Übungsaufgaben
Zwanzig Aufgaben zur Ableitung an einer Stelle. Die ersten prüfen Begriffe, Vorzeichen und Schreibweisen. In der Mitte näherst du selbst an, kürzt Differenzenquotienten, rechnest mit dem GTR und trennst Funktionswert, mittlere Änderungsrate und Ableitung sauber voneinander. Zum Schluss arbeitest du mit der \(h\)-Schreibweise, bestimmst einen Parameter zurück und gehst eine vollständige Annäherung Schritt für Schritt durch. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.
Setze die vier Begriffe an die richtigen Stellen im Text ein.
Die Steigung der an den Graphen von f im Punkt P(x₀ | f(x₀)) heißt von f an der Stelle x₀. Ihr Wert f′(x₀) ist stets eine einzelne und keine Funktion. Auf dem Taschenrechner liefert der Befehl diesen Wert in Sekundenbruchteilen.
Entscheide für jeden Ableitungswert, wie der Graph an dieser Stelle verläuft. Klicke in jeder Zeile genau eine Zelle an.
| Ableitungswert | Graph steigt | Graph fällt | waagerechte Tangente |
|---|---|---|---|
| f′(2) = 3,4 | |||
| f′(0) = −1,2 | |||
| f′(5) = 0 | |||
| f′(−3) = −0,05 | |||
| f′(1) = 12 |
Verbinde jeden Ausdruck mit seiner Bedeutung.
Gesucht ist f′(4) für \(f(x)=x^{2}\). Arbeite die Kette von oben nach unten ab. Achtung: Dezimalzahlen bitte mit Punkt eingeben, also 8.01 statt 8,01.
- f(4)
- f(4,01)
- Quotient: (f(4,01) − f(4)) : 0,01
- gesuchter Wert f′(4)
Die Flughöhe einer Vermessungsdrohne in Metern wird durch \(f(x)=-0{,}1x^{3}+1{,}5x^{2}+4x+20\) beschrieben; x ist die Zeit in Minuten. Bestimme mit dem GTR, wie schnell die Drohne nach 5 Minuten steigt.
Ordne jede Situation der Einheit zu, die ihre Ableitung besitzt.
Bringe die fünf Angaben in die richtige Reihenfolge — von der am stärksten fallenden bis zur am stärksten steigenden Stelle.
Fünf Aussagen, eine nach der anderen. Eine falsche Einschätzung beendet die Serie — dann startest du neu.
Gegeben ist \(f(x)=0{,}5x^{3}-4{,}5x^{2}+12x\). Untersuche sie mit dem GTR und markiere alle zutreffenden Aussagen.
Für \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+40\) gibt es genau zwei Stellen, an denen die Tangente waagerecht verläuft. Bestimme davon die größere.
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}-4x\); gesucht ist \(f'(3)\). Der Festwert lautet \(f(3)=-3\). Berechnen Sie für jede Nachbarstelle den Differenzenquotienten \(\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}\) und tragen Sie ihn ein. Runden Sie nicht — die Werte gehen exakt auf. In der letzten Zeile steht der Grenzwert.
| Stelle \(x\) | Differenzenquotient |
|---|---|
| \(x=3{,}1\) | |
| \(x=3{,}01\) | |
| \(x=3{,}001\) | |
| \(x=2{,}99\) | |
| Grenzwert \(f'(3)\) |
Für dieselbe Funktion \(f(x)=x^{2}-4x\) und dieselbe Stelle \(x_0=3\) lässt sich der Bruch \(\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}=\dfrac{x^{2}-4x+3}{x-3}\) vollständig kürzen. Geben Sie den gekürzten Term an.
x-1, Malzeichen * oder weglassen, Potenzen mit ^. Der Term muss so weit vereinfacht sein, dass kein Bruch mehr darin steht. Enter prüft.Gegeben ist \(f(x)=0{,}5x^{3}-3x^{2}+4x\). Bestimmen Sie mit nDeriv die drei Ableitungswerte und zusätzlich den Funktionswert an der Stelle 2. Runden Sie auf drei Nachkommastellen.
Ein Regenwasserbecken füllt sich; \(f(t)\) ist die Füllhöhe in Zentimetern nach \(t\) Minuten. Ordnen Sie jede Karte dem Ausdruck zu, den sie beschreibt.
Ein Mitschüler nähert \(f'(2)\) für \(f(x)=x^{3}\) an. Drei der sieben Zeilen sind falsch. Klicken Sie genau diese drei an.
Fünf Ableitungswerte und fünf Zahlen. Bestimmen Sie jeden Wert (von Hand angenähert oder mit nDeriv) und decken Sie die passenden Paare auf.
Statt \(x\to x_0\) schreibt man den Abstand oft als \(h\): Die Nachbarstelle heißt dann \(x_0+h\). Für \(f(x)=3x^{2}+2x\) und \(x_0=-1\) ist \(f(-1)=1\). Vereinfachen Sie den Differenzenquotienten \(\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}\) so weit, dass kein Bruch mehr vorkommt.
h. Schreibweise: 3h-4, Potenzen mit ^. Der Term muss vollständig gekürzt sein. Enter prüft.Die Füllhöhe eines Beckens wird durch \(f(t)=-0{,}05t^{2}+2t\) beschrieben (\(t\) in Minuten, \(f(t)\) in Zentimetern). Gesucht ist das Tempo nach 10 Minuten. Arbeiten Sie die Kette von oben nach unten ab.
- Festwert: \(f(10)=\)
- Nachbarstelle: \(f(10{,}1)=\) (vier Nachkommastellen)
- Differenzenquotient \(\dfrac{f(10{,}1)-f(10)}{0{,}1}=\)
- Auf welche glatte Zahl läuft das hinaus? \(f'(10)=\)
- Zu welchem Zeitpunkt \(t\) ist der Pegel am höchsten, also \(f'(t)=0\)?
Gegeben ist die Funktionenschar \(f(x)=a\cdot x^{2}-6x\) mit einem noch unbekannten \(a\neq 0\). Bestimmen Sie denjenigen Wert von \(a\), für den der Graph an der Stelle \(x_0=2\) eine waagerechte Tangente besitzt.
Für \(f(x)=x^{3}\) soll \(f'(1{,}5)\) ohne Ableitungsregeln bestimmt werden. Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Fortsetzung — gerechnet werden muss trotzdem.