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3.2.3 · Textaufgaben

Textaufgaben: Die NEW-Regel

Fünf Sachaufgaben zum Zusammenhang von \(f\), \(f'\) und \(f''\) — mit Operatoren, Teilaufgaben, gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont.

1

Vom Graphen von f′ zurück zu f

AFB I

Material M1 zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer auf \([-2;4]\) definierten Funktion \(f\). Es gilt \(f'(x)=-x^{2}+2x+3\).

M1Graph der Ableitungsfunktion \(f'\)
Hochpunkt von f′ -2 -1 1 2 3 4 -6 -4 -2 2 4 x y
Abgebildet ist nicht der Graph von \(f\), sondern der Graph von \(f'\).
  1. Geben Sie die Nullstellen von \(f'\) an und nennen Sie, welche Eigenschaft der Graph von \(f\) an diesen Stellen besitzt.
  2. Bestimmen Sie die Intervalle, in denen \(f\) streng monoton steigt bzw. fällt.
  3. Begründen Sie, welche Art von Extrempunkt der Graph von \(f\) an der Stelle \(x=3\) besitzt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Lesen Sie in M1 ab, wo die Kurve die \(x\)-Achse schneidet. Der Funktionswert von \(f'\) ist die Steigung von \(f\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Nullstellen: \(x_1=-1\) und \(x_2=3\). Dort hat der Graph von \(f\) jeweils eine waagerechte Tangente, es kommen also Extremstellen in Frage (Nullstelle von \(f'\) → Extremstelle von \(f\)).

Hinweis zu Aufgabe b)
Entscheidend ist das Vorzeichen von \(f'\), nicht sein Betrag.Positive Werte von \(f'\) bedeuten steigende Tangenten und damit einen steigenden Graphen von \(f\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f'(x)<0\) für \(-2\le x<-1\): \(f\) fällt. \(f'(x)>0\) für \(-1<x<3\): \(f\) steigt. \(f'(x)<0\) für \(3<x\le 4\): \(f\) fällt. Also ist \(f\) auf \([-2;-1]\) streng monoton fallend, auf \([-1;3]\) streng monoton steigend und auf \([3;4]\) wieder streng monoton fallend.

Hinweis zu Aufgabe c)
Untersuchen Sie, wie das Vorzeichen von \(f'\) beim Durchgang durch \(x=3\) wechselt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\): Links von 3 steigt \(f\), rechts davon fällt es. Der Graph von \(f\) besitzt dort folglich einen Hochpunkt. (Bei \(x=-1\) liegt aus demselben Grund ein Tiefpunkt.)

2

Freibad: Besucher, Zustrom und der stärkste Andrang

AFB II

Die Funktion \(B\) beschreibt die Zahl der Badegäste in einem Freibad zwischen 9 Uhr und 18 Uhr. Material M1 gibt die Vorzeichen von \(B'\) und \(B''\) in vier Zeitabschnitten an. Um 9 Uhr ist das Bad leer.

M1Vorzeichen von \(B'\) und \(B''\) im Tagesverlauf
Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung der Besucherzahl \(B\).
Zeitraum9–11 Uhr11–13 Uhr13–15 Uhr15–18 Uhr
\(B'\)++−−
\(B''\)+−−+
An den Zeitgrenzen 11, 13 und 15 Uhr wechselt jeweils genau ein Vorzeichen.
  1. Erläutern Sie, was ein positives Vorzeichen von \(B'\) im Sachzusammenhang bedeutet.
  2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich die meisten Gäste im Bad befinden, und begründen Sie Ihre Antwort.
  3. Bestimmen Sie den Zeitpunkt des stärksten Zustroms und erläutern Sie ihn mit Hilfe der NEW-Regel.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(B'\) ist die Änderungsrate der Besucherzahl — vergleichen Sie Zugänge und Abgänge.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(B'(t)>0\) heißt, dass die Zahl der Gäste in diesem Zeitraum zunimmt: Es kommen mehr Menschen ins Bad, als gleichzeitig gehen. Über die Höhe der Besucherzahl selbst sagt das Vorzeichen nichts aus.

Hinweis zu Aufgabe b)
Suchen Sie den Vorzeichenwechsel von \(B'\) und überlegen Sie, in welche Richtung er verläuft.Ein Wechsel von \(+\) nach \(-\) bedeutet: Erst wächst der Bestand, dann nimmt er ab.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Um 13 Uhr. Begründung: Bis 13 Uhr ist \(B'>0\), die Besucherzahl wächst also; ab 13 Uhr ist \(B'<0\), sie nimmt ab. Der Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) kennzeichnet einen Hochpunkt von \(B\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Der stärkste Zustrom ist der größte Wert von \(B'\). Fragen Sie sich, woran man den Hochpunkt von \(B'\) erkennt — und was er für \(B\) bedeutet.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Um 11 Uhr. Dort wechselt \(B''\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\), d. h. \(B''\) hat dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel und \(B'\) folglich einen Hochpunkt — der Zustrom ist maximal. Nach der NEW-Regel rutscht jeder Begriff beim Ableiten eine Stufe nach links: Was für \(B''\) eine Nullstelle ist, ist für \(B'\) ein Extrempunkt und für \(B\) ein Wendepunkt. Um 11 Uhr füllt sich das Bad also am schnellsten, voll ist es aber erst um 13 Uhr.

3

Eine Funktion vollständig einordnen

AFB II

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+2\). Es gilt \(f'(x)=3x^{2}-12x+9\) und \(f''(x)=6x-12\).

  1. Berechnen Sie die Nullstellen von \(f'\).
  2. Bestimmen Sie mit Hilfe von \(f''\) Art und Koordinaten der Extrempunkte von \(f\).
  3. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts und erläutern Sie den Zusammenhang mit der NEW-Regel.
Hinweis zu Aufgabe a)
Klammern Sie zuerst 3 aus und wenden Sie dann die \(p\)-\(q\)-Formel oder den Satz von Vieta an.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(3x^{2}-12x+9=0 \Leftrightarrow 3\big(x^{2}-4x+3\big)=0 \Leftrightarrow x^{2}-4x+3=0\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1{,}2}=2\pm\sqrt{4-3}=2\pm 1\), also \(x_1=1\) und \(x_2=3\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie beide Nullstellen in \(f''\) ein: Ein negativer Wert spricht für einen Hochpunkt, ein positiver für einen Tiefpunkt. Vergessen Sie die \(y\)-Koordinaten nicht — sie kommen aus \(f\), nicht aus \(f'\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f''(1)=6-12=-6<0\) → Hochpunkt; \(f''(3)=18-12=6>0\) → Tiefpunkt.

\(f(1)=1-6+9+2=6\) und \(f(3)=27-54+27+2=2\). Ergebnis: Hochpunkt \(H(1 \mid 6)\), Tiefpunkt \(T(3 \mid 2)\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Setzen Sie \(f''(x)=0\). Ordnen Sie anschließend zu, was diese Stelle für \(f''\), für \(f'\) und für \(f\) bedeutet.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f''(x)=0 \Leftrightarrow 6x-12=0 \Leftrightarrow x=2\); \(f''\) wechselt dort das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\). Mit \(f(2)=8-24+18+2=4\) ergibt sich der Wendepunkt \(W(2 \mid 4)\).

NEW-Regel: Die Stelle \(x=2\) ist eine Nullstelle von \(f''\), ein Extrempunkt von \(f'\) (dort nimmt \(f'\) mit \(f'(2)=-3\) seinen kleinsten Wert an) und ein Wendepunkt von \(f\) — der Graph von \(f\) fällt dort am steilsten.

4

Eine Behauptung über den größten Wert

AFB III

Ein Schüler sagt über die Funktion \(f\) aus Aufgabe 1: „An der Stelle, an der \(f'\) am größten ist, ist auch \(f\) am größten — schließlich wächst die Funktion dort am stärksten.“ Es gilt weiterhin \(f'(x)=-x^{2}+2x+3\) auf \([-2;4]\).

  1. Geben Sie die Stelle an, an der \(f'\) seinen größten Wert annimmt, und nennen Sie diesen Wert.
  2. Begründen Sie, welche besondere Eigenschaft der Graph von \(f\) an dieser Stelle besitzt.
  3. Beurteilen Sie die Aussage des Schülers.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Graph von \(f'\) in M1 (Aufgabe 1) ist eine nach unten geöffnete Parabel; ihr Scheitel liegt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der Scheitel der Parabel liegt bei \(x=1\), also in der Mitte zwischen \(-1\) und \(3\). Dort gilt \(f'(1)=-1+2+3=4\); das ist der größte Wert von \(f'\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Ein Extrempunkt von \(f'\) entspricht nach der NEW-Regel einer bestimmten Stelle von \(f\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ein Hochpunkt von \(f'\) ist nach der NEW-Regel ein Wendepunkt von \(f\): Der Graph von \(f\) hat bei \(x=1\) seine größte Steigung, er steigt dort am steilsten. Eine waagerechte Tangente hat er dort gerade nicht, denn \(f'(1)=4\neq 0\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Nennen Sie den richtigen Sachverhalt, benennen Sie den Denkfehler und geben Sie die Stelle an, an der \(f\) tatsächlich am größten ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch. Der Schüler verwechselt „am schnellsten wachsend“ mit „am größten“. Bei \(x=1\) wächst \(f\) zwar am stärksten, es wächst danach aber weiter — nämlich bis \(x=3\), wo \(f'\) das Vorzeichen wechselt. Der größte Funktionswert von \(f\) auf \([-2;4]\) wird deshalb bei \(x=3\) angenommen, an der Stelle \(x=1\) liegt lediglich ein Wendepunkt.

5

Aus f′ den Verlauf von f rekonstruieren

AFB III

Material M1 zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer auf \([-3;5]\) definierten Funktion \(f\) mit \(f(-3)=0\).

M1Graph der Ableitungsfunktion \(f'\)
Nullstellen von f′ -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -6 -4 -2 2 4 6 x y
Die drei markierten Punkte sind die Nullstellen von \(f'\).
  1. Geben Sie die Nullstellen von \(f'\) an.
  2. Bestimmen Sie Lage und Art aller Extremstellen von \(f\).
  3. Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen von \(f\) und begründen Sie mit der NEW-Regel, wie viele Wendestellen \(f\) besitzt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Lesen Sie die drei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse ab.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(x_1=-2\), \(x_2=1\) und \(x_3=4\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Legen Sie eine Vorzeichentabelle für \(f'\) mit den vier Abschnitten an, die durch die Nullstellen entstehen.Ein Wechsel von \(-\) nach \(+\) ergibt einen Tiefpunkt, von \(+\) nach \(-\) einen Hochpunkt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Vorzeichen von \(f'\): negativ auf \([-3;-2)\), positiv auf \((-2;1)\), negativ auf \((1;4)\), positiv auf \((4;5]\).

Daraus folgt: Tiefpunkt bei \(x=-2\) (Wechsel \(-\to+\)), Hochpunkt bei \(x=1\) (Wechsel \(+\to-\)), Tiefpunkt bei \(x=4\) (Wechsel \(-\to+\)).

Hinweis zu Aufgabe c)
Zählen Sie die Extrempunkte des abgebildeten Graphen von \(f'\) — jeder von ihnen erzeugt bei \(f\) genau eine Wendestelle. Die Skizze muss nicht maßstabsgetreu sein, aber Monotonie und Krümmung richtig wiedergeben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Skizze beginnt bei \((-3\mid 0)\) fallend, erreicht bei \(x=-2\) einen Tiefpunkt, steigt bis zum Hochpunkt bei \(x=1\), fällt bis zum Tiefpunkt bei \(x=4\) und steigt danach wieder an.

Wendestellen: Der abgebildete Graph von \(f'\) hat genau zwei Extrempunkte — einen Hochpunkt zwischen \(-2\) und \(1\) sowie einen Tiefpunkt zwischen \(1\) und \(4\). Nach der NEW-Regel wird aus jedem Extrempunkt von \(f'\) eine Wendestelle von \(f\). Also besitzt \(f\) genau zwei Wendestellen; dort wechselt der Graph von \(f\) zwischen Rechts- und Linkskrümmung.