Freier Fall im Fallturm
AFB IIm Fallturm einer Universität fällt eine Kapsel aus der Ruhe. Für den zurückgelegten Fallweg gilt näherungsweise \(s(t)=5t^{2}\); dabei ist \(t\) die Fallzeit in Sekunden und \(s(t)\) der Weg in Metern.
- Berechnen Sie die mittlere Fallgeschwindigkeit im Intervall \([1;3]\) in \(\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\).
- Bestimmen Sie die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=2\), indem Sie den Differenzenquotienten mit dem Abstand \(h\) aufstellen, vereinfachen und \(h\to 0\) betrachten.
- Erläutern Sie, warum beide Ergebnisse übereinstimmen, obwohl sie ganz Verschiedenes messen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(s(1)=5\) und \(s(3)=45\). Ansatz: \(m=\dfrac{45\ \text{m}-5\ \text{m}}{3\ \text{s}-1\ \text{s}}=\dfrac{40}{2}=20\). Ergebnis: \(20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(s(2)=20\) und \(s(2+h)=5\big(4+4h+h^{2}\big)=20+20h+5h^{2}\).
Differenzenquotient: \(\dfrac{s(2+h)-s(2)}{h}=\dfrac{20h+5h^{2}}{h}=20+5h\). Für \(h\to 0\) folgt \(s'(2)=20\), also \(20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Stelle \(t=2\) ist genau die Mitte des Intervalls \([1;3]\). Bei einer quadratischen Funktion ist die Änderungsrate \(s'(t)=10t\) linear; eine lineare Funktion nimmt ihren Mittelwert stets in der Intervallmitte an. Deshalb stimmt hier der Mittelwert über \([1;3]\) zufällig mit dem Momentanwert bei \(t=2\) überein. Bei einer anderen Stelle — etwa \(t=1\) mit \(s'(1)=10\) — wäre das nicht so.
Quadratische Solarfläche
AFB IIEine quadratische Solarfläche mit der Seitenlänge \(a\) (in Metern) hat den Flächeninhalt \(A(a)=a^{2}\) (in Quadratmetern). Die Fläche soll schrittweise vergrößert werden.
- Bestimmen Sie den Differenzenquotienten von \(A\) über dem Intervall \([a;a+h]\) und vereinfachen Sie ihn so weit wie möglich.
- Geben Sie \(A'(0{,}5)\) an und deuten Sie den Wert im Sachzusammenhang.
- Begründen Sie anschaulich am Quadrat, warum \(A'(a)=2a\) gilt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\dfrac{A(a+h)-A(a)}{h}=\dfrac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}=\dfrac{a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}=\dfrac{2ah+h^{2}}{h}=2a+h\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Für \(a=0{,}5\) ist der Differenzenquotient \(1+h\); für \(h\to 0\) folgt \(A'(0{,}5)=1\), also \(1\ \tfrac{\text{m}^{2}}{\text{m}}\). Deutung: Ist die Fläche gerade 0,5 m breit, so wächst ihr Flächeninhalt je zusätzlichem Meter Seitenlänge im Moment um rund einen Quadratmeter.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Vergrößert man die Seitenlänge um \(h\), so kommen zwei Streifen der Größe \(a\cdot h\) hinzu (an der rechten und an der oberen Seite) sowie das kleine Eckquadrat \(h\cdot h\). Insgesamt also \(2ah+h^{2}\). Teilt man durch \(h\), bleibt \(2a+h\); für sehr kleine \(h\) fällt das Eckquadrat nicht mehr ins Gewicht, und es bleibt genau der Beitrag der beiden Streifen: \(2a\).
Annäherung an die Stelle 0,5
AFB IIFür die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^{2}\) soll die Ableitung an der Stelle \(0{,}5\) ohne Rechnerbefehl bestimmt werden. Material M1 enthält dazu Sekantensteigungen für immer kleinere Abstände \(h\).
| \(h\) | 0,5 | 0,1 | 0,01 | 0,001 |
|---|---|---|---|---|
| linksseitig: \(\dfrac{f(0{,}5)-f(0{,}5-h)}{h}\) | 0,5 | 0,9 | 0,99 | 0,999 |
| rechtsseitig: \(\dfrac{f(0{,}5+h)-f(0{,}5)}{h}\) | 1,5 | 1,1 | 1,01 | 1,001 |
- Beschreiben Sie, wie sich die links- und die rechtsseitigen Werte in M1 mit kleiner werdendem \(h\) verhalten.
- Geben Sie den Grenzwert an, gegen den beide Zeilen streben.
- Zeigen Sie mit dem allgemeinen Differenzenquotienten, dass dieser Grenzwert exakt \(1\) beträgt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die linksseitigen Werte wachsen von \(0{,}5\) auf \(0{,}999\), die rechtsseitigen fallen von \(1{,}5\) auf \(1{,}001\). Beide Zeilen nähern sich also von unten bzw. von oben demselben Wert an; ihr Abstand schrumpft von \(1\) auf \(0{,}002\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Grenzwert ist \(1\), also \(f'(0{,}5)=1\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\dfrac{f(0{,}5+h)-f(0{,}5)}{h}=\dfrac{(0{,}5+h)^{2}-0{,}25}{h}=\dfrac{0{,}25+h+h^{2}-0{,}25}{h}=\dfrac{h+h^{2}}{h}=1+h\).
Für \(h\to 0\) folgt \(f'(0{,}5)=1\). Die rechtsseitigen Werte sind genau \(1+h\), die linksseitigen genau \(1-h\) — beide Zeilen der Tabelle bestätigen die Rechnung.
Zulauf eines Regenrückhaltebeckens
AFB IIIDas Wasservolumen in einem Rückhaltebecken wird durch \(V(t)=t^{2}+4t\) beschrieben; \(t\) ist die Zeit in Minuten und \(V(t)\) das Volumen in Litern.
- Bestimmen Sie mit dem Differenzenquotienten und \(h\to 0\) die momentane Zuflussrate zum Zeitpunkt \(t=0{,}5\).
- Zeigen Sie mit derselben Methode, dass allgemein \(V'(t)=2t+4\) gilt.
- Entscheiden Sie, zu welchem Zeitpunkt die Zuflussrate \(10\ \tfrac{\ell}{\text{min}}\) beträgt, und beurteilen Sie, ob das Becken jemals mit konstanter Rate gefüllt wird.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(V(0{,}5+h)=(0{,}5+h)^{2}+4(0{,}5+h)=0{,}25+h+h^{2}+2+4h=2{,}25+5h+h^{2}\).
Differenzenquotient: \(\dfrac{V(0{,}5+h)-V(0{,}5)}{h}=\dfrac{5h+h^{2}}{h}=5+h\). Für \(h\to 0\) folgt \(V'(0{,}5)=5\), also \(5\ \tfrac{\ell}{\text{min}}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(V(t+h)-V(t)=\big(t^{2}+2th+h^{2}+4t+4h\big)-\big(t^{2}+4t\big)=2th+h^{2}+4h\).
Also \(\dfrac{V(t+h)-V(t)}{h}=2t+h+4\) und für \(h\to 0\) schließlich \(V'(t)=2t+4\). Die Probe mit \(t=0{,}5\) liefert \(1+4=5\) — das bestätigt a).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(2t+4=10 \Rightarrow 2t=6 \Rightarrow t=3\). Nach 3 Minuten beträgt die Zuflussrate \(10\ \tfrac{\ell}{\text{min}}\).
Beurteilung: Eine konstante Rate läge nur vor, wenn \(V'\) eine konstante Funktion wäre. Hier ist \(V'(t)=2t+4\) jedoch streng monoton wachsend — der Zufluss nimmt in jedem Augenblick zu. Das Becken wird also zu keinem Zeitpunkt mit konstanter Rate gefüllt; lediglich zu Beginn (\(t=0\)) liegt sie bei \(4\ \tfrac{\ell}{\text{min}}\) und wächst danach ständig weiter.
Warum man h nicht einfach null setzen darf
AFB IIIEin Schüler will \(f'(0{,}5)\) für \(f(x)=x^{2}\) bestimmen und setzt im Differenzenquotienten sofort \(h=0\) ein. Er erhält \(\dfrac{f(0{,}5)-f(0{,}5)}{0}=\dfrac{0}{0}\) und schließt daraus, die Ableitung sei null. Material M1 zeigt die Ausgangslage.
- Erläutern Sie, warum der Ausdruck \(\dfrac{0}{0}\) keine Auskunft über die Ableitung gibt.
- Zeigen Sie den korrekten Weg: Vereinfachen Sie den Differenzenquotienten zuerst und führen Sie erst danach den Grenzübergang durch.
- Beurteilen Sie die Aussage: „Für sehr kleine \(h\) ist die Sekante dasselbe wie die Tangente.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Differenzenquotient vergleicht zwei verschiedene Punkte des Graphen. Setzt man \(h=0\), fallen beide Punkte zusammen: Es gibt keine Sekante mehr, und der Ausdruck \(\tfrac{0}{0}\) ist nicht definiert — er ist also kein Ergebnis, sondern ein Zeichen dafür, dass so nicht gerechnet werden darf. Man betrachtet stattdessen, wogegen der Quotient strebt, wenn \(h\) immer kleiner wird.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\dfrac{f(0{,}5+h)-f(0{,}5)}{h}=\dfrac{(0{,}5+h)^{2}-0{,}25}{h}=\dfrac{h+h^{2}}{h}=1+h\) für alle \(h\neq 0\).
Dieser vereinfachte Term ist auch bei \(h=0\) sinnvoll auswertbar. Der Grenzübergang liefert \(f'(0{,}5)=\lim\limits_{h\to 0}(1+h)=1\) — und nicht 0.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist ungenau und in dieser Form falsch. Für jedes \(h\neq 0\) ist die Sekante eine andere Gerade als die Tangente: Sie schneidet die Parabel in zwei Punkten und hat die Steigung \(1+h\), die Tangente berührt sie in einem Punkt und hat die Steigung \(1\). Richtig ist: Die Sekantensteigungen nähern sich der Tangentensteigung beliebig genau an, wenn \(h\) gegen null geht. Die Tangente ist die Grenzlage der Sekanten — erreicht wird sie von keiner einzelnen Sekante.