Bohrung senkrecht zur Oberfläche
AFB IDas Profil eines Werkstücks wird durch \(f(x)=0{,}5x^{2}\) beschrieben (Längen in Metern). Im Punkt \(P(2 \mid 2)\) soll senkrecht zur Oberfläche gebohrt werden — die Bohrachse verläuft also längs der Normalen (Material M1).
- Berechnen Sie \(f'(2)\) und geben Sie die Steigung der Tangente in \(P\) an.
- Bestimmen Sie die Steigung der Normalen in \(P\) und begründen Sie die verwendete Beziehung.
- Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen in \(P\).
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f'(x)=x\), also \(f'(2)=2\). Die Tangente in \(P\) hat die Steigung \(m_t=2\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(m_n=-\dfrac{1}{m_t}=-\dfrac{1}{2}=-0{,}5\).
Begründung: Die Normale steht in \(P\) senkrecht auf der Tangente. Für zwei zueinander senkrechte Geraden gilt \(m_t\cdot m_n=-1\); Auflösen nach \(m_n\) ergibt den negativen Kehrwert. Probe: \(2\cdot(-0{,}5)=-1\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz: \(n(x)=-0{,}5\,(x-2)+2\). Ergebnis: \(n(x)=-0{,}5x+3\). Die Bohrachse verläuft also längs der Geraden \(y=-0{,}5x+3\).
Böschung und Stützdreieck
AFB IIEine Böschung hat im Querschnitt die Form \(f(x)=x^{2}\) (Längen in Metern). Im Punkt \(P(1 \mid 1)\) wird eine Stütze senkrecht zur Böschungsoberfläche angesetzt; sie reicht bis zur \(x\)-Achse.
- Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen in \(P\).
- Berechnen Sie die Schnittpunkte der Normalen mit der \(x\)- und mit der \(y\)-Achse.
- Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Normale mit den beiden Koordinatenachsen einschließt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f'(1)=2\), also \(m_t=2\) und \(m_n=-\tfrac{1}{2}\). Ansatz: \(n(x)=-0{,}5\,(x-1)+1\). Ergebnis: \(n(x)=-0{,}5x+1{,}5\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(x\)-Achse: \(-0{,}5x+1{,}5=0 \Leftrightarrow x=3\), also \(S_x(3 \mid 0)\). \(y\)-Achse: \(n(0)=1{,}5\), also \(S_y(0 \mid 1{,}5)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Das Dreieck mit den Ecken \(O(0\mid 0)\), \(S_x(3\mid 0)\) und \(S_y(0\mid 1{,}5)\) ist rechtwinklig. Ansatz: \(A=\tfrac{1}{2}\cdot 3\ \text{m}\cdot 1{,}5\ \text{m}\). Ergebnis: \(A=2{,}25\ \text{m}^{2}\).
Normale mit vorgegebener Richtung
AFB IIFür eine Regenrinne am Rand eines parabelförmigen Dachs mit dem Profil \(f(x)=0{,}5x^{2}\) (Längen in Metern) wird die Stelle gesucht, an der die Normale die Steigung \(-1\) besitzt — dort läuft das Wasser unter \(45^\circ\) ab.
- Bestimmen Sie die Stelle \(x_0\), an der die Normale die Steigung \(-1\) hat.
- Bestimmen Sie die Gleichung dieser Normalen.
- Begründen Sie, dass es im Bereich \(x>0\) genau eine solche Stelle gibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f'(x)=x\). Ansatz: \(-\dfrac{1}{f'(x)}=-1 \Leftrightarrow f'(x)=1 \Leftrightarrow x=1\), also \(x_0=1\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f(1)=0{,}5\). Ansatz: \(n(x)=-1\,(x-1)+0{,}5\). Ergebnis: \(n(x)=-x+1{,}5\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Bedingung führt auf \(f'(x)=1\), also auf \(x=1\). Da \(f'(x)=x\) streng monoton wächst, wird jeder Wert — und damit auch der Wert 1 — genau einmal angenommen. Im Bereich \(x>0\) gibt es folglich genau eine solche Stelle. (Für \(x<0\) ist \(f'(x)<0\), dort hätte die Normale eine positive Steigung.)
Zwei Normalen durch einen Punkt
AFB IIIEin Sensor sitzt im Punkt \(Q(0 \mid 3)\) über einer parabelförmigen Rinne mit dem Profil \(f(x)=0{,}5x^{2}\). Gesucht sind die Stellen der Rinne, deren Normale genau durch \(Q\) verläuft (Material M1).
- Bestimmen Sie allgemein die Normale im Punkt \(B\left(u \mid 0{,}5u^{2}\right)\) für \(u\neq 0\).
- Berechnen Sie alle Werte von \(u\), für die diese Normale durch \(Q\) verläuft.
- Geben Sie beide Normalengleichungen an und begründen Sie die Symmetrie der Lösung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f'(u)=u\), also \(m_n=-\dfrac{1}{u}\). Punkt-Steigungs-Form: \(n_u(x)=-\dfrac{1}{u}\,(x-u)+0{,}5u^{2}=-\dfrac{x}{u}+1+0{,}5u^{2}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Bedingung: \(n_u(0)=3\), also \(1+0{,}5u^{2}=3 \Leftrightarrow 0{,}5u^{2}=2 \Leftrightarrow u^{2}=4 \Leftrightarrow u=2\) oder \(u=-2\).
Die zugehörigen Punkte sind \(B_1(2 \mid 2)\) und \(B_2(-2 \mid 2)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(n_1(x)=-0{,}5x+3\) und \(n_2(x)=0{,}5x+3\).
Begründung: Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, und \(Q\) liegt auf dieser Symmetrieachse. Zu jeder Lösung rechts der Achse gehört deshalb eine spiegelbildliche Lösung links davon; die beiden Normalen sind Spiegelbilder voneinander und haben entgegengesetzt gleiche Steigungen. Rechnerisch zeigt sich das daran, dass in der Bedingungsgleichung nur \(u^{2}\) auftritt.
Wenn die Formel versagt
AFB IIIEin Werkstück hat das Profil \(f(x)=x^{2}-4x+7\) (Längen in Millimetern). Ein Schüler soll die Normale im tiefsten Punkt bestimmen. Er setzt in \(m_n=-\dfrac{1}{f'(x_0)}\) ein und erhält einen undefinierten Ausdruck.
- Bestimmen Sie \(f'(x)\) und die Stelle mit waagerechter Tangente.
- Erläutern Sie, warum die Formel \(m_n=-\dfrac{1}{f'(x_0)}\) an dieser Stelle nicht anwendbar ist.
- Geben Sie die Gleichung der Normalen trotzdem an und begründen Sie sie geometrisch.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f'(x)=2x-4\). Ansatz: \(2x-4=0 \Leftrightarrow x=2\). Mit \(f(2)=4-8+7=3\) liegt der Scheitel bei \(S(2 \mid 3)\); dort ist die Tangente waagerecht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
An der Stelle \(x_0=2\) ist \(f'(2)=0\). Die Formel \(m_n=-\dfrac{1}{f'(x_0)}\) verlangt eine Division durch null und ist damit nicht definiert. Der Grund ist nicht ein Rechenfehler, sondern ein geometrischer Sachverhalt: Die Tangente ist waagerecht, die dazu senkrechte Gerade ist deshalb senkrecht — und einer senkrechten Geraden lässt sich keine Steigung zuordnen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Normale ist die senkrechte Gerade durch \(S(2\mid 3)\), also \(x=2\).
Begründung: Die Tangente im Scheitel ist die waagerechte Gerade \(y=3\). Senkrecht dazu steht genau die Parallele zur \(y\)-Achse durch denselben Punkt. Diese Gerade lässt sich nicht in der Form \(y=mx+b\) schreiben, wohl aber als \(x=2\). Die Bedingung \(m_t\cdot m_n=-1\) ist hier kein Widerspruch, sondern schlicht nicht anwendbar — sie gilt nur für Geraden, die beide eine Steigung besitzen.