Übungsaufgaben
Zwanzig Aufgaben in aufsteigender Schwierigkeit: Zuerst rechnest du einzelne Raten aus und achtest auf Vorzeichen und Einheit, in der Mitte arbeitest du am Graphen und in der Sekanten-Werkstatt, und zum Schluss kommen der allgemeine Differenzenquotient und Aufgaben, bei denen du rückwärts rechnen musst. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.
Der Graph von \(f\) verläuft durch \(P(1 \mid 4)\) und \(Q(5 \mid 16)\). Berechne die durchschnittliche Änderungsrate von \(f\) auf dem Intervall \([1\,;\,5]\).
Von fünf Funktionen sind jeweils nur die beiden Werte an den Intervallgrenzen bekannt. Entscheide in jeder Zeile, welches Vorzeichen die durchschnittliche Änderungsrate hat. Klicke pro Zeile genau eine Zelle an.
| Werte an den Intervallgrenzen | positiv | negativ | null |
|---|---|---|---|
| f(a) = 2 und f(b) = 9 | |||
| f(a) = 12 und f(b) = 5 | |||
| f(a) = 7 und f(b) = 7 | |||
| f(a) = −3 und f(b) = 1 | |||
| f(a) = 0 und f(b) = −6 |
Setze die vier Begriffe an die passenden Stellen im Merktext ein.
Eine durchschnittliche Änderungsrate gilt nie für einen einzelnen Punkt, sondern immer für ein . Berechnet wird sie mit dem , also als Quotient aus der Differenz der Funktionswerte und der Differenz der Stellen. Im Bild ist sie die Steigung der durch die beiden Randpunkte. Ihre ergibt sich aus der Einheit der Hochachse geteilt durch die Einheit der Rechtsachse.
Eine Kerze ist zu Beginn 24 cm lang. Nach 40 Minuten misst sie noch 18 cm. Die Zeit \(x\) steht in Minuten auf der Rechtsachse, die Länge \(f(x)\) in Zentimetern auf der Hochachse. Rechne die durchschnittliche Änderungsrate in drei Schritten aus.
- Wie groß ist \(f(40)-f(0)\)?cm
- Wie groß ist \(40-0\)?min
- Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate?cm/min
Ordne jedem Achsenpaar die Einheit der durchschnittlichen Änderungsrate zu.
Vier Intervalle desselben Graphen sind mit ihren Randwerten angegeben. Ordne sie nach der Steilheit: ganz oben der flachste, ganz unten der steilste Abschnitt.
Entscheide bei jeder Aussage über die durchschnittliche Änderungsrate.
Sechs Vorgänge, drei Körbe. Ordne jeden Vorgang danach ein, welches Vorzeichen seine durchschnittliche Änderungsrate über den genannten Zeitraum hat.
Von einer Funktion \(f\) ist bekannt: \(f(2)=5\) und \(f(8)=-7\). Markiere alle Aussagen, die daraus sicher folgen.
Von einer Funktion \(f\) ist \(f(3)=4\) bekannt. Auf dem Intervall \([3\,;\,11]\) beträgt die durchschnittliche Änderungsrate \(m=1{,}25\). Berechne \(f(11)\).
Ein Tank enthält zu Beginn \(V(0)=120\) Liter. Nach 8 Minuten sind noch \(V(8)=72\) Liter darin. Fülle die vier Felder aus — beim letzten Feld schreibst du die Einheit der Rate, zum Beispiel in der Form L/min.
\(\Delta V=\) \(\Delta t=\)
mittlere Änderungsrate \(=\) Einheit:
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}\). Berechne für jedes Intervall die durchschnittliche Änderungsrate \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
| Intervall \([a\,;\,b]\) | durchschnittliche Änderungsrate |
|---|---|
| \([0\,;\,2]\) | |
| \([1\,;\,3]\) | |
| \([2\,;\,4]\) | |
| \([−1\,;\,1]\) | |
| \([−3\,;\,−1]\) |
Gezeichnet ist der Graph von \(f(x)=0{,}25\,x^{2}\). Verschiebe die Intervallgrenzen \(a\) und \(b\) so, dass die durchschnittliche Änderungsrate auf \([a\,;\,b]\) genau \(-0{,}5\) beträgt. Auch hier gibt es mehrere Lösungen — überlege dir vorher, welche Bedingung \(a\) und \(b\) erfüllen müssen.
Für \(f(x)=x^{3}-4x\) soll die durchschnittliche Änderungsrate auf dem Intervall \([1\,;\,3]\) bestimmt werden. Rechne zuerst beide Funktionswerte aus.
Ein Ballon hat nach 2 Stunden ein Volumen von \(V(2)=17\;\text{m}^{3}\), nach 9 Stunden nur noch \(V(9)=13\;\text{m}^{3}\). Gib die durchschnittliche Änderungsrate als vollständig gekürzten Bruch an (Einheit \(\tfrac{\text{m}^{3}}{\text{h}}\), die brauchst du nicht einzutippen).
Eine Tasse Tee hat nach 3 Minuten \(T=64\;^\circ\text{C}\), nach 11 Minuten \(T=40\;^\circ\text{C}\). Drei der fünf Zeilen sind falsch.
Der Graph gehört zu \(f(x)=x^{2}-2x-3\). Setze nacheinander die vier gesuchten Punkte — die ersten beiden spannen die Sekante über \([-1\,;\,3]\) auf.
Für \(f(x)=x^{2}\) soll die durchschnittliche Änderungsrate auf dem Intervall \([2\,;\,x]\) berechnet werden: \(\dfrac{x^{2}-4}{x-2}\). Kürze so weit wie möglich und gib den vereinfachten Term ein.
2x^2 - 5x + 1, Malzeichen * oder weglassen, Brüche mit /, Potenzen mit ^. Enter prüft.Eine Messreihe liefert die folgenden Werte:
| x | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 7 | 2 | −1 | 0 | 3 | 5 | 6 | 2 | −4 |
Markiere auf der Zahlengeraden das (einzige) Intervall \([a\,;\,b]\) mit \(a<b\), auf dem die durchschnittliche Änderungsrate genau 0 ist. Beide Klammern sollen geschlossen sein.
Ein Zug hat nach \(0{,}5\) Stunden \(45\) km zurückgelegt, nach \(2\) Stunden insgesamt \(150\) km. Berechne die drei mittleren Geschwindigkeiten in \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\).