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3.2.3 · Interaktive Übungen

Übungen: Die NEW-Regel

Zwanzig interaktive Aufgaben zum Zusammenspiel von \(f\), \(f'\) und \(f''\) — von der Merkregel über Vorzeichen und Rechnungen bis zum vollständigen Steckbrief.

ZurückZur ErklärungNullstelle, Extrempunkt, Wendepunkt — die drei Etagen f, f′ und f′′
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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zur NEW-Regel. Der Einstieg klärt die Sprache: Welcher Begriff wird beim Ableiten zu welchem? Danach wird gerechnet — Nullstellen von \(f'\) und \(f''\), Funktionswerte, Kreuztabellen und ein vollständiger Steckbrief nur aus den Ableitungen. Zum Schluss gehst du den Weg rückwärts: von \(f''\) über \(f'\) zurück zum Verlauf von \(f\) — und rekonstruierst einen Ableitungsterm aus seinen Nullstellen. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.

A1Die Merkregel im WortlautAFB I

Sechs Begriffe fehlen. Setzen Sie die passenden Wörter aus der Wortbank ein — zwei bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die drei Buchstaben N, E und W stehen für Nullstelle, Extrempunkt und Wendepunkt. Beim Übergang zur nächsten Ableitung rutscht jeder Buchstabe eine Position nach . Aus einer von \(f\) wird deshalb eine von \(f'\). Eine von \(f\) wird zur Extremstelle von \(f'\) und damit zur Nullstelle der Ableitung. Anschaulich ist eine Wendestelle genau die Stelle, an der der Graph seine wechselt.

„Nach links“ ist der Kern der Regel: In der Reihe N–E–W wandert jeder Begriff beim Ableiten um eine Position nach vorn. Rückwärts gelesen heißt das: Eine Nullstelle von \(f'\) ist ein Kandidat für eine Extremstelle von \(f\) — mehr zunächst nicht.
A2Etage rauf, Etage runterAFB I

Verbinden Sie jedes Merkmal links mit seiner Entsprechung rechts.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Die vierte Zeile ist die anspruchsvollste: Ein Tiefpunkt von \(f'\) bedeutet, dass die Steigung von \(f\) dort ihren kleinsten Wert annimmt — der Graph von \(f\) fällt dort am steilsten. Das ist genau die Wendestelle, nur aus der Sicht der mittleren Etage beschrieben.
A3Die Kette der drei EtagenAFB I

Eine Wendestelle wandert beim Ableiten zweimal weiter. Legen Sie die drei Bausteine in der richtigen Reihenfolge auf den Bauplan.

Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Drei Etagen, zwei Schritte: \(W \to E \to N\). Deshalb sucht man Wendestellen in der Praxis über \(f''(x)=0\) — das ist die kürzeste der drei Bedingungen und liefert dieselben Stellen.
A4Stellen einsortierenAFB II

Für \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x\) gilt \(f'(x)=3x^{2}-12x+9\) und \(f''(x)=6x-12\). Prüfen Sie für jede Stelle durch Einsetzen, worum es sich handelt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Extremstelle von \(f\)
2Wendestelle von \(f\)
3weder noch
\(f'(1)=3-12+9=0\) und \(f'(3)=27-36+9=0\) — das sind die beiden Extremstellen. \(f''(2)=0\) liefert die Wendestelle. Bei \(x=1{,}5\) ist zwar \(f'(1{,}5)=-2{,}25\neq 0\) und \(f''(1{,}5)=-3\neq 0\) — nichts Besonderes, obwohl die Stelle mitten zwischen den Extremstellen liegt.
A5Alle markanten Stellen berechnenAFB II

Weiter mit \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x\), \(f'(x)=3x^{2}-12x+9\), \(f''(x)=6x-12\). Berechnen Sie die sechs gesuchten Zahlen.

Trage alle sechs Werte ein. Für die Nullstellen von \(f'\) hilft die pq-Formel nach dem Ausklammern der 3. Enter prüft.
gesuchtWert
kleinere Nullstelle von \(f'\)
größere Nullstelle von \(f'\)
Nullstelle von \(f''\)
\(f(1)\)
\(f(3)\)
\(f(2)\)
\(3x^{2}-12x+9=3(x^{2}-4x+3)\), also \(x_{1/2}=2\pm\sqrt{4-3}=2\pm1\). Damit lauten die drei markanten Punkte \(H(1\,|\,4)\), \(W(2\,|\,2)\) und \(T(3\,|\,0)\). Die Wendestelle liegt hier genau in der Mitte zwischen den beiden Extremstellen — bei Funktionen dritten Grades ist das immer so.
A6Die Argumentation im SatzAFB II

Vervollständigen Sie die Begründung für dieselbe Funktion.

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag. Die beiden Absätze sind zusammen eine vollständige Begründung — so, wie sie in der Klausur erwartet wird.

Für \(x<1\) ist \(f'(x)=3(x-1)(x-3)\) , der Graph von \(f\) ist dort also . Zwischen \(1\) und \(3\) ist \(f'\) , der Graph also . Bei \(x=1\) liegt deshalb ein und bei \(x=3\) ein .

Die zweite Ableitung \(f''(x)=6x-12\) wechselt bei \(x=2\) das Vorzeichen . Also besitzt \(f\) dort einen , und der Graph geht von einer Rechts- in eine Linkskurve über.

Entscheidend ist der Vorzeichenwechsel, nicht der Wert selbst. \(f'\) wird an beiden Extremstellen null, aber die Richtung des Wechsels unterscheidet Hoch- und Tiefpunkt. Und bei \(f''\): Wechsel von − nach + bedeutet Übergang von Rechts- zu Linkskrümmung.
A7Was folgt aus \(f''(x_0)=0\)?AFB II

Von einer Funktion \(f\) ist nur bekannt, dass \(f''(x_0)=0\) gilt. Markieren Sie alle Aussagen, die daraus sicher folgen oder zumindest möglich sind — und nur diese.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.
\(f''(x_0)=0\) ist eine notwendige, keine hinreichende Bedingung: Bei \(f(x)=x^{4}\) ist \(f''(0)=0\), aber der Ursprung ist ein Tiefpunkt und kein Wendepunkt. Über \(f'(x_0)\) sagt die Bedingung gar nichts — die beiden Etagen sind unabhängig voneinander.
A8Kreuztabelle zu \(g(x)=0{,}25x^{4}-2x^{2}\)AFB II

Es gilt \(g'(x)=x^{3}-4x\) und \(g''(x)=3x^{2}-4\). Setzen Sie in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere sein, es kann aber auch keines sein.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
Stelle\(g'(x)=0\)\(g''(x)=0\)Extremstelle von \(g\)Wendestelle von \(g\)
\(x=-2\)
\(x=0\)
\(x=2\)
\(x\approx 1{,}155\)
\(x=1\)
\(g'(x)=x(x^{2}-4)\) hat die Nullstellen \(-2\), \(0\) und \(2\) — drei waagerechte Tangenten, und weil \(g'\) dort jeweils das Vorzeichen wechselt, sind es drei Extremstellen. \(3x^{2}-4=0\) liefert \(x=\pm\sqrt{4/3}\approx\pm 1{,}155\). Die Stelle \(x=1\) erfüllt keine der Bedingungen: \(g'(1)=-3\) und \(g''(1)=-1\). Eine leere Zeile ist eine korrekte Antwort.
A9Wie viele höchstens?AFB II

Eine ganzrationale Funktion vom Grad 5 wird zweimal abgeleitet. Geben Sie an, wie viele Extremstellen sie höchstens haben kann.

Trage die Anzahl als ganze Zahl ein. Tipp: Denke an den Grad von \(f'\). Enter prüft.
Beim Ableiten sinkt der Grad um eins: \(f'\) hat Grad 4 und damit höchstens vier Nullstellen. Jede Extremstelle von \(f\) ist eine Nullstelle von \(f'\) — also höchstens vier Extremstellen. Umgekehrt gilt das nicht: Eine Funktion fünften Grades kann auch gar keine Extremstelle besitzen, etwa \(f(x)=x^{5}\).
A10Rechenkette zu \(g(x)=0{,}25x^{4}-2x^{2}\)AFB III

Dieselbe Funktion wie in A8. Arbeiten Sie die Kette von oben nach unten ab.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Kleinste Nullstelle von \(g'(x)=x^{3}-4x\):
  2. Wie viele Nullstellen hat \(g'\) insgesamt?
  3. Positive Nullstelle von \(g''(x)=3x^{2}-4\) (drei Nachkommastellen):
  4. Wie viele Wendestellen hat \(g\) damit?
  5. Funktionswert \(g(-2)=\)
  6. Funktionswert \(g(0)=\)
\(g\) besitzt zwei Tiefpunkte \((-2\,|\,-4)\) und \((2\,|\,-4)\) sowie den Hochpunkt \((0\,|\,0)\) — drei Extrempunkte, dazwischen zwei Wendestellen. Das passt zur NEW-Regel: \(g'\) hat drei Nullstellen und deshalb zwei Extremstellen, und genau diese zwei werden zu den Nullstellen von \(g''\).
A11Vom Ableitungsgraphen zu den StellenAFB II

Eingezeichnet ist der Graph von \(f'(x)=3x^{2}-12x+9\). Setzen Sie nacheinander die beiden Nullstellen von \(f'\) — sie liegen auf der \(x\)-Achse — und anschließend den Tiefpunkt der Parabel, dessen Stelle die Wendestelle von \(f\) ist.

Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

Die beiden Nullstellen \((1\,|\,0)\) und \((3\,|\,0)\) sind die Extremstellen von \(f\); der Scheitel \((2\,|\,-3)\) liegt genau dazwischen. Seine \(y\)-Koordinate \(-3\) ist die kleinste Steigung, die \(f\) irgendwo annimmt — dort fällt der Graph von \(f\) am steilsten. Damit ist \(x=2\) die Wendestelle, ganz ohne \(f''\) zu berechnen.
A12Protokoll prüfen und berichtigenAFB II

Ein Lösungsprotokoll zu \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x\) enthält drei Fehler. Markieren Sie die falschen Zeilen und tragen Sie den richtigen Wert ein.

Klicke die Zeilen an, die du für falsch hältst — dabei klappt ein Feld für die Korrektur auf. Geprüft wird beides: die Auswahl und die Korrekturen.
Zeile 5 ist die tückischste: Die Rechnung \(f''(1)=-6\) ist richtig, nur die Schlussfolgerung ist falsch. Negative zweite Ableitung bedeutet Rechtskrümmung — und damit einen Hochpunkt genau an dieser Stelle, also bei \(x=1\). Merke: Das Vorzeichen von \(f''\) entscheidet über die Art des Extrempunkts, nicht über seine Lage.
A13Über welche Etage wird gesprochen?AFB II

Alle Aussagen beziehen sich auf \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x\). Ordnen Sie jede Aussage der Funktion zu, über die sie tatsächlich etwas sagt.

Ordne jede Karte einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 Aussage über \(f\)
2 Aussage über \(f'\)
3 Aussage über \(f''\)
Dreimal geht es um dieselbe Stelle \(x=2\), und dreimal bedeutet es etwas anderes: \(f\) hat dort einen Wendepunkt, \(f'\) einen Tiefpunkt, \(f''\) eine Nullstelle. Genau das ist die NEW-Regel in einem Satz. Achte in Klausuren auf die Striche — sie entscheiden, über welche Etage gesprochen wird.
A14Hoch, tief oder Sattel?AFB III

Über eine Stelle \(x_0\) ist bekannt: \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)=12\). Beantworten Sie die Fragen des Entscheidungsbaums für genau diesen Fall.

Beantworte die Fragen nacheinander mit „Ja“ oder „Nein“. Am Ende steht das Ergebnis — stimmt es für den beschriebenen Fall?

    \(f''(x_0)=12>0\) bedeutet Linkskrümmung, also einen Tiefpunkt. Die mittlere Frage darf man nicht überspringen: Wäre \(f''(x_0)=0\), müsste man auf das Vorzeichenwechsel-Kriterium von \(f'\) ausweichen — bei \(f(x)=x^{3}\) liegt im Ursprung ein Sattelpunkt, obwohl beide Ableitungen dort null sind.
    A15Der Ablauf einer KurvenuntersuchungAFB II

    Bringen Sie die sechs Arbeitsschritte in die Reihenfolge, in der man sie sinnvollerweise abarbeitet.

    Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
    1Die beiden Ableitungen \(f'\) und \(f''\) aufstellen.
    2\(f'(x)=0\) setzen und die Nullstellen berechnen — das sind die Kandidaten für Extremstellen.
    3Für jede dieser Stellen das Vorzeichen von \(f''\) bestimmen.
    4Aus dem Vorzeichen die Art festlegen: \(f''<0\) Hochpunkt, \(f''>0\) Tiefpunkt.
    5\(f''(x)=0\) setzen und die Wendestellen berechnen.
    6Zu allen gefundenen Stellen die Funktionswerte von \(f\) berechnen und die Punkte angeben.
    Die Funktionswerte kommen ganz zum Schluss, und zwar aus \(f\) — nicht aus \(f'\). Ein klassischer Fehler ist, den Wert \(f'(1)=0\) als \(y\)-Koordinate des Hochpunkts zu notieren. Die Stelle kommt aus der Ableitung, der Wert immer aus der Ausgangsfunktion.
    A16Steckbrief aus den AbleitungenAFB III

    Von einer Funktion \(h\) sind bekannt: \(h'(x)=3x^{2}-6x-24\) und \(h''(x)=6x-6\). Bestimmen Sie die Extremstellen, ihre Art und die Wendestelle.

    Die ersten drei Felder sind Zahlen, die beiden letzten Wörter — schreibe „Hochpunkt“ bzw. „Tiefpunkt“. Enter prüft alles auf einmal.
    \(3x^{2}-6x-24=3(x^{2}-2x-8)=0\) liefert \(x_{1/2}=1\pm\sqrt{1+8}=1\pm3\), also \(-2\) und \(4\). Dann \(h''(-2)=-18<0\) — Hochpunkt — und \(h''(4)=18>0\) — Tiefpunkt. Die Wendestelle \(x=1\) liegt wieder genau mittig zwischen beiden Extremstellen.
    A17Wie viele Wendestellen sind möglich?AFB III

    Jede Zeile nennt den Grad einer ganzrationalen Funktion. Bestimmen Sie, wie viele Wendestellen sie höchstens haben kann.

    Wähle in jeder Zeile die Stufe — die Stufe ist die Höchstzahl der Wendestellen. Pfeiltasten wandern, Enter wählt.
    höchstens 1höchstens 5
    \(f\) hat den Grad 3
    \(f\) hat den Grad 4
    \(f\) hat den Grad 5
    \(f\) hat den Grad 6
    \(f\) hat den Grad 7
    Zweimal ableiten senkt den Grad um zwei: Aus Grad \(n\) wird \(f''\) vom Grad \(n-2\), und ein Polynom vom Grad \(n-2\) hat höchstens \(n-2\) Nullstellen. Deshalb hat eine Funktion dritten Grades höchstens eine Wendestelle — und weil \(f''\) dort eine Gerade mit Steigung ungleich null ist, sogar immer genau eine.
    A18Von \(f''\) zurück zu \(f\)AFB III

    Von einer Funktion \(f\) ist nur bekannt: \(f''(x)=6x-12\) sowie \(f'(1)=0\) und \(f'(3)=0\). Erschließen Sie Schritt für Schritt, wie der Graph von \(f\) verläuft.

    Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung. Eine falsche Wahl wird rot — dann probierst du es erneut.

      Aus den beiden Ableitungen allein lässt sich die Form vollständig rekonstruieren: Hochpunkt bei 1, Wendestelle bei 2, Tiefpunkt bei 3. Was fehlt, ist die Lage — ohne einen Funktionswert von \(f\) selbst bleibt offen, wie hoch der Graph liegt. Genau darum braucht ein Steckbrief immer mindestens einen Punkt von \(f\).
      A19Stimmt das über die drei Etagen?AFB III

      Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung beendet die Serie — dann startest du neu.

      5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
      Aussage 1 von 5

      Die beiden Fallen sind die Umkehrungen: Von \(f\) nach \(f'\) gilt die Regel immer, von \(f'\) zurück zu \(f\) nur mit Zusatzprüfung. Deshalb heißen \(f'(x)=0\) und \(f''(x)=0\) notwendige Bedingungen — sie liefern Kandidaten, keine fertigen Antworten.
      A20Den Ableitungsterm rekonstruierenAFB III

      Über \(f'\) ist bekannt: Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(x=1\) und \(x=3\), und es gilt \(f'(0)=9\). Geben Sie den Term von \(f'(x)\) an.

      Schreibweise: 3x^2-12x+9 oder die faktorisierte Form 3(x-1)(x-3) — beides wird akzeptiert. Malzeichen * oder weglassen. Enter prüft.
      Aus den Nullstellen folgt der Ansatz \(f'(x)=a(x-1)(x-3)\). Einsetzen von \(x=0\) ergibt \(a\cdot(-1)\cdot(-3)=3a=9\), also \(a=3\) und damit \(f'(x)=3(x-1)(x-3)=3x^{2}-12x+9\). Das ist genau die Ableitung aus A5 — und der Scheitel bei \(x=2\) bestätigt noch einmal die Wendestelle. Ohne die Bedingung \(f'(0)=9\) wäre der Faktor \(a\) nicht bestimmbar: Die Nullstellen legen nur die Form fest, nicht die Streckung.
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