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3.2.1 · Textaufgaben

Textaufgaben: Ableitungen im Sachzusammenhang

Sechs Sachaufgaben zur Ableitung an einer Stelle — mit Operatoren, Teilaufgaben, gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont.

1

Heißluftballon: wie schnell steigt er?

AFB I

Die Steighöhe \(s\) (in Metern) eines Heißluftballons über dem Boden wird im Zeitraum von 0 bis 15 Minuten näherungsweise durch \(s(t)=6t^{2}-0{,}4t^{3}\) beschrieben; \(t\) ist die Zeit in Minuten. Material M1 zeigt den Höhenverlauf. Über dem Intervall \([0;3]\) beträgt die durchschnittliche Steiggeschwindigkeit \(14{,}4\ \tfrac{\text{m}}{\text{min}}\).

M1Höhe des Ballons über der Zeit
t = 3 t = 12 Steigphase Sinkphase 0 5 10 15 0 50 100 150 200 t in min s in m
  1. Erläutern Sie, welche Größe durch \(s'(3)\) beschrieben wird.
  2. Berechnen Sie die momentane Steiggeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=3\) in \(\tfrac{\text{m}}{\text{min}}\).
  3. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, warum dieser Wert größer sein muss als \(14{,}4\ \tfrac{\text{m}}{\text{min}}\).
Hinweis zu Aufgabe a)
„Momentan“ ist das Signalwort für die Ableitung an einer Stelle — eine Durchschnittsgeschwindigkeit bräuchte dagegen zwei Zeitpunkte.Geometrisch ist \(s'(3)\) die Steigung der Tangente an den Graphen an der Stelle \(t_0=3\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(s'(3)\) ist die momentane Änderungsrate der Höhe zum Zeitpunkt \(t=3\), also die Steiggeschwindigkeit des Ballons in genau diesem Augenblick. Die Einheit folgt aus den Achsen: \(\tfrac{\text{m}}{\text{min}}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Numerisch annähern mit einer Stelle dicht bei 3: \(s'(3)\approx\dfrac{s(3{,}00001)-s(3)}{3{,}00001-3}\) mit \(s(3)=43{,}2\). Mit dem GTR: \(Y_1=6X^2-0{,}4X^3\) speichern, dann ALPHA → F2 → nDeriv und \(x=3\) eintragen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(s'(3)\approx\dfrac{s(3{,}00001)-s(3)}{0{,}00001}\). Ergebnis: \(s'(3)=25{,}2\), also \(25{,}2\ \tfrac{\text{m}}{\text{min}}\). Der Ballon gewinnt in diesem Moment pro Minute rund 25 Meter an Höhe.

Hinweis zu Aufgabe c)
Sehen Sie sich in M1 an, wie sich die Steilheit des Graphen zwischen \(t=0\) und \(t=3\) verändert.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Ballon steigt in dieser Phase immer schneller: Der Graph wird zwischen \(t=0\) und \(t=3\) fortlaufend steiler. Die mittlere Rate über \([0;3]\) mittelt also über lauter kleinere frühere Werte; der Momentanwert am rechten Rand muss deshalb größer ausfallen.

2

Derselbe Ballon in der Sinkphase

AFB II

Der Ballon aus Aufgabe 1 steigt nur bis \(t=10\); danach verliert er wieder an Höhe. Es gilt weiterhin \(s(t)=6t^{2}-0{,}4t^{3}\).

  1. Geben Sie an, welches Vorzeichen \(s'(12)\) haben muss, und begründen Sie Ihre Antwort.
  2. Berechnen Sie die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=12\) in \(\tfrac{\text{m}}{\text{min}}\).
  3. Erläutern Sie die Bedeutung des Vorzeichens im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Graph fällt bei \(t=12\). Überlegen Sie, welche Steigung eine Tangente an einen fallenden Graphen hat.Wenn Sie das Vorzeichen schon vor der Rechnung kennen, erkennen Sie sofort, ob Sie sich vertippt haben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(s'(12)\) muss negativ sein: Der Ballon sinkt bei \(t=12\), der Graph von \(s\) fällt dort, und eine fallende Kurve hat eine negative Tangentensteigung.

Hinweis zu Aufgabe b)
\(s(12)=6\cdot 144-0{,}4\cdot 1728=172{,}8\). Dann \(s'(12)\approx\dfrac{s(12{,}00001)-s(12)}{12{,}00001-12}\), oder im GTR d/dx(Y₁) an der Stelle 12 auswerten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(s(12)=172{,}8\), \(s'(12)\approx\dfrac{s(12{,}00001)-s(12)}{0{,}00001}\). Ergebnis: \(s'(12)=-28{,}8\), also \(-28{,}8\ \tfrac{\text{m}}{\text{min}}\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Formulieren Sie einen Antwortsatz, in dem die Zahl und das Vorzeichen vorkommen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Das Minuszeichen gehört zwingend zur Antwort: Der Ballon verliert in diesem Moment pro Minute 28,8 Meter an Höhe. Ohne Vorzeichen würde dieselbe Zahl einen Steigflug beschreiben.

3

Wann wäre der Ballon am Boden?

AFB III

Angenommen, der Ballon aus Aufgabe 1 würde ab \(t=12\) mit konstanter Geschwindigkeit weiter sinken — also genau mit dem Wert aus Aufgabe 2. Das Modell \(s(t)=6t^{2}-0{,}4t^{3}\) gilt eigentlich nur bis \(t=15\).

  1. Geben Sie die Höhe \(s(12)\) an.
  2. Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt \(t\) der Ballon unter dieser Annahme den Boden erreicht hätte.
  3. Beurteilen Sie, wie belastbar dieses Ergebnis ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Wert wurde in Aufgabe 2 bereits berechnet.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(s(12)=6\cdot 144-0{,}4\cdot 1728=864-691{,}2=172{,}8\), also 172,8 m.

Hinweis zu Aufgabe b)
Ab \(t=12\) wird der Höhenverlauf durch eine Gerade ersetzt: Startwert \(s(12)\), Steigung \(s'(12)\). Rechnen Sie \(172{,}8:28{,}8\) — das ist die Restdauer; sie muss noch zu \(t=12\) addiert werden.Genau das ist die Idee der Tangente: Sie ersetzt die Kurve in der Nähe von \(x_0\) durch eine Gerade — und mit Geraden können Sie seit Kapitel 1 rechnen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Ballon ist noch 172,8 m hoch und verliert 28,8 m pro Minute: \(\dfrac{172{,}8}{28{,}8}=6\). Er bräuchte also noch 6 Minuten und wäre zum Zeitpunkt \(t=12+6=18\) Minuten am Boden.

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie Ihren Zeitpunkt mit dem Gültigkeitsbereich des Modells.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Das Ergebnis ist eine Hochrechnung, keine Messung. Erstens gilt das Modell nur bis \(t=15\), der Wert 18 liegt also außerhalb des Gültigkeitsbereichs. Zweitens sinkt der Ballon in Wirklichkeit nicht konstant — die tatsächliche Sinkgeschwindigkeit ändert sich weiter. Der Wert taugt als grobe Abschätzung, nicht als Vorhersage.

4

Deichbruch: wie viel Wasser strömt gerade durch?

AFB II

Bei einem Deichbruch kann das Wasservolumen (in \(\text{m}^{3}\)), das \(x\) Minuten nach dem Deichbruch durch die Bruchstelle geflossen ist, näherungsweise durch \(w(x)=15x^{2}+150x\) beschrieben werden.

  1. Erläutern Sie, welche Größe \(w'(30)\) beschreibt, und geben Sie ihre Einheit an.
  2. Berechnen Sie die momentane Durchflussgeschwindigkeit 30 Minuten nach dem Deichbruch.
  3. Begründen Sie den Unterschied zwischen \(w(30)\) und \(w'(30)\).
Hinweis zu Aufgabe a)
\(w\) zählt das insgesamt geflossene Wasser; die Durchflussgeschwindigkeit ist die Änderungsrate davon.Die Einheit folgt aus den Achsen: Hochachse \(\text{m}^{3}\), Rechtsachse min.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(w'(30)\) ist die momentane Änderungsrate des geflossenen Volumens, also der Durchfluss in genau diesem Augenblick. Einheit: \(\tfrac{\text{m}^{3}}{\text{min}}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
\(w(30)=15\cdot 900+150\cdot 30=18\,000\). Dann \(w'(30)\approx\dfrac{w(30{,}00001)-w(30)}{30{,}00001-30}\); im GTR \(Y_1=15X^2+150X\), nDeriv an der Stelle 30.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(w'(30)\approx\dfrac{w(30{,}00001)-w(30)}{0{,}00001}\). Ergebnis: \(w'(30)=1050\), also \(1050\ \tfrac{\text{m}^{3}}{\text{min}}\). In der 30. Minute strömen pro Minute rund 1 050 Kubikmeter Wasser durch die Bruchstelle.

Hinweis zu Aufgabe c)
Berechnen Sie beide Werte und formulieren Sie zu jedem einen Satz mit Einheit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(w(30)=18\,000\ \text{m}^{3}\) ist die Wassermenge, die seit dem Deichbruch insgesamt geflossen ist — ein Bestand. \(w'(30)=1050\ \tfrac{\text{m}^{3}}{\text{min}}\) ist dagegen die Geschwindigkeit, mit der dieser Bestand in diesem Moment wächst — eine Rate. Die Einheiten machen den Unterschied sichtbar.

5

Bergwanderung: Luftdruck in 900 Metern

AFB II

Anna und Max wandern von 700 m auf 1 130 m Höhe. Für den Luftdruck \(p\) (in hPa) in der Höhe \(h\) (in Metern) verwenden sie das Modell \(p(h)=1013-0{,}114h+0{,}000005h^{2}\). Max fragt: „Wie stark ändert sich der Druck bei 900 Metern?“

  1. Erläutern Sie, warum hier die momentane und nicht die mittlere Änderungsrate gesucht ist.
  2. Berechnen Sie \(p'(900)\) in \(\tfrac{\text{hPa}}{\text{m}}\).
  3. Erläutern Sie, was das Ergebnis für 100 Höhenmeter bedeutet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Unterscheiden Sie drei Dinge: \(p(1130)-p(700)\) ist die absolute Änderung, \(\dfrac{p(1130)-p(700)}{1130-700}\) die mittlere und \(p'(900)\) die momentane Änderungsrate.Das Wörtchen „bei 900 Metern“ nennt nur eine einzelne Stelle — für eine mittlere Rate bräuchte man ein Intervall.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Gefragt ist die Änderung „bei 900 Metern“, also an einer einzelnen Stelle. Eine mittlere Änderungsrate setzt ein Intervall mit zwei Randstellen voraus; hier ist deshalb die Ableitung \(p'(900)\) gemeint — die Steigung der Tangente an dieser Stelle.

Hinweis zu Aufgabe b)
\(p'(900)\approx\dfrac{p(900{,}00001)-p(900)}{900{,}00001-900}\). Im GTR \(Y_1=1013-0{,}114X+0{,}000005X^2\) speichern und nDeriv an der Stelle 900 auswerten (auf dem Rechner mit Punkt statt Komma). Geben Sie mindestens drei Nachkommastellen an.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(p'(900)\approx\dfrac{p(900{,}00001)-p(900)}{0{,}00001}\). Ergebnis: \(p'(900)=-0{,}105\), also \(-0{,}105\ \tfrac{\text{hPa}}{\text{m}}\). Das Minuszeichen zeigt, dass der Druck mit zunehmender Höhe fällt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Rechnen Sie die Rate je Meter auf 100 Meter hoch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Pro Meter Aufstieg fällt der Druck bei 900 m um gut ein Zehntel Hektopascal. Auf 100 Höhenmeter hochgerechnet sind das rund \(10{,}5\ \text{hPa}\) — allerdings nur näherungsweise, denn die Rate ändert sich mit der Höhe.

6

Bordcomputer: wo ist der Verbrauch am größten?

AFB III

Auf einer 6 km langen Teststrecke wurde ständig gemessen, wie viel Benzin ein Auto schon verbraucht hatte. Material M1 zeigt das insgesamt verbrauchte Volumen über der gefahrenen Strecke. Ein Bordcomputer zeigt dagegen den momentanen Verbrauch an.

M1Verbrauchtes Benzinvolumen über der Strecke
0 1 2 3 4 5 6 0 0,10 0,20 Strecke in km Benzin in Liter
  1. Erläutern Sie, woran man im Diagramm M1 den momentanen Verbrauch erkennt.
  2. Bestimmen Sie die Stelle der Teststrecke, an der der momentane Verbrauch am größten ist (auf halbe Kilometer genau).
  3. Begründen Sie, warum der höchste Punkt des Graphen nicht die gesuchte Stelle ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der momentane Verbrauch ist die Ableitung des abgebildeten Graphen, also seine Steigung an der jeweiligen Stelle — nicht seine Höhe.Der Graph steigt überall, denn verbrauchtes Benzin kann nicht weniger werden. Interessant ist deshalb nur, wie steil er steigt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Am momentanen Verbrauch interessiert die Steigung der Kurve, nicht ihr Funktionswert: Der Graph zeigt das aufsummierte Volumen, seine Ableitung den Verbrauch je Kilometer. Ein steiles Stück bedeutet hohen Momentanverbrauch, ein flaches Stück niedrigen.

Hinweis zu Aufgabe b)
Legen Sie gedanklich an mehreren Stellen die Tangente an und vergleichen Sie ihre Steigungen. Zwischen 2 km und 4 km verläuft der Graph fast geradlinig und flach; zwischen 4 km und 5 km springt er dagegen von etwa 0,12 Liter auf etwa 0,19 Liter.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Am steilsten ist der Graph bei etwa \(x=4{,}5\ \text{km}\); dort zeigt der Bordcomputer den größten momentanen Verbrauch. Am kleinsten ist er auf dem flachen Stück kurz vor 6 km.

Hinweis zu Aufgabe c)
Fragen Sie sich, was die Höhe des Graphen bei 6 km überhaupt angibt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der höchste Punkt liegt bei 6 km, weil dort das insgesamt verbrauchte Volumen am größten ist — der Graph kann ja nicht fallen. Das sagt aber nichts über den Verbrauch in diesem Moment aus: Dort ist die Kurve gerade besonders flach, der Bordcomputer zeigt also einen kleinen Wert an.