Grafisches Differenzieren: Übungen – Mathe Klasse 11

ZurückZur ErklärungVom Graphen von f zum Graphen von f′ — mit Tangentenschieber

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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zum grafischen Differenzieren. Zuerst prüfst du den Zusammenhang zwischen Steigung und Vorzeichen, dann rechnest du Steigungsdreiecke aus, vergleichst Sekante und Tangente und überträgst Punkte selbst in das untere Koordinatensystem. Danach stellst du eine vollständige Vorzeichentabelle auf, korrigierst ein fehlerhaftes Protokoll und gehst den Weg rückwärts — vom Graphen von \(f'\) zurück zum Verlauf von \(f\). Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.

A1Was der Graph von f über f′ verrätAFB I

In jeder Zeile steht eine Beobachtung am Graphen von \(f\). Kreuze an, was daraus für den Wert von \(f'(x)\) an dieser Stelle folgt.

Klicke in jeder Zeile die Zelle an, die zutrifft. Ein zweiter Klick nimmt die Markierung zurück.

Beobachtung am Graphen von f	f′(x) > 0	f′(x) = 0	f′(x) < 0
Der Graph von f steigt.
Der Graph von f fällt.
Die Tangente verläuft waagerecht.
Der Graph von f hat einen Hochpunkt.
Die Tangente steigt von links unten nach rechts oben.
Der Graph von f hat einen Tiefpunkt.
Die Tangente fällt von links oben nach rechts unten.

Entscheidend ist immer nur die Steigung der Tangente. Steigt der Graph, ist sie positiv; fällt er, ist sie negativ. Hoch- und Tiefpunkte haben eine waagerechte Tangente, also die Steigung \(0\) — und genau dort hat \(f'\) eine Nullstelle.

A2Das Verfahren in WortenAFB I

Fülle die Lücken so, dass eine korrekte Beschreibung des grafischen Differenzierens entsteht.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Zuerst suchst du alle Stellen, an denen die Tangente an den Graphen von \(f\) verläuft. Dort hat \(f'\) jeweils eine . Steigt der Graph von \(f\), so verläuft der Graph von \(f'\) der x-Achse; fällt er, so verläuft \(f'\) der x-Achse. An einem von \(f\) hat der Graph von \(f'\) einen Hoch- oder Tiefpunkt. Allgemein wird die Steigung der Tangente an \(f\) zum von \(f'\).

Merksatz aus der Erklärung: Steigung wird zu Höhe. Was du oben als Steilheit siehst, trägst du unten als Funktionswert ein.

A3Die fünf Schritte ordnenAFB I

Bringe die Arbeitsschritte in die Reihenfolge, in der du beim grafischen Differenzieren vorgehst.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1Waagerechte Tangenten suchen — dort liegen die Nullstellen von f′.

2Vorzeichen festlegen: Wo f steigt, liegt f′ oberhalb der x-Achse, wo f fällt, unterhalb.

3Wendepunkte von f markieren — dort liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt von f′.

4An einigen weiteren Stellen die Tangentensteigung abschätzen und als Punkt eintragen.

5Die eingetragenen Punkte zu einer glatten Kurve verbinden.

Erst die sicheren Stellen (Steigung \(0\)), dann die Vorzeichen, dann die Extremstellen von \(f'\) — und ganz zum Schluss wird gezeichnet. Wer sofort zeichnet, verrutscht fast immer.

A4Vorzeichen von f′ am Graphen ablesenAFB II

Die Abbildung zeigt den Graphen von \(f\) mit sechs markierten Stellen. Sortiere jede Stelle danach ein, welches Vorzeichen \(f'\) dort hat.

Graph von f mit sechs markierten Stellen

Die gestrichelten Linien führen von der x-Achse zum jeweiligen Kurvenpunkt. Stelle dir an jedem Punkt die Tangente vor.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1f′ ist gleich 0

2f′ ist positiv

3f′ ist negativ

Bei \(x=0\) und \(x=2\) liegen Hoch- bzw. Tiefpunkt, dort ist die Tangente waagerecht. Dazwischen fällt der Graph, also ist \(f'\) dort negativ; links von \(0\) und rechts von \(2\) steigt er.

A5Aussage über f — Aussage über f′AFB II

Verbinde jede Eigenschaft des Graphen von \(f\) mit der passenden Eigenschaft des Graphen von \(f'\).

Klicke links einen Begriff an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Hoch- und Tiefpunkte von \(f\) werden zu Nullstellen von \(f'\), Wendepunkte von \(f\) zu Extrempunkten von \(f'\). Monotonie wird zum Vorzeichen.

A6Stimmt das?AFB II

Entscheide bei jeder Aussage, ob sie zutrifft. Eine falsche Einschätzung startet die Serie neu.

Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 6

Achte auf den Unterschied zwischen Funktionswert und Steigung. Fast alle Fehler entstehen, wenn beides verwechselt wird.

A7Rückwärts: vom Graphen von f′ zu fAFB II

Die Abbildung zeigt den Graphen von \(f'\). An welcher Stelle \(x\) hat der Graph von \(f\) seinen Tiefpunkt?

Graph von f′

Der Graph von \(f'\) ist eine Gerade. Achte darauf, wo sie die x-Achse schneidet und wie sie dort das Vorzeichen wechselt.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(f'\) hat bei \(x=2\) eine Nullstelle. Links davon ist \(f'\) negativ (f fällt), rechts davon positiv (f steigt) — aus Fallen wird Steigen, also ein Tiefpunkt.

A8Tangentensteigung als RechenketteAFB II

Lies die Angaben aus dem Steigungsdreieck ab und bestimme daraus einen Punkt des Graphen von \(f'\).

Graph von f mit Tangente in P(3 | 3)

Das gestrichelte Dreieck gehört zur eingezeichneten Tangente, nicht zur Kurve.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Wie groß ist \(\Delta y\) im eingezeichneten Steigungsdreieck?
Wie groß ist \(\Delta x\)?
Welchen Wert hat damit \(f'(3)\)?
An welcher Stelle \(x\) schneidet der Graph von \(f'\) die x-Achse?

\(m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{6}{4}=1{,}5\). Der Scheitel der Parabel liegt bei \(x=0\); dort ist die Tangente waagerecht, also \(f'(0)=0\).

A9Aus f′ auf f schließenAFB III

Der Graph von \(f'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(x=1\) und \(x=5\). Markiere alle Aussagen über \(f\), die daraus zwingend folgen.

Graph von f′

Nur der Graph von \(f'\) ist bekannt — über die Höhe des Graphen von \(f\) lässt sich daraus nichts sagen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von \(+\) nach \(-\): Hochpunkt. Bei \(x=5\) umgekehrt: Tiefpunkt. Bei \(x=3\) ist \(f'\) am kleinsten, dort fällt \(f\) am steilsten — das ist ein Wendepunkt von \(f\), kein Tiefpunkt. Über Nullstellen von \(f\) sagt \(f'\) gar nichts.

A10Welche Ableitung gehört zu welchem Graphen?AFB III

Die Abbildung zeigt drei Graphen von Funktionen. Ordne jede Beschreibung dem Graphen zu, dessen Ableitung so aussieht.

Drei Ausgangsfunktionen

Graph A ist eine Gerade, Graph B eine nach unten geöffnete Parabel, Graph C eine Kurve dritten Grades.

Ziehe jeden Begriff in den passenden Bereich — oder wähle ihn mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Bereichs.

1 Graph A

2 Graph B

3 Graph C

Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung — ihre Ableitung ist konstant. Eine Parabel hat eine lineare Ableitung, eine Funktion dritten Grades eine quadratische. Zähle zusätzlich die waagerechten Tangenten: Graph B hat eine, Graph C hat zwei.

A11Steigungsdreiecke auswertenAFB II

An fünf Stellen der Telematik-Fahrt wurde die Tangente angelegt und ein Steigungsdreieck abgelesen. Berechnen Sie daraus jeweils \(f'(x_0)=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) in \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\).

Trage alle fünf Werte ein und prüfe dann. Negative Steigungen mit Minuszeichen. Enter prüft ebenfalls.

Steigungsdreieck	\(f'(x_0)\) in \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)
\(x_0=1\): \(\Delta x=2\,\text{h}\), \(\Delta y=150\,\text{km}\)
\(x_0=2\): \(\Delta x=0{,}5\,\text{h}\), \(\Delta y=60\,\text{km}\)
\(x_0=3\): \(\Delta x=0{,}4\,\text{h}\), \(\Delta y=54\,\text{km}\)
\(x_0=7\): \(\Delta x=0{,}5\,\text{h}\), \(\Delta y=-52{,}5\,\text{km}\)
\(x_0=8\): \(\Delta x=0{,}25\,\text{h}\), \(\Delta y=-60\,\text{km}\)

Das Steigungsdreieck ist immer derselbe Bruch: senkrechte Kathete durch waagerechte Kathete. Wer bei \(\Delta x=0{,}25\) durch 4 teilt statt zu multiplizieren, landet bei \(-15\) statt \(-240\) — ein kleiner \(\Delta x\)-Wert macht die Steigung groß. Die beiden negativen Werte gehören zum fallenden Ast: Im Modell fährt der Wagen zurück.

A12Sekante gegen TangenteAFB II

Für dieselbe Fahrt sind die Streckenwerte bekannt: \(f(0)=50\), \(f(2)=190\), \(f(4)=450\), \(f(6)=590\) (in km). Berechnen Sie die mittleren Änderungsraten auf den angegebenen Intervallen in \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\).

Trage alle vier Werte ein — Enter prüft alles auf einmal.

auf \([0;2]\):auf \([2;4]\):auf \([4;6]\):auf \([0;6]\):

Die Sekantensteigungen 70 · 130 · 70 liegen jeweils zwischen den Tangentensteigungen an den Intervallrändern: Auf \([0;2]\) wächst \(f'\) von 0 auf 120, der Mittelwert 70 liegt dazwischen. Über die ganze Fahrt ergibt sich \(90\;\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\) — die Versicherung sähe also einen harmlosen Schnitt, obwohl bei \(x=3\) kurzzeitig \(135\;\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\) erreicht werden. Genau darum reicht die mittlere Änderungsrate zur Beurteilung nicht aus.

A13Vom Steigungsdreieck zum PunktAFB II

An vier Stellen eines Graphen wurden Steigungsdreiecke abgelesen. Berechnen Sie jeweils die Steigung und setzen Sie den zugehörigen Punkt \((x_0\,|\,f'(x_0))\) in das Koordinatensystem der Ableitungsfunktion.

Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

Die \(x\)-Koordinate wird unverändert übernommen, die \(y\)-Koordinate ist die Steigung von oben. Aus \(\Delta y=2\) bei \(\Delta x=0{,}5\) wird \(m=4\), nicht \(2\) — ein zu kleines Steigungsdreieck täuscht leicht eine zu kleine Steigung vor. Die vier Punkte deuten schon den Verlauf von \(G_{f'}\) an: von oben nach unten und wieder hinauf, mit Nullstellen zwischen \(-3\) und \(-1\) sowie zwischen \(1\) und \(3\).

A14Vorzeichentabelle aufstellenAFB II

Der Graph von \(f\) hat einen Hochpunkt bei \(x=-2\) und einen Tiefpunkt bei \(x=1\); weitere waagerechte Tangenten gibt es nicht. Vervollständigen Sie die Tabelle.

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag. Die drei Spalten sagen dasselbe in drei Sprachen — Verlauf, Vorzeichen, Lage.

Bereich	Verlauf von \(f\)	Vorzeichen von \(f'\)	Lage von \(G_{f'}\)
\(x<-2\)
\(x=-2\)
\(-2<x<1\)
\(x=1\)
\(x>1\)

Zwischen den beiden Nullstellen von \(f'\) liegt genau ein Vorzeichenbereich. Weil \(f\) links steigt und in der Mitte fällt, ist \(x=-2\) der Hochpunkt — das Vorzeichen wechselt von + nach −. Wer die Spalten einmal so nebeneinander schreibt, hat die Skizze von \(G_{f'}\) praktisch fertig: zwei Nullstellen, dazwischen unterhalb, außen oberhalb.

A15Finden und korrigierenAFB II

In diesem Auswertungsprotokoll zur Telematik-Fahrt stecken drei Fehler. Markieren Sie die falschen Zeilen und tragen Sie jeweils den richtigen Wert bzw. das richtige Wort ein.

Klicke die Zeilen an, die du für falsch hältst — dabei klappt ein Feld für die Korrektur auf. Geprüft wird beides: die Auswahl und die Korrekturen.

Der dritte Fehler ist der interessanteste: „am weitesten gefahren“ und „am schnellsten“ sind zwei verschiedene Fragen. Der größte Funktionswert liegt bei \(x=6\), die größte Steigung aber bei \(x=3\) — im Wendepunkt. Genau dort hat \(G_{f'}\) ihren Hochpunkt.

A16Wie viele Nullstellen hat \(G_{f'}\)?AFB II

Jede Zeile beschreibt den Graphen einer Funktion \(f\). Bestimmen Sie, wie viele Nullstellen der zugehörige Ableitungsgraph besitzt.

Wähle in jeder Zeile die Stufe — die Stufe ist die Anzahl der Nullstellen von \(f'\). Pfeiltasten wandern, Enter wählt.

1 Nullstelle5 Nullstellen

Genau ein Hochpunkt, sonst keine waagerechte Tangente.

Ein Hochpunkt und ein Tiefpunkt.

Ein Sattelpunkt, ein Hochpunkt und ein Tiefpunkt.

Zwei Hochpunkte und zwei Tiefpunkte.

Drei Hochpunkte und zwei Tiefpunkte.

Jede waagerechte Tangente von \(f\) — gleich ob Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt — wird zu genau einer Nullstelle von \(f'\). Der Sattelpunkt ist dabei der Sonderfall: Er zählt mit, obwohl \(f\) dort weder ein Maximum noch ein Minimum hat. Umgekehrt darf man aus einer Nullstelle von \(f'\) also nicht automatisch auf einen Extrempunkt schließen.

A17Rückwärts: von \(G_{f'}\) zu \(f\)AFB III

Gegeben ist diesmal nur der Ableitungsgraph: \(G_{f'}\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(x=-1\) und \(x=3\) und dem Tiefpunkt bei \(x=1\). Erschließen Sie daraus Schritt für Schritt den Verlauf von \(f\).

Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung. Eine falsche Wahl wird rot — dann probierst du es erneut.

Der Weg von \(f'\) zurück zu \(f\) benutzt dieselben drei Regeln, nur von rechts nach links gelesen. Beachte: Die Höhe von \(f\) lässt sich so nicht bestimmen — \(f\) könnte um jeden beliebigen Betrag nach oben oder unten verschoben sein. Der Ableitungsgraph verrät die Form, nicht die Lage.

A18ÜbersetzungspaareAFB II

Fünf Merkmale des Graphen von \(f\) und fünf Merkmale des Graphen von \(f'\). Finden Sie die Paare.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen — sonst drehen sie sich wieder um.

Versuche: 0

Das letzte Paar ist die Probe aufs Exempel: Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung, also ist ihre Ableitungsfunktion konstant. Ihr Graph ist eine waagerechte Gerade in der Höhe \(-2\) — nicht die Gerade \(y=-2x\).

A19Was passiert an der Stelle \(x_0\)?AFB III

Über eine Stelle \(x_0\) ist bekannt: Es gilt \(f'(x_0)=0\), und \(f'\) wechselt dort das Vorzeichen von minus nach plus. Beantworten Sie die Fragen des Entscheidungsbaums für genau diesen Fall.

Beantworte die Fragen nacheinander mit „Ja“ oder „Nein“. Am Ende steht das Ergebnis — stimmt es für den beschriebenen Fall?

Die Reihenfolge der Fragen ist kein Zufall: Erst die Nullstelle, dann der Vorzeichenwechsel, zuletzt die Richtung. Wer die mittlere Frage überspringt, hält jede Nullstelle von \(f'\) für einen Extrempunkt und übersieht den Sattelpunkt — der klassische Klausurfehler.

A20Von der Parabel zum AbleitungstermAFB III

Der Graph von \(f\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \(S(2\,|\,-1)\). An den Stellen \(x=0\) und \(x=4\) wurden die Tangentensteigungen \(-4\) bzw. \(4\) abgelesen. Vervollständigen Sie die Tabelle und geben Sie den Term von \(f'\) an.

Die ersten vier Felder sind Zahlen, das letzte ein Term (Schreibweise 2x-4). Enter prüft.

gesucht	Wert
\(f'(2)\)
\(f'(1)\)
\(f'(3)\)
Stelle mit \(f'(x)=6\)
Term \(f'(x)=\)

Im Scheitel ist die Tangente waagerecht, also \(f'(2)=0\). Zusammen mit \(f'(0)=-4\) und \(f'(4)=4\) liegen die Punkte \((0\,|\,-4)\), \((2\,|\,0)\) und \((4\,|\,4)\) auf einer Geraden mit der Steigung \(2\): \(f'(x)=2x-4\). Daraus folgt \(f'(x)=6\) für \(x=5\). Merke: Die Ableitung einer Parabel ist immer eine Gerade — der Grad sinkt um eins.

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