Übungsaufgaben
Die Aufgaben sind nach Anforderungsbereichen geordnet. Die ersten fünf sichern das Handwerk: Begriffe, Ableitungswert als Steigung, \(b\) durch Einsetzen. In der Mitte wird gerechnet — Neigungswinkel, Nullstellen von Tangenten, Brüche als Achsenabschnitt, dazu eine Fehlersuche und eine Sachaufgabe zur Skiflugschanze. Die letzten drei Aufgaben drehen die Fragestellung um: Dort ist die Steigung oder ein Punkt vorgegeben und die Berührstelle gesucht. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.
Fünf Fachbegriffe fehlen im Text. Setzen Sie die passenden Wörter ein — zwei bleiben übrig.
Eine Tangente ist eine , die den Graphen von \(f\) im Berührpunkt berührt und dort dieselbe hat wie der Graph. Diese Zahl ist der Wert der an der Berührstelle \(x_0\), also \(m=f'(x_0)\). Setzt man anschließend den Berührpunkt in den Ansatz \(g(x)=mx+b\) ein, so erhält man den . Die Grenzlage der Sekanten, aus der die Tangente entsteht, hat übrigens einen eigenen Namen: .
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}\).
Berechnen Sie die Tangente an den Graphen von \(f\) an der Stelle \(x_0=3\) — in drei Schritten.
- \(f(3)=\;?\)
- \(f'(x)=2x\), also \(m=f'(3)=\;?\)
- Aus \(9=6\cdot 3+b\) folgt \(b=\;?\)
Gegeben ist \(f(x)=0{,}5x^{2}\) und die Berührstelle \(x_0=4\).
Bestimmen Sie \(m\) und \(b\) der Tangente \(g(x)=mx+b\).
-1/6 geschrieben werden.Gegeben ist \(f(x)=x^{2}-4x\) und die Berührstelle \(x_0=1\).
Geben Sie die Tangentengleichung an — nur die rechte Seite von \(g(x)=\ldots\)
2x - 3. Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /. Enter prüft.Gegeben ist \(f(x)=x^{3}\) mit \(f'(x)=3x^{2}\).
Berechnen Sie die Tangentensteigung an den drei Stellen.
\(f'(-2)=\) \(f'(0)=\) \(f'(3)=\)
Sechs Funktionen mit je einer Stelle \(x_0\). Prüfen Sie, ob die Tangente dort waagerecht verläuft.
| Aufgabe | waagerecht | nicht waagerecht |
|---|---|---|
| \(f(x)=x^{2}-6x\), \(x_0=3\) | ||
| \(f(x)=x^{2}+2x\), \(x_0=1\) | ||
| \(f(x)=x^{3}-3x\), \(x_0=1\) | ||
| \(f(x)=0{,}5x^{2}-2x\), \(x_0=1\) | ||
| \(f(x)=-x^{2}+8x\), \(x_0=4\) | ||
| \(f(x)=x^{3}\), \(x_0=2\) |
Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x\) und die Berührstelle \(x_0=2\).
Berechnen Sie den Neigungswinkel \(\alpha\) der Tangente in Grad (zwei Nachkommastellen).
Gesucht war die Tangente an \(f(x)=x^{2}+3x\) im Punkt \(P(1\mid 4)\). Zwei Zeilen sind falsch.
Finden Sie die beiden Fehler.
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}+2x\) und die Berührstelle \(x_0=-3\).
Bestimmen Sie \(m\), \(b\) und die Nullstelle der Tangente.
Sechs Paare aus Funktion und Berührstelle. Ordnen Sie jede Karte dem Verhalten der Tangente zu.
Gegeben ist \(f(x)=x^{3}\) und die Berührstelle \(x_0=\tfrac{1}{2}\).
Berechnen Sie den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) der Tangente als vollständig gekürzten Bruch.
Sechs Aussagen. Markieren Sie alle, die immer zutreffen.
Vier Tangenten, jeweils gegeben durch Funktion und Berührstelle. Ordnen Sie sie nach der Steilheit — oben die flachste, unten die steilste.
Setzen Sie den Rechenweg zur Tangentengleichung von oben nach unten zusammen. Drei Bausteine gehören nicht dazu.
Vier Aufgaben, vier Tangentengleichungen. Verbinden Sie — zwei Paare unterscheiden sich nur im Vorzeichen.
Der Schanzentisch wird durch \(f(x)=-0{,}0005x^{3}-0{,}2x\) beschrieben. Der geradlinige Anlauf geht an der Stelle \(x_0=-20\) knickfrei in den Schanzentisch über — er liegt also auf der Tangente.
Berechnen Sie den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) dieser Geraden und stellen Sie den Regler darauf ein.
Sechs Aussagen zu Tangente, Steigung und Neigungswinkel. Entscheiden Sie jeweils.
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}-2x\). Gesucht ist die Tangente, die parallel zur Geraden \(y=6x+1\) verläuft.
Bestimmen Sie diese Tangentengleichung. Die Berührstelle ist nicht gegeben — sie muss zuerst berechnet werden.
2x - 3. Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /. Enter prüft.Wieder \(f(x)=-0{,}0005x^{3}-0{,}2x\) für \(-20\le x\le 0\), Anlauf als Tangente an der Stelle \(-20\).
Berechnen Sie in vier Schritten, wie hoch die Startposition bei \(x=-100\) über dem Absprung liegt (in Metern).
- \(m=f'(-20)=\;?\)
- \(f(-20)=\;?\)m
- \(y\)-Achsenabschnitt \(b=\;?\)
- Höhe an der Stelle \(-100\): \(y=\;?\)m
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}+4\). Gesucht ist die Tangente, die durch den Ursprung \(O(0\mid 0)\) verläuft — der Ursprung ist dabei kein Punkt des Graphen.
Bestimmen Sie die positive Berührstelle \(x_0\) und die zugehörige Steigung \(m\).