Eigenschaften der Potenzfkt.: Textaufgaben – Mathe Klasse 11

Modelle im Maßstab

AFB I

Eine Werkstatt fertigt von einer Skulptur maßstäbliche Modelle. Ist ein Modell $x$-mal so hoch wie das Original, so wird auch jede andere Länge mit $x$ vervielfacht. Für den Materialbedarf $M$ — gemessen in Vielfachen des Materials für das Original — gilt dann $$M(x)=x^{3}\qquad\text{mit}\quad [M]=1.$$ Der Wert $M(x)=8$ bedeutet also: Das Modell verbraucht die achtfache Materialmenge.

Berechne den Materialbedarf für $x=2$, $x=3$ und $x=0{,}5$.
Gib an um welche Potenzfunktion es sich handelt, und nenne Symmetrie und Monotonie ihres Graphen.
Begründe warum im Sachzusammenhang nur $x>0$ sinnvoll ist, obwohl $D_{M}=\mathbb{R}$ gilt.

Hinweis zu Aufgabe a)

$x^{3}$ bedeutet $x\cdot x\cdot x$. Rechne in zwei Schritten: erst $x\cdot x$, dann das Ergebnis noch einmal mal $x$.Bei „Berechne“ gehört der Rechenweg mit dazu, nicht nur das Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$M(2)=2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8$. $M(3)=3^{3}=27$. $M(0{,}5)=0{,}5^{3}=0{,}125$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Schau auf den Exponenten. Ist er gerade oder ungerade? Daran hängen sowohl die Symmetrie als auch die Monotonie.„Gib an“ verlangt keine Herleitung — dafür müssen aber alle drei geforderten Angaben vollständig dastehen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Es ist die Potenzfunktion mit dem Exponenten $n=3$, also $f(x)=x^{3}$. Der Exponent ist ungerade, der Graph ist deshalb punktsymmetrisch zum Ursprung und steigt auf der ganzen Definitionsmenge an.

Hinweis zu Aufgabe c)

Überlege, was ein Modell mit dem Maßstabsfaktor $0$ oder $-2$ bedeuten würde.„Begründe“ heißt: Aussage nennen und Ursache angeben — hier der Unterschied zwischen Rechnung und Sachkontext.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Rechnerisch ist jede reelle Zahl zulässig, denn $(-2)^{3}=-8$ ist ein gültiges Ergebnis. Ein Maßstabsfaktor ist jedoch ein Streckungsfaktor für Längen: Für $x=0$ gäbe es kein Modell, und ein negativer Materialbedarf ist sinnlos. Deshalb schränkt man auf $x>0$ ein, ohne dass sich dadurch die Definitionsmenge der Funktion ändert.

Abweichung in der Qualitätskontrolle

AFB II

In einer Fertigung wird jedes Bauteil vermessen. Die Abweichung $x$ vom Sollmaß wird in Millimetern angegeben; sie ist positiv, wenn das Teil zu groß ist, und negativ, wenn es zu klein ist. Die Prüfsoftware vergibt dafür Strafpunkte nach der Vorschrift $$S(x)=x^{4}\qquad\text{mit}\quad [S]=\text{Strafpunkte}.$$

Berechne die Strafpunkte für die Abweichungen $x=0{,}5$, $x=-0{,}5$, $x=2$ und $x=-2$.
Begründe mithilfe der Symmetrie von $S$, warum eine Abweichung nach oben stets genauso bewertet wird wie die gleich große Abweichung nach unten.
Erläutere welche Bedeutung die Wertemenge $W_{S}=\mathbb{R}_{0}^{+}$ im Sachzusammenhang hat und was $S(x)=0$ über das Bauteil aussagt.
Vergleiche die Bewertung mit $S(x)=x^{4}$ mit einer Bewertung nach $T(x)=x^{2}$ an den Stellen $x=0{,}5$ und $x=2$, und erkläre, was der Betrieb mit dem höheren Exponenten erreicht.

Hinweis zu Aufgabe a)

Rechne $x^{4}$ als $x\cdot x\cdot x\cdot x$. Bei $x=-0{,}5$ setzt du die gesamte Zahl in Klammern ein: $(-0{,}5)^{4}$.„Berechne“ verlangt alle vier Rechnungen einzeln — auch dann, wenn zwei Ergebnisse übereinstimmen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$S(0{,}5)=0{,}5^{4}=0{,}0625$, $S(-0{,}5)=(-0{,}5)^{4}=0{,}0625$, $S(2)=2^{4}=16$, $S(-2)=(-2)^{4}=16$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Der Exponent 4 ist gerade. Welche Gleichung verbindet dann $S(-x)$ und $S(x)$?Bei „Begründe“ musst du die Symmetrie benennen und ihre Formel auf den Sachkontext übertragen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Exponent 4 ist gerade, also gilt $S(-x)=(-x)^{4}=x^{4}=S(x)$. Der Graph ist damit achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Übertragen auf den Sachzusammenhang heißt das: Nur der Betrag der Abweichung geht in die Bewertung ein, ihre Richtung nicht. Ein um $0{,}5\ \mathrm{mm}$ zu großes Teil erhält genau so viele Strafpunkte wie ein um $0{,}5\ \mathrm{mm}$ zu kleines.

Hinweis zu Aufgabe c)

Vergleiche $0{,}5^{2}=0{,}25$ mit $0{,}5^{4}=0{,}0625$ und $2^{2}=4$ mit $2^{4}=16$. In welche Richtung geht der Unterschied jeweils?„Vergleiche“ verlangt am Ende eine gegenüberstellende Aussage, nicht nur zwei getrennte Rechnungen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

$W_{S}=\mathbb{R}_{0}^{+}$ bedeutet, dass niemals negative Strafpunkte entstehen können — eine Abweichung kann die Bewertung also nur verschlechtern, nie verbessern. Der kleinste mögliche Wert ist $S(0)=0$; er tritt genau dann ein, wenn das Bauteil das Sollmaß exakt einhält.

Hinweis zu Aufgabe d)

Rechne beide Funktionswerte an beiden Stellen aus und lege die vier Zahlen nebeneinander. Achte darauf, ob die Stelle innerhalb oder außerhalb des Einheitsquadrats liegt.„Vergleiche“ verlangt Gemeinsamkeiten und Unterschiede — und hier zusätzlich eine Deutung im Sachzusammenhang.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

An der Stelle $x=0{,}5$ gilt $T(0{,}5)=0{,}25$, aber $S(0{,}5)=0{,}0625$; an der Stelle $x=2$ gilt $T(2)=4$, aber $S(2)=16$. Innerhalb des Einheitsquadrats liefert der höhere Exponent also kleinere, außerhalb größere Werte. Der Betrieb bewertet mit $x^{4}$ kleine Abweichungen milder und große deutlich strenger — Ausreißer fallen dadurch stärker ins Gewicht als viele kleine Ungenauigkeiten.

Ein Geländeprofil beschreiben

AFB II

Für die Planung eines Wanderwegs wird ein Geländeschnitt vermessen. Die waagerechte Entfernung von einem festgelegten Bezugspunkt wird mit $x$ bezeichnet und in Hektometern (1 hm = 100 m) angegeben; negative Werte liegen westlich, positive östlich davon. Für die Höhe über dem Bezugspunkt liefert das Modell $$h(x)=x^{3}\qquad\text{mit}\quad [h]=\mathrm{m}.$$ Das Modell wurde für den Bereich $-2\le x\le 2$ aus Messdaten gewonnen.

Berechne die Höhen an den Stellen $x=-2$, $x=-1$, $x=0$, $x=1$ und $x=2$.
Beschreibe die Monotonie des Geländes im untersuchten Bereich und begründe sie mit dem Exponenten.
Begründe mithilfe der Punktsymmetrie, dass der Höhenunterschied zwischen $x=-1$ und $x=0$ genauso groß ist wie der zwischen $x=0$ und $x=1$.
Beurteile ob sich das Modell auch für $x=10$ verwenden lässt. Nutze dazu das Grenzverhalten von $h$.

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze die Zahlen einzeln ein und achte auf die Klammer: $(-2)^{3}=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)$.Bei „Berechne“ gehört zu jedem Ergebnis die Einheit Meter.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$h(-2)=(-2)^{3}=-8$, also $8\ \mathrm{m}$ unterhalb des Bezugspunkts. $h(-1)=-1$ und $h(0)=0$. $h(1)=1$ und $h(2)=8$, also $1\ \mathrm{m}$ bzw. $8\ \mathrm{m}$ oberhalb.

Hinweis zu Aufgabe b)

Vergleiche deine fünf Werte der Reihe nach von links nach rechts. Werden sie größer oder kleiner? Und was sagt der Exponent 3 darüber aus?„Beschreibe“ verlangt einen zusammenhängenden Satz über den gesamten Verlauf, nicht nur einzelne Zahlen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Werte nehmen von $-8$ über $-1$ und $0$ bis $8$ ständig zu; das Gelände steigt also auf dem gesamten untersuchten Abschnitt von West nach Ost an. Das war zu erwarten, denn der Exponent 3 ist ungerade, und Graphen von $x^{n}$ mit ungeradem $n$ steigen auf der ganzen Definitionsmenge an — es gibt keine Stelle, an der das Gelände wieder abfällt.

Hinweis zu Aufgabe c)

Punktsymmetrie bedeutet $h(-x)=-h(x)$. Wende das auf $x=1$ an.„Beurteile“ verlangt ein begründetes Urteil mit einer Zahl als Beleg.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Exponent ist ungerade, also gilt $h(-x)=-h(x)$ und der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Damit ist $h(-1)=-h(1)=-1$. Der Höhenunterschied westlich beträgt $h(0)-h(-1)=0-(-1)=1\ \mathrm{m}$ und östlich $h(1)-h(0)=1-0=1\ \mathrm{m}$ — beide sind gleich groß.

Hinweis zu Aufgabe d)

Setze $x=10$ einmal in den Term ein und übersetze das Ergebnis in Meter Höhenunterschied. Frage dich außerdem, für welchen Bereich die Messdaten überhaupt erhoben wurden.„Beurteile“ verlangt ein klares Urteil am Ende, gestützt auf fachliche Argumente — hier Grenzverhalten und Gültigkeitsbereich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Für $x\to+\infty$ gilt $h(x)\to+\infty$; die Modellwerte wachsen also unbegrenzt. Konkret wäre $h(10)=10^{3}=1000$, also ein Anstieg von $1000\ \mathrm{m}$ auf nur einem Kilometer Entfernung. Ein solches Gelände ist ausgeschlossen. Das Modell wurde außerdem nur für $-2\le x\le 2$ aus Messdaten gewonnen und darf deshalb nicht auf $x=10$ übertragen werden.

Wind und Leistung

AFB II

Die Leistung einer Windkraftanlage hängt sehr stark von der Windgeschwindigkeit ab. In einer Modellrechnung wird die Windgeschwindigkeit in Vielfachen der Nenngeschwindigkeit angegeben und mit $x$ bezeichnet; die Leistung $P$ wird in Vielfachen der Nennleistung angegeben. Es gilt $$P(x)=x^{3}\qquad\text{mit}\quad [P]=1.$$ Bei Nennwind ($x=1$) liefert die Anlage also genau ihre Nennleistung.

Berechne die Leistung für $x=0{,}5$, $x=1$ und $x=1{,}5$.
Bestimme um wie viel Prozent die Leistung zunimmt, wenn die Windgeschwindigkeit von $x=1$ auf $x=1{,}5$ steigt.
Erkläre mithilfe des Einheitsquadrats, warum eine Halbierung der Windgeschwindigkeit die Leistung nicht halbiert, sondern auf ein Achtel senkt.
Begründe warum von der Wertemenge $W_{P}=\mathbb{R}$ im Sachzusammenhang nur der Teil $P\ge 0$ auftritt.

Hinweis zu Aufgabe a)

$1{,}5^{3}$ rechnest du in zwei Schritten: $1{,}5\cdot 1{,}5=2{,}25$, dann $2{,}25\cdot 1{,}5$.„Berechne“ heißt: Rechenweg zeigen, Ergebnis angeben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$P(0{,}5)=0{,}5^{3}=0{,}125$, $P(1)=1^{3}=1$, $P(1{,}5)=1{,}5^{3}=1{,}5\cdot 1{,}5\cdot 1{,}5=3{,}375$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Prozentuale Zunahme heißt: Differenz durch Ausgangswert. Der Ausgangswert ist hier $P(1)=1$.„Bestimme“ verlangt einen nachvollziehbaren Rechenweg bis zum Prozentwert.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Zunahme beträgt $3{,}375-1=2{,}375$. Bezogen auf den Ausgangswert $1$ sind das $\frac{2{,}375}{1}=2{,}375$, also eine Zunahme um $237{,}5\ \%$.

Hinweis zu Aufgabe c)

$0{,}5$ liegt innerhalb des Bereichs $-1\le x\le 1$. Was passiert dort, wenn der Exponent größer wird?Bei „Erkläre“ musst du den Zusammenhang in eigenen Worten darstellen, nicht nur ausrechnen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Stelle $x=0{,}5$ liegt innerhalb des Einheitsquadrats, also im Bereich $-1\le x\le 1$. Dort wird eine Potenz mit wachsendem Exponenten kleiner, weil man wiederholt mit einer Zahl unter eins multipliziert: $0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}25$ und $0{,}25\cdot 0{,}5=0{,}125$. Der halbe Wind liefert deshalb nicht die halbe, sondern nur $0{,}125=\frac{1}{8}$ der Nennleistung — der Graph verläuft in diesem Bereich sehr flach dicht über der $x$-Achse.

Hinweis zu Aufgabe d)

Überlege getrennt: Welche Werte kann der Term rein rechnerisch annehmen, und welche $x$ sind im Sachzusammenhang überhaupt möglich?„Begründe“ heißt: Aussage nennen und Ursache angeben — hier der Unterschied zwischen Rechnung und Sachkontext.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Der Exponent 3 ist ungerade, deshalb nimmt $P$ rein rechnerisch jeden reellen Wert an; für negative $x$ wäre $P(x)$ negativ. Eine Windgeschwindigkeit ist jedoch nie negativ, sodass im Sachzusammenhang nur $x\ge 0$ vorkommt. Weil der Graph für $x\ge 0$ im ersten Quadranten verläuft, sind auch alle auftretenden Leistungswerte nicht negativ.

Welche Formel passt zur Messreihe?

AFB III

In einem Labor wird an einem Prüfstand für verschiedene Einstellwerte $x$ der Ausschlag $y$ eines Messgeräts protokolliert. Die Messreihe lautet:

Protokoll des Prüfstands
Einstellwert $x$	−2	−1	0	1	2
Ausschlag $y$	−32	−1	0	1	32

Zur Beschreibung stehen drei Vorschläge zur Auswahl: $f(x)=x^{4}$, $g(x)=x^{5}$ und $h(x)=-x^{5}$.

Prüfe für jeden der drei Vorschläge, ob er zu allen fünf Messwerten passt.
Begründe allein anhand der Symmetrie der Messwerte, welcher Vorschlag von vornherein ausscheidet.
Beschreibe den Graphen der passenden Funktion vollständig: Symmetrie, Quadranten, Monotonie, Grenzverhalten sowie Definitions- und Wertemenge.
Beurteile ob sich mit der gefundenen Funktion auch der Ausschlag für $x=10$ sinnvoll vorhersagen lässt.

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze für jeden Vorschlag zuerst $x=-2$ ein. Ein einziger Widerspruch genügt, um einen Vorschlag auszuschließen.„Prüfe“ verlangt für jeden Vorschlag ein eigenes Ergebnis mit Begründung — auch für die, die passen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$f(-2)=(-2)^{4}=16$, die Tabelle verlangt aber $-32$ — $f$ passt nicht. $h(-2)=-(-2)^{5}=-(-32)=32$, die Tabelle verlangt $-32$ — $h$ passt nicht. Für $g$ gilt $g(-2)=(-2)^{5}=-32$, $g(-1)=-1$, $g(0)=0$, $g(1)=1$ und $g(2)=32$. Alle fünf Werte stimmen, also passt nur $g(x)=x^{5}$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Vergleiche in der Tabelle die Werte bei $x=-2$ und $x=2$. Sind sie gleich oder entgegengesetzt?Bei „Begründe“ darfst du hier nicht rechnen, sondern musst die Symmetrieeigenschaft als Argument verwenden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Zu den entgegengesetzten Einstellwerten $-2$ und $2$ gehören die entgegengesetzten Ausschläge $-32$ und $32$; dasselbe gilt für $-1$ und $1$. Die Messwerte verhalten sich also punktsymmetrisch zum Ursprung, es gilt $y(-x)=-y(x)$. Der Graph von $f(x)=x^{4}$ ist wegen des geraden Exponenten dagegen achsensymmetrisch zur $y$-Achse und liefert links und rechts denselben Wert. $f$ scheidet deshalb aus, ohne dass man einen einzigen Wert berechnen müsste.

Hinweis zu Aufgabe c)

Der Ausschlag wächst zwischen $x=1$ und $x=2$ bereits um den Faktor 32. Rechne aus, was bei $x=10$ herauskäme.„Beurteile“ verlangt ein klares Urteil samt Begründung — hier über die Grenzen eines Modells.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Exponent 5 ist ungerade. Der Graph von $g(x)=x^{5}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung und verläuft durch $O(0\,|\,0)$, $P(1\,|\,1)$ und $R(-1\,|\,-1)$; er liegt in den Quadranten I und III. Er steigt auf der ganzen Definitionsmenge an, und für das Grenzverhalten gilt $g(x)\to-\infty$ für $x\to-\infty$ sowie $g(x)\to+\infty$ für $x\to+\infty$. Es ist $D_{g}=\mathbb{R}$ und $W_{g}=\mathbb{R}$.

Hinweis zu Aufgabe d)

Setze $x=10$ in deine Funktion aus Teilaufgabe c) ein und vergleiche das Ergebnis mit den protokollierten Messwerten.„Beurteile“ verlangt am Ende ein klares Urteil mit Begründung, nicht nur die Rechnung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Rechnerisch ergäbe sich $g(10)=10^{5}=100\,000$. Das ist mehr als das Dreitausendfache des größten protokollierten Ausschlags von 32. Weil die Messreihe nur den Bereich $-2\le x\le 2$ abdeckt und die Funktion wegen ihres Grenzverhaltens außerhalb sehr schnell sehr große Werte annimmt, ist eine Vorhersage für $x=10$ nicht sinnvoll — ein reales Messgerät hätte längst seinen Anzeigebereich verlassen.

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Wind und Leistung

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