Übungsaufgaben
Zwanzig Aufgaben rund um das Beispiel \(f(x)=x^{2}\) an der Stelle \(0{,}5\). Der Schwerpunkt liegt auf dem Rechnen: Sekantensteigungen ausrechnen, Terme kürzen, Grenzwerte bestimmen — und am Ende dieselbe Methode auf neue Funktionen übertragen.
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}\) mit \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\) und \(Q(0{,}51 \mid 0{,}2601)\).
Berechnen Sie die Steigung der Sekante durch \(P\) und \(Q\).
\(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\) bleibt fest, \(Q\) rückt näher. Berechnen Sie jeweils den Funktionswert \(f(x)=x^{2}\) und die Sekantensteigung \(m=\dfrac{f(x)-0{,}25}{x-0{,}5}\).
| \(x\)-Wert von \(Q\) | \(f(x)\) | Sekantensteigung \(m\) |
|---|---|---|
| 0,6 | ||
| 0,55 | ||
| 0,52 | ||
| 0,51 |
Jetzt liegt \(Q\) links von \(P\): \(Q(0{,}49 \mid 0{,}2401)\).
Berechnen Sie die Steigung dieser Sekante.
\(f(x)=x^{2}\), Stelle \(x_0=0{,}5\). Rechnen Sie den Differenzenquotienten \(\dfrac{f(0{,}5+h)-f(0{,}5)}{h}\) für immer kleinere \(h\) aus.
- \(h=0{,}1\): Wie groß ist \(f(0{,}6)\)?
- Wie groß ist der Zähler \(f(0{,}6)-f(0{,}5)\)?
- Und die Sekantensteigung \(0{,}11:0{,}1\)?
- \(h=0{,}01\): Wie groß ist jetzt der Zähler \(f(0{,}51)-f(0{,}5)\)?
- Und die zugehörige Sekantensteigung?
- Welchen Wert nähern sich die Steigungen für \(h\to 0\)?
Für \(f(x)=x^{2}\) und \(x_0=0{,}5\) ist die Sekantensteigung \(m(x)=\dfrac{x^{2}-0{,}25}{x-0{,}5}\) mit \(x\neq 0{,}5\).
Vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich.
* oder weglassen, Potenzen mit ^. Enter prüft.Markieren Sie alle Aussagen, die für dieses Beispiel zutreffen.
Ein Schüler bestimmt \(f\,\'(0{,}5)\) für \(f(x)=x^{2}\). Markieren Sie genau die fehlerhaften Zeilen.
\(f(x)=x^{2}\), \(x_0=0{,}5\). Berechnen Sie die Sekantensteigung für \(h=0{,}001\) (rechts von \(P\)) und für \(h=-0{,}001\) (links von \(P\)).
Ordnen Sie die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.
\(f(x)=x^{2}\), jetzt an der Stelle \(x_0=2\). Bestimmen Sie \(f\,\'(2)\), indem Sie den Differenzenquotienten aufstellen, kürzen und \(h\to 0\) gehen lassen.
Für \(f(x)=x^{2}\) an der Stelle \(0{,}5\) gilt \(m(h)=1+h\). Verbinden Sie jede Schrittweite mit ihrer Sekantensteigung.
Entscheiden Sie, ob die Aussage zutrifft.
\(f(x)=x^{2}\). Berechnen Sie die Steigung der Sekante durch \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\) und \(Q\left(\tfrac{3}{4} \mid \tfrac{9}{16}\right)\) und geben Sie sie als vollständig gekürzten Bruch an.
Für \(f(x)=x^{2}\) an der Stelle \(0{,}5\) gilt \(m(h)=1+h\). Bestimmen Sie die Sekantensteigung für \(h=0{,}35\) und stellen Sie den Regler genau darauf ein.
\(f(x)=x^{2}\), \(P(0{,}5 \mid 0{,}25)\). Sortieren Sie jede Zahl danach ein, was sie in diesem Beispiel bedeutet.
\(f(x)=x^{2}\), \(x_0=0{,}5\), \(h\neq 0\).
Vereinfachen Sie \(\dfrac{(0{,}5+h)^{2}-0{,}25}{h}\) zu einem Term in \(h\).
h und höchstens ein Rechenzeichen. Enter prüft.\(f(x)=x^{2}\), \(x_0=0{,}5\), \(m(h)=1+h\). Kreuzen Sie alle zutreffenden Aussagen an.
| Schrittweite | \(Q\) liegt rechts von \(P\) | \(m>1\) | \(m<1\) |
|---|---|---|---|
| \(h=0{,}2\) | |||
| \(h=0{,}05\) | |||
| \(h=-0{,}1\) | |||
| \(h=-0{,}45\) |
Fünf Fachbegriffe fehlen. Setzen Sie die passenden Wörter ein — zwei bleiben übrig.
Eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen heißt . Ihre Steigung berechnet man mit dem \(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\). Lässt man \(h\) gegen null gehen, bildet man den . Die Gerade, die den Graphen dabei nur noch berührt, heißt . Ihre Steigung nennt man die an der Stelle \(x_0\) und schreibt sie \(f\,\'(x_0)\).
\(g(x)=3x^{2}\), Stelle \(x_0=0{,}5\). Bestimmen Sie \(g\,\'(0{,}5)\) mit demselben Verfahren: Differenzenquotient aufstellen, kürzen, \(h\to 0\).
\(f(x)=x^{2}\), Stelle \(x_0=1{,}5\). Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.