Skateboard-Rampe
AFB IDas Profil einer Skateboard-Rampe wird durch \(f(x)=0{,}1x^{2}\) beschrieben; \(x\) und \(y\) sind Längen in Metern (Material M1). Die Rampe endet an der Stelle \(x=5\) im Punkt \(P(5 \mid 2{,}5)\).
- Bestimmen Sie \(f'(x)\) und berechnen Sie \(f'(5)\).
- Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P\).
- Berechnen Sie den Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse und deuten Sie ihn im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f'(x)=0{,}2x\), also \(f'(5)=1\). Die Rampe steigt an ihrer Kante mit der Steigung 1, das entspricht \(45^\circ\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(t(x)=f'(5)\,(x-5)+f(5)=1\cdot(x-5)+2{,}5\). Ergebnis: \(t(x)=x-2{,}5\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(t(x)=0 \Leftrightarrow x-2{,}5=0 \Leftrightarrow x=2{,}5\). Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse in \(S(2{,}5 \mid 0)\).
Deutung: Verlängert man die Bewegungsrichtung an der Rampenkante geradlinig nach hinten, so trifft sie den Boden 2,5 m vor dem Rampenende. Nach vorn beschreibt die Tangente die anfängliche Flugrichtung des Fahrers — die tatsächliche Flugbahn ist wegen der Schwerkraft allerdings wieder eine Parabel und bleibt unterhalb der Tangente.
Achterbahn: die Tangente im Wendepunkt
AFB IIEin Abschnitt einer Achterbahn wird durch \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1\) beschrieben; \(x\) ist die waagerechte Entfernung und \(f(x)\) die Höhe, beides in Metern.
- Bestimmen Sie \(f'(x)\) und \(f''(x)\).
- Bestimmen Sie die Wendestelle und die Gleichung der Wendetangente.
- Berechnen Sie, an welcher Stelle die Wendetangente die \(x\)-Achse trifft, und erläutern Sie, warum gerade die Wendetangente für die Streckenplanung interessant ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f'(x)=3x^{2}-12x+9\) und \(f''(x)=6x-12\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f''(x)=0 \Leftrightarrow 6x-12=0 \Leftrightarrow x=2\); wegen des Vorzeichenwechsels von \(f''\) liegt dort eine Wendestelle.
\(f(2)=8-24+18+1=3\) und \(f'(2)=12-24+9=-3\). Ansatz: \(t(x)=f'(2)\,(x-2)+f(2)=-3(x-2)+3\). Ergebnis: \(t(x)=-3x+9\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(-3x+9=0 \Leftrightarrow x=3\); die Wendetangente trifft die \(x\)-Achse bei \(x=3\).
Erläuterung: Im Wendepunkt ist der Betrag der Steigung am größten — die Bahn fällt dort mit \(-3\), also 3 m Höhenverlust je Meter waagerechter Strecke, am steilsten. Genau dieser Punkt bestimmt die maximale Beschleunigung der Wagen und ist deshalb für Sicherheit und Fahrgefühl entscheidend. Zugleich wechselt hier die Krümmung von einer Rechts- in eine Linkskurve.
Straßenprofil mit vorgegebener Steigung
AFB IIEin Straßenabschnitt wird im Querschnitt durch \(f(x)=0{,}5x^{2}-2x+3\) beschrieben (\(x\) und \(y\) in Metern). Für eine Stützmauer wird die Stelle gesucht, an der die Straße parallel zur Geraden \(g(x)=3x-1\) verläuft.
- Berechnen Sie die Stelle \(x_0\), an der die Tangente an den Graphen von \(f\) die Steigung 3 besitzt.
- Bestimmen Sie die Gleichung dieser Tangente.
- Begründen Sie, dass es genau eine solche Stelle gibt, und entscheiden Sie, ob die Tangente mit \(g\) identisch ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f'(x)=x-2\). Ansatz: \(x-2=3 \Leftrightarrow x=5\), also \(x_0=5\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f(5)=0{,}5\cdot 25-10+3=12{,}5-10+3=5{,}5\). Ansatz: \(t(x)=3\,(x-5)+5{,}5\). Ergebnis: \(t(x)=3x-9{,}5\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f'(x)=x-2\) ist eine lineare Funktion mit der Steigung \(1\neq 0\); sie ist streng monoton und nimmt daher jeden Wert — auch den Wert 3 — genau einmal an. Es gibt also genau eine solche Stelle.
Die Tangente ist mit \(g\) nicht identisch: Beide haben zwar die Steigung 3, aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte (\(-9{,}5\) gegenüber \(-1\)). Sie sind echt parallel und verlaufen um \(8{,}5\) Einheiten versetzt.
Scheinwerfer am Parabolspiegel
AFB IIIEin Parabolspiegel hat im Querschnitt die Form der Normalparabel \(f(x)=x^{2}\) (Längen in Metern). Im Punkt \(P(0 \mid -4)\) steht ein punktförmiger Scheinwerfer. Gesucht sind die beiden Lichtstrahlen aus \(P\), die den Spiegel gerade noch streifen — also die Tangenten an die Parabel durch \(P\) (Material M1).
- Bestimmen Sie zunächst allgemein die Tangente an den Graphen von \(f\) im Berührpunkt \(B(u \mid u^{2})\).
- Berechnen Sie die Berührstellen, indem Sie fordern, dass die Tangente durch \(P\) verläuft.
- Geben Sie beide Tangentengleichungen an und begründen Sie, warum es genau zwei Lösungen gibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f'(x)=2x\), also \(f'(u)=2u\). Punkt-Steigungs-Form: \(t_u(x)=2u\,(x-u)+u^{2}=2u\,x-2u^{2}+u^{2}=2u\,x-u^{2}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Bedingung: \(t_u(0)=-4\), also \(-u^{2}=-4 \Leftrightarrow u^{2}=4 \Leftrightarrow u=2\) oder \(u=-2\).
Die Berührpunkte sind \(B_1(2 \mid 4)\) und \(B_2(-2 \mid 4)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(t_1(x)=4x-4\) und \(t_2(x)=-4x-4\).
Begründung: Die Bedingungsgleichung \(u^{2}=4\) ist quadratisch und besitzt zwei Lösungen. Anschaulich liegt \(P\) unterhalb der Parabel, also außerhalb des von ihr eingeschlossenen Bereichs; von einem solchen Punkt aus gibt es stets genau zwei Tangenten — je eine zu jedem Parabelast. Läge \(P\) auf der Parabel, gäbe es nur eine, und für Punkte innerhalb der Parabel gäbe es keine. Wegen der Achsensymmetrie der Parabel liegen die beiden Berührpunkte spiegelbildlich zur \(y\)-Achse.
Glatter Übergang zwischen Gerade und Senke
AFB IIIEine Straße verläuft für \(x\le 0\) geradlinig gemäß \(g(x)=-2x\). Ab \(x=0\) soll sie in eine Senke übergehen, die durch \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) beschrieben wird (Längen in Metern). Der Übergang bei \(x=0\) soll knickfrei sein, und die Senke soll ihren tiefsten Punkt bei \(x=4\) haben.
- Erläutern Sie, welche drei Bedingungen sich aus dem Text ergeben, und geben Sie sie als Gleichungen an.
- Berechnen Sie \(a\), \(b\) und \(c\).
- Berechnen Sie die Tiefe der Senke und beurteilen Sie, ob der Übergang bei \(x=0\) tatsächlich knickfrei ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Erstens gleicher Punkt an der Nahtstelle: \(f(0)=g(0)=0\). Zweitens gleiche Steigung dort: \(f'(0)=g'(0)=-2\). Drittens waagerechte Tangente im tiefsten Punkt: \(f'(4)=0\).
Mit \(f'(x)=2ax+b\) lauten die Gleichungen \(c=0\), \(b=-2\) und \(8a+b=0\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Aus \(f(0)=c=0\) folgt \(c=0\); aus \(f'(0)=b=-2\) folgt \(b=-2\). Eingesetzt in \(8a+b=0\): \(8a-2=0 \Rightarrow a=0{,}25\).
Ergebnis: \(f(x)=0{,}25x^{2}-2x\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f(4)=0{,}25\cdot 16-8=4-8=-4\). Die Senke ist 4 m tief; ihr tiefster Punkt liegt bei \(T(4 \mid -4)\).
Beurteilung: Der Übergang ist knickfrei, denn \(f(0)=0=g(0)\) und \(f'(0)=-2=g'(0)\) — die Gerade \(g\) ist damit genau die Tangente an die Parabel im Punkt \((0\mid 0)\). Ein Fahrzeug erfährt an der Nahtstelle also keinen Richtungssprung. Vollkommen ruckfrei ist der Übergang allerdings nicht: Die Krümmung springt von \(0\) (Gerade) auf einen positiven Wert (Parabel), weshalb im Straßenbau zusätzlich Übergangsbögen verwendet werden.