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3.2.2 · Textaufgaben

Textaufgaben: Grafisches Differenzieren

Sechs Sachaufgaben zum grafischen Differenzieren — mit Operatoren, Teilaufgaben, gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont.

1

Speichersee: der volle Monat

AFB I

Ein Speichersee wird das ganze Jahr über beobachtet. Material M1 zeigt den Füllstand \(W\) in Prozent in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Monaten. Ein Techniker möchte den Graphen von \(W'\) skizzieren.

M1Füllstand des Speichersees über ein Jahr
2 4 6 8 10 12 20 40 60 80 100 t in Monaten Füllstand in % waagerechte Tangente t = 6 Füllstand des Speichersees
Die grüne Gerade ist die Tangente im höchsten Punkt der Kurve.
  1. Geben Sie an, welche Eigenschaft der Graph von \(W\) an einer Nullstelle von \(W'\) hat.
  2. Bestimmen Sie die Stelle \(t\), an der der Graph von \(W'\) die \(t\)-Achse schneidet.
  3. Begründen Sie, auf welcher Seite dieser Stelle der Graph von \(W'\) oberhalb und auf welcher er unterhalb der \(t\)-Achse verläuft.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Graph von \(W'\) schneidet die \(t\)-Achse genau dort, wo \(W'(t)=0\) gilt.Die Tangentensteigung von \(W\) wird zum Funktionswert von \(W'\): Steigung \(0\) oben bedeutet Höhe \(0\) unten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Dort hat der Graph von \(W\) eine waagerechte Tangente, seine Steigung ist also null.

Hinweis zu Aufgabe b)
Suchen Sie in der Abbildung die Stelle, an der die Kurve weder steigt noch fällt — dort ist die grüne Tangente eingezeichnet.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Hochpunkt liegt bei \(t=6\) mit \(W(6)=90\;\%\). Dort ist die Tangente waagerecht, also \(W'(6)=0\). Der Graph von \(W'\) schneidet die \(t\)-Achse bei \(t=6\) (Monate).

Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfen Sie links und rechts davon getrennt, ob \(W\) steigt oder fällt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Links von \(t=6\) steigt \(W\), die Tangentensteigungen sind dort positiv — der Graph von \(W'\) verläuft oberhalb der Achse. Rechts von \(t=6\) fällt \(W\), die Steigungen sind negativ — dort liegt \(W'\) unterhalb der Achse.

2

Heißluftballon: der steilste Moment

AFB II

Ein Heißluftballon startet aus \(20\ \text{m}\) Höhe. Material M1 zeigt seine Flughöhe \(h\) in Metern nach \(t\) Minuten. Im Wendepunkt \(W(5 \mid 65)\) steigt er am schnellsten; dort ist die Tangente mit ihrem Steigungsdreieck eingezeichnet.

M1Flughöhe des Ballons mit Tangente im Wendepunkt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 40 60 80 100 120 t in min Höhe in m Δt = 4 min Δh = 46 m W(5 | 65) Flughöhe des Ballons
Das gestrichelte Dreieck gehört zur Tangente, nicht zur Kurve.
  1. Entnehmen Sie dem Steigungsdreieck in M1 die Werte \(\Delta t\) und \(\Delta h\).
  2. Berechnen Sie die Steiggeschwindigkeit \(h'(5)\) in \(\tfrac{\text{m}}{\text{min}}\).
  3. Erläutern Sie, warum der Wendepunkt von \(h\) zum Hochpunkt des Graphen von \(h'\) wird.
Hinweis zu Aufgabe a)
Das gestrichelte Dreieck gehört zur Tangente, nicht zur Kurve. Lesen Sie die Randwerte an beiden Achsen ab.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\Delta t = 4\ \text{min}\) (von \(t=3\) bis \(t=7\)) und \(\Delta h = 46\ \text{m}\) (von \(42\ \text{m}\) bis \(88\ \text{m}\)).

Hinweis zu Aufgabe b)
Die momentane Steiggeschwindigkeit ist die Steigung der Tangente: \(h'(5)=\dfrac{\Delta h}{\Delta t}\).Die Kurve selbst ist krumm — aber die Tangente ist eine Gerade, und für Geraden kennen Sie die Steigungsformel aus Kapitel 1.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(h'(5)=\dfrac{\Delta h}{\Delta t}\). Rechnung: \(h'(5)=\dfrac{46\ \text{m}}{4\ \text{min}}=11{,}5\). Ergebnis: \(11{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{min}}\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie die Steilheit der Kurve vor, in und nach dem Wendepunkt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Im Wendepunkt ist die Kurve von \(h\) am steilsten: Vorher nehmen die Tangentensteigungen zu, danach wieder ab. Da genau diese Steigungen die Funktionswerte von \(h'\) sind, erreicht \(h'\) dort seinen größten Wert — der Wendepunkt von \(h\) ist der Hochpunkt von \(h'\).

3

Autofahrt: Tacho aus dem Diagramm

AFB II

Material M1 zeigt als Weg-Zeit-Diagramm, wie viele Kilometer ein Auto nach \(t\) Stunden zurückgelegt hat. Nach drei Stunden sind es \(180\ \text{km}\); im Punkt \(P(3 \mid 180)\) ist die Tangente mit ihrem Steigungsdreieck eingezeichnet.

M1Weg-Zeit-Diagramm der Fahrt
1 2 3 4 5 100 200 300 400 t in h zurückgelegter Weg in km Δt = 2 h Δs = 180 km P(3 | 180) Weg-Zeit-Diagramm
Achtung: Der Graph zeigt den zurückgelegten Weg, nicht die Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit steckt in der Steigung.
  1. Entnehmen Sie dem Steigungsdreieck die Werte \(\Delta t\) und \(\Delta s\).
  2. Berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit \(s'(3)\) in \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\).
  3. Begründen Sie, was es für den Graphen von \(s'\) bedeutet, dass die Kurve von \(s\) nach rechts immer steiler wird.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Graph zeigt den zurückgelegten Weg, nicht die Geschwindigkeit. Das Dreieck reicht von \(t=2\) bis \(t=4\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\Delta t = 2\ \text{h}\) (von \(t=2\) bis \(t=4\)) und \(\Delta s = 180\ \text{km}\) (von \(90\ \text{km}\) bis \(270\ \text{km}\)).

Hinweis zu Aufgabe b)
\(s'(3)=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}\). Verwechseln Sie die Tangentensteigung nicht mit dem Funktionswert \(180\).Geschwindigkeit ist Weg pro Zeit — genau das misst die Steigung im Weg-Zeit-Diagramm.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(s'(3)=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}\). Rechnung: \(s'(3)=\dfrac{180\ \text{km}}{2\ \text{h}}=90\). Ergebnis: Der Tacho zeigt in diesem Moment \(90\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Überlegen Sie, was mit den Tangentensteigungen passiert, wenn die Kurve immer steiler wird.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Immer steiler heißt: Die Tangentensteigungen werden von links nach rechts größer. Diese Steigungen sind die Funktionswerte von \(s'\) — der Graph von \(s'\) steigt also. Das Auto wird schneller.

4

Bergwanderung: wie steil ist es gerade?

AFB II

Material M1 zeigt das Höhenprofil einer Wanderung: die Höhe \(h\) über NN in Metern nach \(x\) Kilometern Wegstrecke. Nach \(4\ \text{km}\) befindet sich die Gruppe auf \(620\ \text{m}\); dort ist die Tangente eingezeichnet. Der Gipfel liegt bei \(x=8\).

M1Höhenprofil mit Tangente bei x = 4 km
1 2 3 4 5 6 7 8 200 400 600 800 1000 Wegstrecke in km Höhe über NN in m Δx = 2 km Δh = 240 m P(4 | 620) Höhenprofil der Wanderung
Die Steigung wird hier in Metern pro Kilometer gemessen — \(100\ \tfrac{\text{m}}{\text{km}}\) entsprechen \(10\;\%\) Steigung.
  1. Entnehmen Sie dem Steigungsdreieck die Werte \(\Delta x\) und \(\Delta h\).
  2. Berechnen Sie \(h'(4)\) in \(\tfrac{\text{m}}{\text{km}}\) und geben Sie die Steigung zusätzlich in Prozent an.
  3. Begründen Sie, warum der Graph von \(h'\) bei \(x=8\) eine Nullstelle hat.
Hinweis zu Aufgabe a)
Das Dreieck reicht von \(x=3\) bis \(x=5\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\Delta x = 2\ \text{km}\) (von \(x=3\) bis \(x=5\)) und \(\Delta h = 240\ \text{m}\) (von \(500\ \text{m}\) bis \(740\ \text{m}\)).

Hinweis zu Aufgabe b)
\(h'(4)=\dfrac{\Delta h}{\Delta x}\).\(100\ \tfrac{\text{m}}{\text{km}}\) entsprechen \(10\;\%\) Steigung — 100 Höhenmeter auf 1000 Meter Wegstrecke.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(h'(4)=\dfrac{\Delta h}{\Delta x}\). Rechnung: \(h'(4)=\dfrac{240\ \text{m}}{2\ \text{km}}=120\). Ergebnis: \(120\ \tfrac{\text{m}}{\text{km}}\), das entspricht \(12\;\%\) Steigung. Der Wert ist positiv, weil der Weg dort bergauf führt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Überlegen Sie, wie der Weg am Gipfel verläuft und welche Steigung eine Tangente dort hat.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Am Gipfel bei \(x=8\) geht der Anstieg in den Abstieg über; der Graph von \(h\) hat dort einen Hochpunkt mit waagerechter Tangente, also \(h'(8)=0\). Der Graph von \(h'\) schneidet dort die \(x\)-Achse — am Gipfel wird der Weg flach.

5

Rückhaltebecken: wann ist am meisten Wasser drin?

AFB III

Nach einem Gewitter fließt Wasser in ein Rückhaltebecken hinein und gleichzeitig durch einen Auslauf wieder heraus. Material M1 zeigt nicht die Wassermenge \(V\), sondern deren Änderungsrate \(V'\) in Kubikmetern je Stunde.

M1Änderungsrate des Wasservolumens
1 2 3 4 5 6 7 −10 −5 5 10 V′ > 0: es fließt mehr zu als ab V′ < 0: es fließt mehr ab als zu t = 5 t in h Änderungsrate V′ in Kubikmeter je Stunde Graph von V′
Positive Werte bedeuten: Das Becken füllt sich. Negative Werte bedeuten: Es leert sich.
  1. Erläutern Sie, was positive und was negative Werte von \(V'\) für die Wassermenge im Becken bedeuten.
  2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt \(t\), zu dem sich am meisten Wasser im Becken befindet.
  3. Begründen Sie, warum der höchste Punkt des abgebildeten Graphen nicht die gesuchte Stelle ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hier gehen Sie den Weg rückwärts: vom Graphen von \(V'\) zurück zum Verlauf von \(V\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Solange \(V'\) oberhalb der \(t\)-Achse liegt, ist der Zufluss größer als der Abfluss: Die Wassermenge \(V\) wächst. Liegt \(V'\) unterhalb der Achse, überwiegt der Abfluss und \(V\) nimmt ab.

Hinweis zu Aufgabe b)
Suchen Sie die Nullstelle von \(V'\) mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus; sie ist in der Abbildung mit einem Kreuz markiert.Der größte Wert von \(V\) wird genau dann erreicht, wenn das Wachsen ins Abnehmen umschlägt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Bei \(t=5\) wechselt \(V'\) von positiven zu negativen Werten. Bis dahin füllt sich das Becken, danach leert es sich. Die Wassermenge ist also bei \(t=5\ \text{h}\) am größten — der Graph von \(V\) hat dort einen Hochpunkt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Fragen Sie sich, was der höchste Punkt von \(V'\) über \(V\) aussagt — Bestand oder Tempo?
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der höchste Punkt des abgebildeten Graphen liegt bei \(t=0\); dort ist \(V'\) am größten, das Becken füllt sich also am schnellsten. Ein großes Tempo bedeutet aber nicht viel Wasser — die Menge wächst danach ja weiter. Für \(V\) ist \(t=0\) lediglich der Wendepunkt.

6

Kaffee: die Abkühlrate mit Vorzeichen

AFB III

Ein Kaffee kühlt ab. Material M1 zeigt seine Temperatur \(T\) in \(^\circ\text{C}\) nach \(t\) Minuten; eingezeichnet sind eine Sekante und die Tangente im Punkt \(P(10 \mid 77)\).

M1Abkühlkurve mit Sekante und Tangente
5 10 15 20 25 60 70 80 90 100 t in min Temperatur in °C Δt = 10 min ΔT = −12 °C Sekante Tangente Abkühlkurve des Kaffees
Die Temperaturachse beginnt bei \(50\ ^\circ\text{C}\). Nur die grüne Gerade berührt die Kurve in genau einem Punkt.
  1. Begründen Sie, warum für die momentane Änderungsrate die Tangente und nicht die Sekante herangezogen wird.
  2. Entnehmen Sie dem Steigungsdreieck an der Tangente die Werte \(\Delta t\) und \(\Delta T\).
  3. Berechnen Sie \(T'(10)\) in \(\tfrac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) — mit dem richtigen Vorzeichen — und deuten Sie das Ergebnis.
Hinweis zu Aufgabe a)
Überlegen Sie, über welchen Zeitraum die Sekante mittelt und wonach in der Aufgabe gefragt ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Sekante mittelt über \(25\) Minuten hinweg und liefert damit die durchschnittliche Änderungsrate. Gefragt ist aber, wie schnell der Kaffee genau bei \(t=10\) abkühlt — und diese momentane Rate ist die Steigung der Tangente in \(P\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Das Dreieck an der Tangente reicht von \(t=5\) bis \(t=15\). Achtung: Die Temperaturachse beginnt bei \(50\ ^\circ\text{C}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\Delta t = 10\ \text{min}\) (von \(t=5\) bis \(t=15\)); die Temperatur fällt dabei von \(83\ ^\circ\text{C}\) auf \(71\ ^\circ\text{C}\), also \(\Delta T = -12\ ^\circ\text{C}\).

Hinweis zu Aufgabe c)
\(T'(10)=\dfrac{\Delta T}{\Delta t}\). Ohne Minuszeichen wäre die Aussage falsch — der Kaffee wird ja nicht wärmer.Nur die Tangente berührt die Kurve in genau einem Punkt; die Sekante schneidet sie in zweien.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: \(T'(10)=\dfrac{\Delta T}{\Delta t}=\dfrac{-12\ ^\circ\text{C}}{10\ \text{min}}=-1{,}2\), also \(-1{,}2\ \tfrac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). Deutung: Bei \(t=10\) kühlt der Kaffee um 1,2 Grad pro Minute ab; das Minuszeichen sagt, dass die Temperatur sinkt. Weil die Kurve nach rechts immer flacher wird, liegt der ganze Graph von \(T'\) unterhalb der \(t\)-Achse und steigt dabei auf die Achse zu.