Wetterdienst: die kalte Morgenstunde
AFB IEin Wetterdienst hat den Temperaturverlauf eines Frühlingstages aufgezeichnet (Material M1). Um 0 Uhr zeigt die Kurve \(7{,}5\ ^\circ\text{C}\), um 5 Uhr nur noch \(6{,}2\ ^\circ\text{C}\).
- Nennen Sie die beiden Randpunkte des Intervalls \([0;5]\).
- Berechnen Sie die durchschnittliche Änderungsrate der Temperatur im Intervall \([0;5]\) in \(\tfrac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\).
- Erläutern Sie, warum der Temperaturverlauf zwischen 0 Uhr und 5 Uhr für dieses Ergebnis keine Rolle spielt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P(0 \mid 7{,}5)\) und \(Q(5 \mid 6{,}2)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(m=\dfrac{f(5)-f(0)}{5-0}\). Rechnung: \(m=\dfrac{6{,}2\ ^\circ\text{C}-7{,}5\ ^\circ\text{C}}{5\ \text{h}}=\dfrac{-1{,}3\ ^\circ\text{C}}{5\ \text{h}}=-0{,}26\). Ergebnis: \(-0{,}26\ \tfrac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\) — in diesen fünf Stunden kühlt es im Mittel um gut ein Viertelgrad pro Stunde ab.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die durchschnittliche Änderungsrate vergleicht ausschließlich die beiden Randwerte \(f(0)\) und \(f(5)\). Alles, was dazwischen passiert, geht nicht in die Rechnung ein — zwei ganz unterschiedliche Verläufe mit denselben Randwerten hätten dieselbe mittlere Rate.
Heißluftballon über dem Weserbergland
AFB IIDie Höhe eines Heißluftballons wird durch \(f(x)=-0{,}1x^{3}+1{,}5x^{2}+4x+20\) beschrieben. Dabei ist \(x\) die Zeit in Minuten und \(f(x)\) die Höhe in Metern. Der Ballon steigt in den ersten Minuten und sinkt später wieder; Material M1 zeigt den Verlauf.
- Berechnen Sie die Höhen \(f(0)\) und \(f(10)\).
- Berechnen Sie die durchschnittliche Änderungsrate der Höhe im Intervall \([0;10]\) in \(\tfrac{\text{m}}{\text{min}}\).
- Erläutern Sie, was dieser Wert über den Höhenverlauf innerhalb der zehn Minuten aussagt — und was nicht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f(0)=20\) und \(f(10)=-0{,}1\cdot 1000+1{,}5\cdot 100+40+20=-100+150+60=110\), jeweils in Metern.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(m=\dfrac{f(10)-f(0)}{10-0}=\dfrac{110\ \text{m}-20\ \text{m}}{10\ \text{min}}\). Ergebnis: \(m=\dfrac{90}{10}=9\), also \(9\ \tfrac{\text{m}}{\text{min}}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Wert sagt: Über die zehn Minuten hinweg gewinnt der Ballon im Mittel 9 Meter Höhe pro Minute. Er sagt nicht, dass er in jedem Augenblick so schnell steigt — in manchen Momenten steigt er schneller, in anderen langsamer. Die Sekante glättet den ganzen Verlauf zu einem einzigen Mittelwert.
Space Shuttle: die letzte Minute des Aufstiegs
AFB IIMaterial M1 enthält Messdaten eines startenden Space Shuttles der NASA. Für die Umrechnung gilt \(1\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}=3{,}6\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\).
| Zeit in s | 0 | 5 | 10 | 20 | 40 | 60 | 120 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Höhe in m | 0 | 92,5 | 370 | 1 480 | 5 920 | 13 320 | 53 280 |
- Entnehmen Sie der Tabelle die Flughöhen \(f(60)\) und \(f(120)\).
- Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitabschnitt \([60;120]\) in \(\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\).
- Rechnen Sie das Ergebnis in \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\) um.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f(60)=13\,320\ \text{m}\) und \(f(120)=53\,280\ \text{m}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(m=\dfrac{53\,280\ \text{m}-13\,320\ \text{m}}{120\ \text{s}-60\ \text{s}}=\dfrac{39\,960\ \text{m}}{60\ \text{s}}\). Ergebnis: \(m=666\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(666\cdot 3{,}6=2397{,}6\). Das Shuttle steigt in dieser Minute im Mittel mit \(2397{,}6\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\) — rund doppelte Schallgeschwindigkeit.
Triathlon: das Höhenprofil der Radstrecke
AFB IIDie Radstrecke eines Triathlons ist 19 km lang und führt von der Wechselzone auf 400 m Höhe wieder dorthin zurück. Der höchste Punkt der Runde liegt bei Kilometer 10 auf 590 m (Material M1).
- Nennen Sie die Randpunkte des Intervalls \([0;10]\) und geben Sie die Einheit der gesuchten Rate an.
- Berechnen Sie die durchschnittliche Änderungsrate der Höhe im Intervall \([0;10]\) in \(\tfrac{\text{m}}{\text{km}}\).
- Begründen Sie, warum die Rate über die gesamte Runde \([0;19]\) null ist, obwohl die Fahrerin 190 Höhenmeter überwunden hat.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P(0 \mid 400)\) und \(Q(10 \mid 590)\); die Rate hat die Einheit \(\tfrac{\text{m}}{\text{km}}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(m=\dfrac{590-400}{10-0}\). Rechnung: \(m=\dfrac{190\ \text{m}}{10\ \text{km}}=19\). Ergebnis: \(19\ \tfrac{\text{m}}{\text{km}}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Start und Ziel liegen beide auf 400 m. Damit ist der Zähler \(f(19)-f(0)=400-400=0\) und folglich \(m=\dfrac{0}{19}=0\). Die mittlere Rate misst nur den Unterschied zwischen Anfang und Ende, nicht die Anstrengung dazwischen — genau das ist ihre Grenze.
Space Shuttle: der Mittelwert-Trugschluss
AFB IIIWir bleiben beim Shuttle aus Aufgabe 3. Jemand berechnet für die sechs Abschnitte \([0;5]\), \([5;10]\), \([10;20]\), \([20;40]\), \([40;60]\) und \([60;120]\) die Durchschnittsgeschwindigkeiten \(66{,}6\); \(199{,}8\); \(399{,}6\); \(799{,}2\); \(1332\) und \(2397{,}6\) (jeweils in \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)) und mittelt sie zu \(865{,}8\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\). Er behauptet, das sei die Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamten zwei Minuten.
- Berechnen Sie die tatsächliche Durchschnittsgeschwindigkeit über den gesamten Zeitraum \([0;120]\) in \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\).
- Entscheiden Sie, ob die Behauptung stimmt.
- Begründen Sie, warum das schlichte Mitteln der sechs Einzelraten hier zu einem falschen Wert führt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: \(m=\dfrac{53\,280\ \text{m}-0\ \text{m}}{120\ \text{s}-0\ \text{s}}=444\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\). Umrechnung: \(444\cdot 3{,}6=1598{,}4\), also \(1598{,}4\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Behauptung ist falsch: Der tatsächliche Wert ist mit \(1598{,}4\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\) fast doppelt so groß wie die behaupteten \(865{,}8\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die sechs Abschnitte sind unterschiedlich lang: Die letzte Rate gilt für 60 Sekunden, die erste nur für 5. Ein schlichter Mittelwert gewichtet aber alle sechs gleich und zieht das Ergebnis dadurch viel zu weit nach unten. Nur bei gleich langen Teilintervallen dürfte man die Raten direkt mitteln.
Luftdruck: wo fällt er am stärksten?
AFB IIIMaterial M1 zeigt, wie der Luftdruck mit zunehmender Höhe abnimmt. Betrachtet werden die beiden gleich breiten Intervalle \([0;1000]\) und \([2000;3000]\).
| Höhe in m | 0 | 500 | 1000 | 2000 | 3000 | 5000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Druck in hPa | 1013 | 955 | 899 | 795 | 701 | 540 |
- Berechnen Sie die durchschnittlichen Änderungsraten in beiden Intervallen in \(\tfrac{\text{hPa}}{\text{m}}\).
- Vergleichen Sie beide Raten und geben Sie an, in welchem Intervall der Druck stärker fällt.
- Rechnen Sie die Rate mit dem stärkeren Druckabfall in Hektopascal je 100 Höhenmeter um und begründen Sie den Unterschied zwischen beiden Intervallen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(m_1=\dfrac{899\ \text{hPa}-1013\ \text{hPa}}{1000\ \text{m}}=\dfrac{-114}{1000}=-0{,}114\ \tfrac{\text{hPa}}{\text{m}}\) und \(m_2=\dfrac{701\ \text{hPa}-795\ \text{hPa}}{1000\ \text{m}}=\dfrac{-94}{1000}=-0{,}094\ \tfrac{\text{hPa}}{\text{m}}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Wegen \(|-0{,}114|>|-0{,}094|\) fällt der Druck im unteren Intervall \([0;1000]\) stärker.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(-0{,}114\ \tfrac{\text{hPa}}{\text{m}}\cdot 100\ \text{m}=-11{,}4\), also \(-11{,}4\) Hektopascal je 100 Höhenmeter. Begründung: Der Luftdruck entsteht durch das Gewicht der darüberliegenden Luft. In größerer Höhe ist die Luft dünner, deshalb wiegt jede weitere Luftschicht weniger — der Druck nimmt dort langsamer ab.