Beleuchtungsstärke einer LED
AFB IEine punktförmige LED-Leuchte strahlt gleichmäßig in alle Richtungen ab. Wie hell eine Fläche beleuchtet wird, hängt deshalb nur vom Abstand \(r\) zur Leuchte ab — das Licht verteilt sich mit wachsendem Abstand auf eine immer größere Kugelfläche. Der Abstand \(r\) wird in Metern gemessen, die Beleuchtungsstärke \(E\) in Lux. Für diese Leuchte gilt $$E(r)=1200\cdot r^{-2}\qquad\text{mit}\quad [E]=\mathrm{lx}.$$
- Berechne die Beleuchtungsstärke in den Abständen \(r=0{,}5\), \(r=2\) und \(r=5\).
- Gib an welchen Exponenten die zugrunde liegende Potenzfunktion \(f(x)=x^{n}\) hat, ob dieser gerade oder ungerade ist und wie ihre Definitionsmenge lautet.
- Beschreibe wie sich die Beleuchtungsstärke für immer größere Abstände verhält, und deute dabei die waagerechte Asymptote im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(E(0{,}5)=1200\cdot(0{,}5)^{-2}=\frac{1200}{0{,}25}=4800\), also \(4800\ \mathrm{lx}\).
\(E(2)=\frac{1200}{2^{2}}=\frac{1200}{4}=300\), also \(300\ \mathrm{lx}\).
\(E(5)=\frac{1200}{5^{2}}=\frac{1200}{25}=48\), also \(48\ \mathrm{lx}\). Der Wert fällt sehr schnell: Von \(0{,}5\ \mathrm{m}\) auf \(5\ \mathrm{m}\) sinkt die Beleuchtungsstärke auf ein Hundertstel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Exponent ist \(n=-2\), er ist gerade. Die Definitionsmenge der Potenzfunktion lautet \(D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), denn an der Stelle \(x=0\) stünde die Null im Nenner. Im Sachzusammenhang ist zusätzlich nur \(r>0\) sinnvoll, weil ein Abstand nicht negativ sein kann.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Für \(r\to+\infty\) gilt \(E(r)\to 0\), und zwar von oben, denn ein Bruch mit positivem Zähler und geradem Exponenten im Nenner bleibt stets positiv. Zum Beleg: \(E(100)=\frac{1200}{10\,000}=0{,}12\ \mathrm{lx}\) und \(E(1000)=\frac{1200}{1\,000\,000}=0{,}0012\ \mathrm{lx}\).
Die \(r\)-Achse ist damit die waagerechte Asymptote \(y=0\). Im Sachzusammenhang heißt das: Je weiter du dich entfernst, desto schwächer wird die Beleuchtung — sie wird beliebig klein, aber niemals genau null. Vollständige Dunkelheit erreicht das Modell in keinem endlichen Abstand.
Druck in einer Tauchflasche
AFB IIIn einer Tauchflasche befindet sich eine feste Gasmenge. Solange die Temperatur konstant bleibt, ist das Produkt aus Druck und Volumen konstant — das ist das Gesetz von Boyle-Mariotte. Für diese Gasmenge wurde \(p\cdot V=240\) bestimmt, wenn das Volumen \(V\) in Litern und der Druck \(p\) in bar angegeben wird. Löst man nach dem Druck auf, so erhält man $$p(V)=240\cdot V^{-1}\qquad\text{mit}\quad [p]=\mathrm{bar}.$$
- Berechne den Druck für die Volumina \(V=2\), \(V=4\) und \(V=16\).
- Bestimme das Volumen, bei dem der Druck auf \(8\ \mathrm{bar}\) gesunken ist.
- Überprüfe die Aussage „Verdreifachst du das Volumen, so sinkt der Druck auf ein Drittel.“
- Erkläre warum der Graph der reinen Potenzfunktion \(f(x)=x^{-1}\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, im Sachzusammenhang aber nur ein einziger Ast auftritt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(p(2)=\frac{240}{2}=120\), also \(120\ \mathrm{bar}\). \(p(4)=\frac{240}{4}=60\), also \(60\ \mathrm{bar}\). \(p(16)=\frac{240}{16}=15\), also \(15\ \mathrm{bar}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(8=\frac{240}{V}\). Multiplikation mit \(V\) liefert \(8V=240\), Division durch \(8\) ergibt \(V=30\).
Das gesuchte Volumen beträgt \(30\ \ell\). Probe: \(p(30)=\frac{240}{30}=8\ \mathrm{bar}\). Weil der Exponent \(-1\) ungerade ist, gehört zu diesem Druckwert genau eine Stelle — anders als bei geradem Exponenten gibt es hier keine zweite Lösung.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Beispiel: \(p(4)=\frac{240}{4}=60\ \mathrm{bar}\) und \(p(12)=\frac{240}{12}=20\ \mathrm{bar}\). Es gilt \(20=\frac{1}{3}\cdot 60\).
Allgemein: \(p(3V)=\frac{240}{3V}=\frac{1}{3}\cdot\frac{240}{V}=\frac{1}{3}\cdot p(V)\). Die Aussage ist also zutreffend. Der Grund liegt im Exponenten \(-1\): Der Faktor \(3\) steht im Nenner und wirkt deshalb genau einmal — anders als etwa bei \(x^{-2}\), wo er neunfach wirken würde.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Rechnerisch gilt \(f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)\). Das ist genau die Bedingung \(-f(x)=f(-x)\) für Punktsymmetrie zum Ursprung; sie tritt bei jedem ungeraden Exponenten auf. Der Graph verläuft deshalb durch die Quadranten I und III und geht durch die Punkte \(P(1|1)\) und \(R(-1|-1)\).
Im Sachzusammenhang ist \(V>0\), denn ein Volumen ist nie negativ und für \(V=0\) gäbe es kein Gas. Damit bleibt nur der Ast im I. Quadranten übrig; der Ast im III. Quadranten ist mathematisch vorhanden, hat hier aber keine Bedeutung.
Schadstoff im Auffangbecken
AFB IIAuf dem Gelände einer Kläranlage steht ein würfelförmiges Auffangbecken mit der Kantenlänge \(a\), gemessen in Dezimetern. In das vollständig gefüllte Becken gelangen \(54\ \mathrm{g}\) eines Schadstoffs, der sich gleichmäßig im Wasser verteilt. Weil \(1\ \mathrm{dm}^{3}=1\ \ell\) gilt, fasst das Becken \(a^{3}\) Liter. Für die Konzentration erhält man damit $$c(a)=54\cdot a^{-3}\qquad\text{mit}\quad [c]=\mathrm{g}/\ell.$$
- Berechne die Schadstoffkonzentration für die Kantenlängen \(a=3\), \(a=6\) und \(a=10\).
- Bestimme die Kantenlänge, bei der die Konzentration genau den Grenzwert \(0{,}002\ \mathrm{g}/\ell\) erreicht.
- Zeige dass eine Verdopplung der Kantenlänge die Konzentration stets auf ein Achtel senkt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(c(3)=\frac{54}{3^{3}}=\frac{54}{27}=2\), also \(2\ \mathrm{g}/\ell\).
\(c(6)=\frac{54}{6^{3}}=\frac{54}{216}=0{,}25\), also \(0{,}25\ \mathrm{g}/\ell\).
\(c(10)=\frac{54}{10^{3}}=\frac{54}{1000}=0{,}054\), also \(0{,}054\ \mathrm{g}/\ell\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(0{,}002=\frac{54}{a^{3}}\;\big|\cdot a^{3}\) liefert \(0{,}002\,a^{3}=54\). Division durch \(0{,}002\) ergibt \(a^{3}=\frac{54}{0{,}002}=27\,000\). Die dritte Wurzel gibt \(a=30\).
Die Kantenlänge beträgt \(30\ \mathrm{dm}\), also \(3\ \mathrm{m}\). Probe: \(30^{3}=27\,000\) und \(\frac{54}{27\,000}=0{,}002\). Der Exponent \(-3\) ist ungerade, deshalb gibt es zu diesem Wert genau eine Stelle.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Allgemein gilt $$c(2a)=\frac{54}{(2a)^{3}}=\frac{54}{8a^{3}}=\frac{1}{8}\cdot\frac{54}{a^{3}}=\frac{1}{8}\cdot c(a).$$ Die Konzentration sinkt also unabhängig vom Ausgangswert auf ein Achtel.
Bestätigung mit den Werten aus Teilaufgabe a): \(c(3)=2\ \mathrm{g}/\ell\) und \(c(6)=0{,}25\ \mathrm{g}/\ell\), und tatsächlich ist \(\frac{2}{8}=0{,}25\). Der Faktor \(8=2^{3}\) entsteht, weil der Exponent \(-3\) den Verdopplungsfaktor dreifach in den Nenner bringt.
Strömungswiderstand einer Ader
AFB IIDer Strömungswiderstand \(R\) einer Ader hängt außerordentlich stark von ihrem Innenradius \(r\) ab: Verengt sich die Ader, so steigt der Widerstand nicht etwa proportional, sondern weit schneller. Für ein bestimmtes Gefäß gilt mit \(r\) in Millimetern $$R(r)=1296\cdot r^{-4}\qquad\text{mit}\quad [R]=\frac{\mathrm{mbar}\cdot\mathrm{s}}{\mathrm{ml}}.$$ Der Exponent \(-4\) ist der Grund dafür, dass schon kleine Verengungen große Wirkung haben.
- Berechne den Strömungswiderstand für die Radien \(r=1\), \(r=2\) und \(r=3\).
- Bestimme den Radius, bei dem der Widerstand auf \(1\ \frac{\mathrm{mbar}\cdot\mathrm{s}}{\mathrm{ml}}\) gesunken ist.
- Weise nach dass eine Halbierung des Radius den Widerstand stets auf das Sechzehnfache erhöht.
- Begründe warum die Wertemenge der reinen Potenzfunktion \(f(x)=x^{-4}\) nur positive Zahlen ohne die Null enthält, und deute dies im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(R(1)=\frac{1296}{1^{4}}=1296\), also \(1296\ \frac{\mathrm{mbar}\cdot\mathrm{s}}{\mathrm{ml}}\).
\(R(2)=\frac{1296}{2^{4}}=\frac{1296}{16}=81\), also \(81\ \frac{\mathrm{mbar}\cdot\mathrm{s}}{\mathrm{ml}}\).
\(R(3)=\frac{1296}{3^{4}}=\frac{1296}{81}=16\), also \(16\ \frac{\mathrm{mbar}\cdot\mathrm{s}}{\mathrm{ml}}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(1=\frac{1296}{r^{4}}\;\big|\cdot r^{4}\) liefert \(r^{4}=1296\). Wegen \(6^{4}=6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=1296\) folgt \(r=\pm 6\).
Weil der Exponent gerade ist, liefert das Wurzelziehen zwei Lösungen — mathematisch liegt zu jedem \(y\)-Wert ein Punkt links und einer rechts der \(y\)-Achse. Ein Radius ist jedoch nie negativ, also bleibt \(r=6\ \mathrm{mm}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Allgemein gilt $$R\!\left(\frac{r}{2}\right)=\frac{1296}{\left(\frac{r}{2}\right)^{4}}=\frac{1296}{\frac{r^{4}}{16}}=16\cdot\frac{1296}{r^{4}}=16\cdot R(r).$$ Der Widerstand wächst also auf das Sechzehnfache, denn \(16=2^{4}\).
Bestätigung mit Teilaufgabe a): \(R(2)=81\) und \(R(1)=1296\), und tatsächlich ist \(16\cdot 81=1296\). Für die Medizin bedeutet das: Schon eine Halbierung des Innenradius lässt den Widerstand auf das Sechzehnfache anwachsen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Erstens ist \(x^{4}>0\) für jedes \(x\neq 0\), weil der Exponent gerade ist; ein Minuszeichen hebt sich beim vierfachen Multiplizieren auf. Damit ist auch \(\frac{1}{x^{4}}>0\).
Zweitens kann ein Bruch mit dem Zähler \(1\) niemals null werden, so groß der Nenner auch wird. Zusammen ergibt das \(W_{f}=\mathbb{R}^{+}\setminus\{0\}\); die \(x\)-Achse \(y=0\) bleibt eine Asymptote, die der Graph nur anstrebt.
Im Sachzusammenhang heißt das: Der Strömungswiderstand ist stets positiv und wird — egal wie weit sich das Gefäß öffnet — nie exakt null. Es fließt also niemals völlig widerstandsfrei.
Rüstkosten pro Bausatz
AFB IIIEine Schreinerei fertigt Bausätze in Serien. Vor jeder Serie fallen einmalige Rüstkosten für das Einrichten der Maschinen an; diese Kosten werden gleichmäßig auf alle Stücke der Serie umgelegt. Die Buchhaltung hat für vier Serien die Rüstkosten pro Stück notiert.
\(x=5\) Stück: \(240\) Euro pro Stück — \(x=10\) Stück: \(120\) Euro pro Stück — \(x=20\) Stück: \(60\) Euro pro Stück — \(x=50\) Stück: \(24\) Euro pro Stück.
- Untersuche ob sich die vier Wertepaare durch eine Potenzfunktion \(k(x)=c\cdot x^{n}\) beschreiben lassen, und ermittle dabei \(c\) und \(n\).
- Erläutere was die waagerechte Asymptote \(y=0\) dieses Modells für sehr große Stückzahlen aussagt.
- Beurteile ob das Modell \(k(x)=1200\cdot x^{-1}\) die tatsächlichen Gesamtkosten pro Stück auch für sehr große Serien angemessen beschreibt.
- Entscheide welches der beiden Modelle \(k_{1}(x)=1200\cdot x^{-1}\) und \(k_{2}(x)=1200\cdot x^{-1}+8\) die Gesamtkosten pro Stück bei einer Serie von \(400\) Bausätzen besser wiedergibt. Berechne dazu beide Werte und vergleiche die Asymptoten.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Kriterium: Bei \(n=-1\) gilt \(k(x)=\frac{c}{x}\), also müsste \(x\cdot k(x)=c\) für alle Paare denselben Wert liefern.
\(5\cdot 240=1200\), \(10\cdot 120=1200\), \(20\cdot 60=1200\), \(50\cdot 24=1200\). Das Produkt ist konstant gleich \(1200\).
Also lassen sich die Daten beschreiben durch \(k(x)=1200\cdot x^{-1}\) mit \(c=1200\) und \(n=-1\). Sachlich passt das genau: \(1200\) Euro sind die einmaligen Rüstkosten einer Serie, die auf \(x\) Stücke verteilt werden.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Für \(x\to+\infty\) gilt \(k(x)\to 0\), und zwar von oben. Beispiele: \(k(1200)=\frac{1200}{1200}=1\) Euro pro Stück, \(k(12\,000)=\frac{1200}{12\,000}=0{,}1\) Euro pro Stück.
Das Modell sagt also: Je größer die Serie, desto geringer der Rüstkostenanteil je Stück. Er wird beliebig klein, erreicht die Null aber nie — die Asymptote \(y=0\) wird nur angestrebt. Wirtschaftlich ist das die bekannte Fixkostendegression.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Das Modell beschreibt nur den umgelegten Rüstkostenanteil. Für jeden einzelnen Bausatz fallen zusätzlich Material- und Arbeitskosten an, die unabhängig von der Seriengröße immer wieder neu entstehen und daher nicht kleiner werden.
Die Modellaussage „Bei genügend großer Serie kostet ein Bausatz fast nichts“ ist deshalb nicht angemessen: Die Gesamtkosten je Stück haben eine untere Schranke größer als null, während der Graph von \(k\) sich der Null nähert. Für kleine und mittlere Stückzahlen beschreibt das Modell die Kostenentwicklung dagegen gut, weil dort der Rüstkostenanteil dominiert.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Rechnung: \(k_{1}(400)=\frac{1200}{400}=3\), also \(3\) Euro pro Stück. \(k_{2}(400)=\frac{1200}{400}+8=3+8=11\), also \(11\) Euro pro Stück.
Asymptoten: Bei \(k_{1}\) strebt der Graph gegen \(y=0\), bei \(k_{2}\) gegen \(y=8\). Der Summand \(8\) wirkt wie eine Verschiebung nach oben und steht für die Material- und Arbeitskosten, die bei jedem Bausatz erneut anfallen.
Entscheidung: \(k_{2}\) gibt die Gesamtkosten besser wieder. Bei \(400\) Stück ist der Rüstkostenanteil mit \(3\) Euro bereits klein gegenüber den \(8\) Euro Stückkosten; ein Modell ohne diesen Summand würde die Kosten um mehr als das Dreifache unterschätzen. Die Gestalt der Potenzfunktion mit dem Exponenten \(-1\) bleibt in \(k_{2}\) erhalten, nur die waagerechte Asymptote liegt realistisch bei \(8\) statt bei \(0\).