Normalengleichung: Übungen – Mathe Klasse 11

ZurückZur ErklärungDer negative Kehrwert, der Rechenweg und die Verankerungen der Brücke

Dein Fortschritt:

0 / 0 Aufgaben

Übungsaufgaben

Die Aufgaben sind nach Anforderungsbereichen geordnet. Am Anfang steht der negative Kehrwert in allen Schreibweisen — als Bruch, als Dezimalzahl und als Produktbedingung \(m\cdot m_t=-1\). In der Mitte wird gerechnet: vollständige Normalengleichungen, Schnittstellen mit den Achsen, eine Fehlersuche und die Sonderfälle mit waagerechter Tangente. Zum Schluss folgen die beiden Verankerungen des Brückenbogens aus dem Unterricht. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.

1Tangenten- und NormalensteigungAFB I

Gegeben ist \(f(x)=x^{2}\) und die Stelle \(x_0=3\).

Bestimmen Sie die Steigung der Tangente und die der Normalen.

Der zweite Wert darf als Bruch -1/6 oder gerundet eingetragen werden. Enter prüft.

\(m_t=\)\(m=\)

\(f'(x)=2x\Rightarrow m_t=6\). Der negative Kehrwert davon ist \(m=-\tfrac16\approx -0{,}1667\). Probe: \(6\cdot(-\tfrac16)=-1\) ✓

2Negativer Kehrwert als BruchAFB I

Eine Tangente hat die Steigung \(m_t=\tfrac{2}{5}\).

Berechnen Sie die Steigung der Normalen als vollständig gekürzten Bruch.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Ein Minus gehört in den Zähler, eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1. Enter prüft.

\(m=-\dfrac{1}{\frac25}=-\dfrac52=-2{,}5\). Aus einer flachen Tangente wird eine steile Normale — der Kehrwert dreht das Verhältnis um, das Minus die Richtung.

3Stehen die Geraden senkrecht?AFB I

Sechs Steigungspaare. Prüfen Sie mit dem Produkt \(m_1\cdot m_2\), ob die Geraden senkrecht aufeinander stehen.

In jeder Zeile gehört genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht, die Pfeiltasten wandern von Feld zu Feld.

Aufgabe	senkrecht	nicht senkrecht
\(m_1=4\) und \(m_2=-0{,}25\)
\(m_1=-3\) und \(m_2=3\)
\(m_1=0{,}8\) und \(m_2=-1{,}25\)
\(m_1=-\tfrac23\) und \(m_2=1{,}5\)
\(m_1=5\) und \(m_2=-5\)
\(m_1=\tfrac14\) und \(m_2=-4\)

Senkrecht genau dann, wenn das Produkt \(-1\) ergibt. Die Gegenzahl allein reicht nicht: \(-3\cdot 3=-9\) und \(5\cdot(-5)=-25\).

4Die Normale Schritt für SchrittAFB I

Gegeben ist \(f(x)=x^{2}\) und der Punkt \(P(2\mid 4)\).

Berechnen Sie die Normale in drei Schritten. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Tangentensteigung \(m_t=f'(2)=\;?\)
Normalensteigung \(m=-\dfrac{1}{m_t}=\;?\)
Aus \(4=-0{,}25\cdot 2+b\) folgt \(b=\;?\)

Die Normale lautet \(h(x)=-0{,}25x+4{,}5\). Probe: \(h(2)=-0{,}5+4{,}5=4\) ✓

5Die ganze NormalengleichungAFB I

Gegeben ist \(f(x)=x^{2}-4x\) und die Stelle \(x_0=1\).

Geben Sie die Normalengleichung an — nur die rechte Seite von \(h(x)=\ldots\)

Gib die Geradengleichung als Term ein — nur die rechte Seite, also z. B. 2x - 3. Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /. Enter prüft.

\(f'(1)=-2\Rightarrow m=-\dfrac{1}{-2}=0{,}5\); \(f(1)=-3\); aus \(-3=0{,}5\cdot 1+b\) folgt \(b=-3{,}5\). Also \(h(x)=0{,}5x-3{,}5\).

6Die Vokabeln der NormalenAFB I

Fünf Begriffe fehlen. Setzen Sie sie ein — zwei bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die Normale steht im Berührpunkt auf der Tangente. Ihre Steigung ist der der Tangentensteigung, in Zeichen \(m=-\tfrac{1}{m_t}\). Gleichwertig dazu ist die Aussage: Das Produkt der beiden Steigungen beträgt stets . Ist die Tangente dagegen , so verläuft die Normale senkrecht und lässt sich gar nicht in der Form \(y=mx+b\) schreiben. Den \(y\)-Achsenabschnitt findet man wie bei der Tangente, indem man den einsetzt.

Der einzige Unterschied zum Rechenweg der Tangente ist eine einzige Zeile: die Umrechnung \(m=-\tfrac{1}{m_t}\).

7Drei negative KehrwerteAFB II

Berechnen Sie zu jeder Tangentensteigung die Steigung der Normalen.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, Enter prüft ebenfalls.

\(m_t=0{,}5\Rightarrow m=\) \(m_t=-4\Rightarrow m=\) \(m_t=-\tfrac23\Rightarrow m=\)

\(-\tfrac{1}{0{,}5}=-2\), \(-\tfrac{1}{-4}=0{,}25\), \(-\tfrac{1}{-2/3}=\tfrac32=1{,}5\). Bei negativem \(m_t\) wird die Normalensteigung positiv — zwei Minuszeichen heben sich auf.

8Fehlersuche: Normale an die ParabelAFB II

Gesucht war die Normale an \(f(x)=x^{2}\) im Punkt \(P(3\mid 9)\). Zwei Zeilen sind falsch.

Finden Sie die beiden Fehler.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Probe: \(h(3)=-0{,}5+9{,}5=9\) ✓. Der Klassiker ist Zeile 2 — „negativer Kehrwert“ besteht aus zwei Schritten.

9Drei Werte auf einen StreichAFB II

Gegeben ist \(f(x)=0{,}25x^{2}\) und die Stelle \(x_0=4\).

Bestimmen Sie \(m_t\), \(m\) und den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) der Normalen.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter prüft ebenfalls.

\(m_t=\)\(m=\)\(b=\)

\(f'(x)=0{,}5x\Rightarrow m_t=2\), also \(m=-0{,}5\). Mit \(f(4)=4\) folgt \(4=-0{,}5\cdot 4+b\), also \(b=6\) und \(h(x)=-0{,}5x+6\).

10Was gilt für jede Normale?AFB II

Sechs Aussagen. Markieren Sie alle, die zutreffen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Gegenbeispiel zur letzten Aussage: \(m_t=0{,}5\) liefert \(m=-2\) — dem Betrag nach größer. Und „Ableitung der Tangente“ wäre nur die konstante Zahl \(m_t\), keine Gerade.

11Wo trifft die Normale die \(x\)-Achse?AFB II

Die Normale an \(f(x)=x^{2}\) im Punkt \(P(2\mid 4)\) lautet \(h(x)=-0{,}25x+4{,}5\).

Berechnen Sie, an welcher Stelle \(x\) sie die \(x\)-Achse schneidet.

Nullstelle heißt \(h(x)=0\). Enter prüft.

\(-0{,}25x+4{,}5=0\Rightarrow 0{,}25x=4{,}5\Rightarrow x=18\). Die Normale ist so flach, dass sie erst weit rechts auf die \(x\)-Achse trifft.

12Senkrecht, parallel oder keines von beidem?AFB II

Sechs Geradenpaare. Ordnen Sie jedes dem passenden Bereich zu.

Ordne jede Karte einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.

1 senkrecht zueinander

2 parallel

3 keines von beidem

Senkrecht: Produkt \(-1\). Parallel: gleiche Steigung. \(2\cdot(-2)=-4\) und \(1\cdot 0{,}5=0{,}5\) — beides weder noch.

13Wie verläuft die Normale?AFB II

Sechs Paare aus Funktion und Stelle. Ordnen Sie jede Karte dem Verhalten der Normalen zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Normale steigt

2Normale fällt

3Normale ist senkrecht

Die Tangentensteigungen lauten \(4\), \(-2\), \(0\), \(0\), \(9\), \(-2\). Bei \(m_t=0\) ist die Tangente waagerecht — die Normale steht dann senkrecht und heißt \(x=x_0\).

14Normalensteigungen der Größe nachAFB II

Vier Tangentensteigungen sind gegeben. Ordnen Sie die zugehörigen Normalensteigungen — oben die kleinste, unten die größte (mit Vorzeichen!).

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1zu \(m_t=-4\)

2zu \(m_t=2\)

3zu \(m_t=-1\)

4zu \(m_t=0{,}5\)

Die Normalensteigungen sind \(0{,}25\), \(-0{,}5\), \(1\) und \(-2\). Geordnet: \(-2<-0{,}5<0{,}25<1\). Gefragt war die Größe, nicht der Betrag.

15Brücke: die rechte VerankerungAFB II

Ein Brückenbogen wird durch \(f(x)=-\tfrac{1}{32}x^{2}\) beschrieben. Die rechte Verankerung trifft im Punkt \(P_2(20\mid -12{,}5)\) senkrecht auf den Bogen, liegt also auf der Normalen.

Berechnen Sie den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) dieser Normalen und stellen Sie den Regler darauf ein.

Schiebe den Regler auf den berechneten Wert — Pfeiltasten bewegen ihn schrittweise. Der Regler muss exakt stimmen.

-400

\(f'(x)=-\tfrac{1}{16}x\Rightarrow m_t=f'(20)=-1{,}25\); \(m=-\dfrac{1}{-1{,}25}=0{,}8\). Aus \(-12{,}5=0{,}8\cdot 20+b\) folgt \(b=-28{,}5\).

16Funktion und Stelle → NormaleAFB II

Vier Aufgaben, vier Normalengleichungen. Verbinden Sie — zwei Paare unterscheiden sich nur im Vorzeichen der Steigung.

Wähle links einen Eintrag aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Partner an.

Bei \(x_0=\pm 1\) ist \(f(\pm 1)=1\) und \(b=1{,}5\) in beiden Fällen — unterschieden wird nur über das Vorzeichen von \(m\). Für \(f(x)=x^{3}\): \(m_t=3\), \(m=-\tfrac13\), \(b=1+\tfrac13=\tfrac43\).

17Stimmt das?AFB II

Sechs Aussagen zur Normalen. Entscheiden Sie jeweils.

6 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 6

Der Fall \(m_t=-1\) ist der einzige, in dem sich der Betrag der Steigung nicht ändert — die Gerade wird nur gespiegelt.

18Brücke: die linke VerankerungAFB III

Derselbe Bogen \(f(x)=-\tfrac{1}{32}x^{2}\), jetzt der Punkt \(P_1(-24\mid -18)\).

Berechnen Sie die Normale in drei Schritten. Zwischenwerte gerundet auf drei Nachkommastellen eintragen.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

\(m_t=f'(-24)=\;?\)
\(m=-\dfrac{1}{m_t}=\;?\)
Aus \(-18=m\cdot(-24)+b\) folgt \(b=\;?\)

\(f'(x)=-\tfrac{1}{16}x\Rightarrow f'(-24)=1{,}5\); \(m=-\tfrac{2}{3}\); \(-\tfrac23\cdot(-24)=16\), also \(-18=16+b\) und \(b=-34\). Die Verankerung liegt auf \(y=-\tfrac23 x-34\).

19Die rechte Verankerung als GleichungAFB III

Wieder \(f(x)=-\tfrac{1}{32}x^{2}\) und der Punkt \(P_2(20\mid -12{,}5)\).

Geben Sie die Normalengleichung vollständig an — nur die rechte Seite von \(h(x)=\ldots\)

Gib die Geradengleichung als Term ein — nur die rechte Seite, also z. B. 2x - 3. Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /. Enter prüft.

\(m_t=f'(20)=-1{,}25\), also \(m=0{,}8\). Einsetzen: \(-12{,}5=0{,}8\cdot 20+b=16+b\), damit \(b=-28{,}5\) und \(h(x)=0{,}8x-28{,}5\).

20Entscheidungsbaum: Wie sieht die Normale aus?AFB III

Untersucht wird \(f(x)=x^{2}-6x\) an der Stelle \(x_0=3\).

Beantworten Sie die Fragen des Baums für genau diesen Fall — rechnen Sie vorher \(f'(3)\) aus.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein für den angegebenen Fall und schau, wo du herauskommst.

\(f'(x)=2x-6\), also \(f'(3)=0\): Der Scheitel der Parabel liegt bei \(x=3\). Die Tangente ist dort waagerecht, die Normale senkrecht — sie lautet \(x=3\).

Nächster SchrittZu den TextaufgabenFünf Sachaufgaben zur Normalen: negativer Kehrwert, Achsenschnittpunkte und Sonderfälle.Nächster SchrittZurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel der Differenzialrechnung auf einen Blick

Übungen: Normalengleichung

Übungsaufgaben