schritten von \(0{,}0625\) ein — der gesuchte Wert liegt exakt auf einer dieser Rasterstellen.

Ziehe den Regler oder bewege ihn mit den Pfeiltasten. Erst rechnen, dann einstellen.

08

Der Exponent 4 ist gerade, also ist \(f(-1{,}5)=1{,}5^{4}\) positiv. Schrittweise: \(1{,}5^{2}=2{,}25\), \(1{,}5^{3}=3{,}375\), \(1{,}5^{4}=5{,}0625\). Der Wert liegt deutlich über 1,5 — außerhalb des Einheitsquadrats wächst \(x^{4}\) eben schnell. Wegen der Achsensymmetrie gilt derselbe Wert auch bei \(x=1{,}5\).

20Der Fahrplan für jede PotenzfunktionAFB II

Sechs Schritte gehören in die richtige Reihenfolge, drei Bausteine sind überflüssig.

Baue den Merksatz zusammen, mit dem du eine Potenzfunktion vollständig beschreibst.

Klicke einen Baustein an und dann den Platz, an den er gehört.

Die Parität des Exponenten steht am Anfang, weil alles Weitere von ihr abhängt: Sie legt die Symmetrie fest, daraus folgen Quadranten und Monotonie, daraus das Grenzverhalten und schließlich die Wertemenge. Die drei übrigen Bausteine gehören zu anderen Funktionstypen.

Interaktive ÜbungEigenschaften von Potenzfunktionen

20 Übungsaufgaben