Eigenschaften: neg. Exponent: Übungen – Mathe Klasse 11

1Durch welche Quadranten verläuft der Graph?AFB I

Alle fünf Funktionen haben einen negativen Exponenten. Entscheidend ist allein, ob dieser Exponent gerade oder ungerade ist.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz bei den Quadranten, durch die der Graph verläuft.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.

	Quadranten I und II	Quadranten I und III	Quadranten II und IV
\(y=x^{-1}\)
\(y=x^{-2}\)
\(y=x^{-3}\)
\(y=x^{-4}\)
\(y=x^{-6}\)

Bei geradem Exponenten ist die Potenz im Nenner immer positiv — der Graph liegt vollständig über der \(x\)-Achse, also in den Quadranten I und II. Bei ungeradem Exponenten wird der Nenner für \(x\lt 0\) negativ, der linke Ast rutscht in den III. Quadranten. Die Kombination aus den Quadranten II und IV kommt dagegen nie vor: Für \(x\gt 0\) ist \(f(x)\) immer positiv, ein Ast liegt also stets im I. Quadranten.

2Vier Funktionswerte von \(x^{-2}\)AFB I

Gegeben ist \(f\) mit \(f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\).

Berechne die vier Funktionswerte. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Alle vier Felder ausfüllen, dann prüfen. Enter prüft ebenfalls.

\(f(-1)=\)\(f(2)=\)\(f(0{,}5)=\)\(f(10)=\)

\(f(-1)=\frac{1}{(-1)^{2}}=1\) — das ist der Punkt \(Q(-1\,|\,1)\) aus der Tabelle. \(f(2)=\frac{1}{4}=0{,}25\) und \(f(10)=\frac{1}{100}=0{,}01\): weit draußen nähern sich die Werte der 0. Zwischen \(-1\) und \(1\) ist es umgekehrt, \(f(0{,}5)=\frac{1}{0{,}25}=4\) schießt nach oben.

3Zwei Wertetabellen im VergleichAFB II

Gegeben sind \(f(x)=x^{-2}\) und \(g(x)=x^{-3}\). Die Stelle \(x=0\) fehlt in der Tabelle mit Absicht.

Berechne alle acht Funktionswerte und vergleiche anschließend die beiden Spalten. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.

\(x\)	\(f(x)=x^{-2}\)	\(g(x)=x^{-3}\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0{,}5\)
\(2\)

In der \(f\)-Spalte stehen bei \(-2\) und \(2\) dieselben Werte: \(f(x)=f(-x)\), der Graph ist achsensymmetrisch. In der \(g\)-Spalte drehen sich die Vorzeichen um: \(-g(x)=g(-x)\), der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Stelle \(x=0\) fehlt, weil \(D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) gilt — dort liegt die Polstelle.

4Aussagen zur Eigenschaftstabelle prüfenAFB II

Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt. Eine falsche Einschätzung startet die Serie neu.

Fünf Aussagen nacheinander.

Aussage 1 von 5

Drei Zeilen der Tabelle stecken in diesen Aussagen: die Punkte, die Wertemenge und die Monotonie. Die beiden falschen Aussagen behaupten beide dasselbe Unmögliche — dass der Graph eine seiner Asymptoten erreicht.

5Eine fehlende KoordinateAFB I

Der Punkt \(P_{2}(-2\,|\,\square)\) liegt auf dem Graphen von \(y=x^{-4}\).

Berechne die fehlende \(y\)-Koordinate. Rechne ohne GTR.

Trage nur die Zahl ein — Enter prüft. Brüche bitte als Dezimalzahl schreiben.

\(y=(-2)^{-4}=\frac{1}{(-2)^{4}}=\frac{1}{16}=0{,}0625\). Der Exponent 4 ist gerade, deshalb ist der Nenner positiv und der Punkt liegt oberhalb der \(x\)-Achse — passend zu \(W_{f}=\mathbb{R}^{+}\setminus\{0\}\).

6Gerade, ungerade oder immer?AFB I

Neun Eigenschaften aus der Tabelle sollen einsortiert werden. \(n\) ist dabei stets der negative Exponent von \(f(x)=x^{n}\).

Ordne jede Eigenschaft dem Fall zu, in dem sie gilt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1nur bei geradem \(n\)

2nur bei ungeradem \(n\)

3in beiden Fällen

Alles, was mit dem Vorzeichen zu tun hat — Quadranten, Symmetrie, Wertemenge, der Punkt \(R(-1\,|\,-1)\) — hängt von der Parität des Exponenten ab. Definitionsmenge, Polstelle und die beiden Asymptoten sind dagegen bei jedem negativen Exponenten gleich, weil immer durch \(x^{n}\) geteilt wird.

7Fehlende Koordinaten Schritt für SchrittAFB II

Die Punkte \(P_{1}\left(-\frac{1}{3}\,\middle|\,\square\right)\) und \(P_{2}(\square\,|\,16)\) gehören zum Graphen von \(y=\frac{1}{x^{2}}\).

Führe die Rechnung Schritt für Schritt durch. Brüche darfst du in der Form 3/4 eintragen.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Enter prüft.

Quadriere zuerst die Stelle: \(\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\)
Setze ein: \(y=\frac{1}{\frac{1}{9}}=\)
Jetzt \(P_{2}\): Aus \(16=\frac{1}{x^{2}}\) wird \(16x^{2}=1\), also \(x^{2}=\)
Ziehe die Wurzel; wie lautet die positive Lösung \(x=\)
Wie viele Stellen gehören insgesamt zum Wert \(y=16\)?

Für \(P_{1}\) wird nur eingesetzt: \(\frac{1}{\frac{1}{9}}=9\), also \(P_{1}\left(-\frac{1}{3}\,\middle|\,9\right)\). Für \(P_{2}\) löst du die Gleichung: \(x^{2}=\frac{1}{16}\) liefert beim Wurzelziehen zwei Lösungen \(x=\pm\frac{1}{4}\). Das passt zur Tabelle: Bei geradem Exponenten liegt zu jedem \(y\)-Wert ein Punkt links und ein Punkt rechts der \(y\)-Achse.

8Fünf Potenzen ohne GTRAFB II

Berechne jede Potenz und trage den Wert ein. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal.

Potenz	\(2^{-3}\)	\((-2)^{-2}\)	\(10^{-3}\)	\(\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}\)	\((-1)^{-5}\)
Wert

\(2^{-3}=\frac{1}{8}=0{,}125\) und \(10^{-3}=\frac{1}{1000}=0{,}001\). Bei \((-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^{2}}=\frac{1}{4}\) macht der gerade Exponent den Nenner positiv, bei \((-1)^{-5}=\frac{1}{(-1)^{5}}=-1\) bleibt das Minus stehen. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}}=\frac{1}{\frac{1}{16}}=16\): Eine Basis zwischen 0 und 1 macht die Potenz bei negativem Exponenten groß.

9Was gilt für \(f(x)=x^{-3}\)?AFB II

Wähle alle Aussagen aus, die für \(f(x)=x^{-3}\) zutreffen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden.

\(f(-1)=\frac{1}{(-1)^{3}}=-1\) — der Punkt heißt also \(R(-1\,|\,-1)\), nicht \(Q(-1\,|\,1)\), und der linke Ast liegt unterhalb der \(x\)-Achse. Deshalb fällt er an der Polstelle auch unter jede Grenze, während nur der rechte Ast über jede Grenze wächst. Die vier richtigen Aussagen sind genau die Zeilen „Punkte“, „Wertemenge“, „Symmetrie“ und „Globalverhalten“ der Tabelle für ungerade Exponenten.

10Ein Funktionswert als BruchAFB II

Gegeben ist \(f\) mit \(f(x)=x^{-2}\).

Berechne \(f\!\left(-\frac{3}{2}\right)\) und gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner ein. Enter prüft.

Erst quadrieren, dann stürzen: \(\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}\), also ist \(f\!\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{\frac{9}{4}}=\frac{4}{9}\). Der Wert ist positiv, obwohl die Stelle negativ ist — der gerade Exponent sorgt dafür. Weil die Stelle betragsmäßig größer als 1 ist, liegt der Wert zwischen 0 und 1.

11Die Wertemenge als IntervallAFB II

Gegeben ist \(f\) mit \(f(x)=x^{-2}\). Ihre Wertemenge ist \(W_{f}=\mathbb{R}^{+}\setminus\{0\}\).

Stelle diese Wertemenge auf der Zahlengeraden als Intervall ein — Grenzen verschieben und die Klammern richtig drehen.

Verschiebe \(a\) und \(b\) mit den Pfeil-Buttons; ein Klick auf einen Griff dreht die Klammer um. Die äußerste Position rechts bedeutet \(\infty\).

a: b:

Gesucht ist \(W_{f}=\;]0\,;\,\infty[\). Die 0 gehört nicht dazu, denn ein Bruch mit Zähler 1 wird nie null — deshalb zeigt die linke Klammer nach außen. Nach oben gibt es keine Schranke: Je näher \(x\) an der Polstelle liegt, desto größer wird \(f(x)\), also steht rechts \(\infty\).

12Der Größe nach ordnenAFB II

Ordne die sechs Potenzen der Größe nach — beginnend mit der kleinsten. Rechne dazu jeden Wert zuerst aus.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons.

1\((-2)^{-3}=-\frac{1}{8}\)

2\((-4)^{-2}=\frac{1}{16}\)

3\(3^{-2}=\frac{1}{9}\)

4\(2^{-2}=\frac{1}{4}\)

5\(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2\)

6\(\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}=16\)

Nur \((-2)^{-3}=-\frac{1}{8}\) ist negativ, denn nur dort ist der Exponent ungerade — dieser Wert steht ganz vorn. Danach vergleichst du Brüche mit Zähler 1: Je größer der Nenner, desto kleiner der Bruch, also \(\frac{1}{16}\lt\frac{1}{9}\lt\frac{1}{4}\). Basen zwischen 0 und 1 liefern bei negativem Exponenten Werte größer als 1: 2 und 16.

13Begriff und Bedeutung verbindenAFB II

Verbinde jeden Begriff aus der Eigenschaftstabelle mit der passenden Beschreibung.

Klicke links einen Begriff und danach rechts die passende Beschreibung.

Die beiden Asymptoten sind bei jedem negativen Exponenten dieselben — sie gehören zur Polstelle und zum Globalverhalten \(f(x)\to 0\). Wertemenge und Symmetrie dagegen unterscheiden die beiden Spalten der Tabelle: Nur bei geradem \(n\) bleibt alles positiv und der Graph klappt an der \(y\)-Achse auf sich selbst.

14Valentins Heftseite prüfenAFB III

Valentin überträgt den Graphen von \(y=x^{-2}\) vom Taschenrechner in sein Heft und notiert dazu diese Zeilen. Zwei davon sind falsch.

Klicke genau die fehlerhaften Zeilen an.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an.

Beide Fehler haben dieselbe Wurzel: Valentin behandelt \(x=0\) wie eine ganz normale Stelle. Weil \(f(0)\) nicht existiert, kann es dort weder einen höchsten Punkt noch eine Brücke zwischen den Ästen geben. \(D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) ist keine Formsache, sondern eine Anweisung an die Zeichnung.

15Den Funktionsterm zu einem PunktAFB III

Der Punkt \(P\left(\frac{1}{2}\,\middle|\,16\right)\) liegt auf dem Graphen einer Potenzfunktion \(f\) mit \(f(x)=x^{n}\).

Gib den Funktionsterm an. Schreibweise: x^-3 oder 1/x^3.

Gib den Term ein. Potenzen mit ^. Enter prüft.

Einsetzen liefert \(16=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\). Weil die Basis kleiner als 1, das Ergebnis aber größer als 1 ist, muss \(n\) negativ sein. Aus \(\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{16}\) folgt \(n=-4\), also \(f(x)=x^{-4}\). Probe: \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}=\frac{1}{\frac{1}{16}}=16\) ✓.

16Den Exponenten einstellenAFB II

Der Punkt \(P(10\,|\,0{,}001)\) liegt auf dem Graphen von \(f(x)=x^{n}\).

Bestimme \(n\) im Kopf und stelle den Wert exakt am Regler ein.

Schiebe den Regler auf den berechneten Exponenten und prüfe dann.

-66

Einsetzen ergibt \(0{,}001=10^{n}\). Es ist \(0{,}001=\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^{3}}\), und ein Bruch bei einer Basis größer als 1 verlangt einen negativen Exponenten. Also ist \(n=-3\) und \(f(x)=x^{-3}\). Probe: \(10^{-3}=\frac{1}{10^{3}}=0{,}001\) ✓.

17Die Eigenschaften im LückentextAFB II

Vervollständige die Beschreibung von \(f(x)=x^{-4}\). Vier Bausteine der Wortbank bleiben übrig.

Klicke ein Wort und danach die Lücke — oder umgekehrt. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Für \(f(x)=x^{-4}\) gilt \(D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Der Graph verläuft durch die Quadranten und ist zur \(y\)-Achse; seine Wertemenge lautet . An der Polstelle \(x=0\) wachsen beide Äste . Für \(x\to\pm\infty\) nähert sich der Graph der waagerechten Asymptote .

Der Exponent \(-4\) ist gerade, also gilt die linke Spalte der Tabelle: Quadranten I und II, Achsensymmetrie und \(W_{f}=\mathbb{R}^{+}\setminus\{0\}\). Beide Äste wachsen an der Polstelle über jede Grenze — „unter jede Grenze“ gälte nur für den linken Ast bei ungeradem Exponenten. Die waagerechte Asymptote ist \(y=0\); \(x=0\) ist die senkrechte.

18Den Exponenten bestimmenAFB III

Der Punkt \(P\left(\frac{1}{3}\,\middle|\,9\right)\) liegt auf dem Graphen von \(f(x)=x^{n}\).

Spiele den Lösungsweg durch — nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Spiele den Lösungsweg Schritt für Schritt durch.

Aus \(9=\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\) folgt \(n=-2\), denn \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}=9\). Der Merksatz dahinter: Der Bruch verrät das Vorzeichen — du musst nur noch herausfinden, die wievielte Potenz im Nenner steht. Mit dem GTR ginge es über \(n=\log_{\frac{1}{3}}(9)\), hier rechnest du es im Kopf.

19Den Lösungsweg zusammenbauenAFB III

Gesucht sind alle Stellen mit \(y=27\) auf dem Graphen von \(y=\frac{1}{x^{3}}\).

Baue den algebraischen Lösungsweg in der richtigen Reihenfolge zusammen. Drei Bausteine sind falsch und bleiben übrig.

Klicke die Bausteine in der richtigen Reihenfolge an. Ein Klick auf einen Baustein im Bauplan legt ihn zurück.

Erst mit \(x^{3}\) multiplizieren, dann durch 27 teilen, dann die dritte Wurzel ziehen: \(x=\frac{1}{3}\). Anders als beim geraden Exponenten gibt es hier nur eine Lösung — bei ungeradem Exponenten gehört zu jedem \(y\)-Wert genau eine Stelle. \(x^{3}=27\) wäre das Ergebnis einer Division in die falsche Richtung.

20Die Stelle zurückrechnenAFB III

Für \(f(x)=x^{-2}\) gilt \(f(a)=0{,}04\).

Bestimme die positive Stelle \(a\). Rechne ohne GTR.

Trage nur die Zahl ein — Enter prüft.

Aus \(0{,}04=\frac{1}{a^{2}}\) folgt \(0{,}04\,a^{2}=1\), also \(a^{2}=\frac{1}{0{,}04}=25\) und damit \(a=\pm 5\). Gefragt ist die positive Stelle, also \(a=5\). Dass es zwei Stellen gibt, ist typisch für den geraden Exponenten: Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Interaktive ÜbungEigenschaften negativer Exponenten

20 Übungsaufgaben