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Interaktive Übung

Zwanzig Aufgaben zur h-Methode und zur Potenzregel: Differenzenquotienten vereinfachen, x³ von Hand ableiten und Ableitungen berechnen. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungVon der h-Methode zur Potenzregel — hergeleitet an x² und x³.
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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zur allgemeinen Rechnung mit \(h\) und zur Potenzregel. Der Schwerpunkt liegt auf dem Rechnen: ausmultiplizieren, kürzen, Grenzwert bilden — und die Regel anschließend vorwärts wie rückwärts anwenden.

1Der Zähler des DifferenzenquotientenAFB I

\(f(x)=x^{2}\). Für die Stelle \(x\) und die Schrittweite \(h\) lautet der Zähler \((x+h)^{2}-x^{2}\).

Multiplizieren Sie aus und fassen Sie zusammen.

Schreibweise: Potenzen mit ^ (also 3x^2), Malzeichen * oder weglassen. Enter prüft.
\((x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}\). Das \(x^{2}\) fällt weg, es bleibt \(2xh+h^{2}\). Beide Summanden enthalten den Faktor \(h\) — genau deshalb lässt sich der Bruch später kürzen.
2Die h-Methode für x³ mit ZahlenAFB II

\(f(x)=x^{3}\), Stelle \(x_0=2\). Rechnen Sie den Differenzenquotienten für \(h=0{,}1\) aus und vergleichen Sie ihn anschließend mit dem Grenzwert.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Wie groß ist \(f(2)\)?
  2. Wie groß ist \(f(2{,}1)=2{,}1^{3}\)?
  3. Wie groß ist der Zähler \(f(2{,}1)-f(2)\)?
  4. Und die Sekantensteigung \(1{,}261:0{,}1\)?
  5. Welchen Wert liefert die Potenzregel für \(f\,\'(2)\)?
\(\dfrac{(2+h)^{3}-8}{h}=12+6h+h^{2}\); für \(h=0{,}1\) sind das \(12+0{,}6+0{,}01=12{,}61\). Für \(h\to 0\) bleibt \(12=3\cdot 2^{2}\).
3Ableitung von x² an einer StelleAFB I

\(f(x)=x^{2}\). Berechnen Sie \(f\,\'(4)\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f\,\'(x)=2x\), also \(f\,\'(4)=8\). Die Tangente im Punkt \((4\mid 16)\) steigt um 8 Einheiten pro Einheit nach rechts.
4Potenzregel anwendenAFB II

Die Potenzregel lautet \(f(x)=x^{n} \Rightarrow f\,\'(x)=n\cdot x^{\,n-1}\). Vervollständigen Sie die Tabelle.

Trage in die mittlere Spalte den Ableitungsterm ein — Potenzen mit ^, also 3x^2. Rechts steht eine Zahl. Enter prüft.
\(f(x)\)\(f\,\'(x)\)\(f\,\'(2)\)
\(x^{2}\)
\(x^{3}\)
\(x^{4}\)
\(x^{5}\)
Der alte Exponent wird zum Faktor, der neue ist um eins kleiner. Bei \(x^{5}\) also \(5x^{4}\) und \(5\cdot 2^{4}=5\cdot 16=80\).
5Eine hohe Potenz ableitenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=x^{7}\). Geben Sie \(f\,\'(x)\) an.

Schreibweise: Potenzen mit ^ (also 3x^2), Malzeichen * oder weglassen. Enter prüft.
Exponent nach vorn, dann um eins verkleinern: \(f\,\'(x)=7x^{6}\). Probe an einer Stelle: \(f\,\'(1)=7\).
6Den Differenzenquotienten bauenAFB I

Setzen Sie die Definition der Ableitung an der Stelle \(x_0\) von links nach rechts zusammen.

Setze den Term von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Erst der Name, dann das Gleichheitszeichen, dann der Grenzwert mit \(h\to 0\), zuletzt der Bruch. Wichtig ist die Reihenfolge im Zähler: neuer Wert minus alter Wert — und geteilt, nicht mal \(h\).
7Fehlersuche: x³ von HandAFB II

Ein Lösungsweg für \(f(x)=x^{3}\) an der Stelle \(x_0\). Markieren Sie genau die fehlerhaften Zeilen.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Beide Fehler sind typisch: ein falscher Exponent beim Ausmultiplizieren und ein stehen gebliebener \(h\)-Term nach dem Grenzübergang. Nur Summanden ganz ohne \(h\) überleben.
8Die binomische Formel für den dritten GradAFB II

Es gilt \((x+h)^{3}=x^{3}+a\cdot x^{2}h+b\cdot xh^{2}+c\cdot h^{3}\). Bestimmen Sie die drei Koeffizienten.

Trage alle Werte ein und prüfe dann gemeinsam. Enter prüft.
\((x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}\). Die Koeffizienten 1, 3, 3, 1 stehen im Pascalschen Dreieck in der vierten Zeile. Nur der Summand \(3x^{2}h\) überlebt später den Grenzübergang.
9Welche Ableitung stimmt?AFB I

Markieren Sie alle Zeilen, die korrekt sind.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Zwei Dinge müssen zugleich stimmen: Der alte Exponent wird zum Faktor und der Exponent sinkt um eins. In den falschen Zeilen fehlt jeweils eines von beiden.
10Funktion und Ableitung findenAFB II

Fünf Funktionen, fünf Ableitungen. Finden Sie die Paare.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen. Du hast 16 Versuche — mit Enter und den Pfeiltasten geht es auch über die Tastatur.
Versuche: 0 von 16
Der Grad sinkt beim Ableiten immer um eins, und der alte Exponent steht als Faktor davor. \(x=x^{1}\) hat deshalb die Ableitung \(1\cdot x^{0}=1\).
11Steigung an einer negativen StelleAFB II

\(f(x)=x^{3}\). Berechnen Sie die Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0=-2\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f\,\'(x)=3x^{2}\), also \(f\,\'(-2)=3\cdot(-2)^{2}=3\cdot 4=12\). Das Quadrat macht das Ergebnis positiv — die Kurve \(x^{3}\) steigt auch links von null.
12Sekantensteigung allgemeinAFB III

\(f(x)=x^{2}\), Stelle \(x\), Schrittweite \(h\neq 0\).

Vereinfachen Sie \(\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}\) so weit wie möglich.

Schreibweise: Potenzen mit ^ (also 3x^2), Malzeichen * oder weglassen. Enter prüft.
Der Zähler ist \(2xh+h^{2}=h(2x+h)\); nach dem Kürzen bleibt \(2x+h\). Für \(h\to 0\) folgt daraus \(f\,\'(x)=2x\) — die Herleitung der Potenzregel für den Exponenten 2.
13Aussagen zur PotenzregelAFB I

Entscheiden Sie, ob die Aussage zutrifft.

6 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 6

Die Potenzregel ist kein neuer Trick, sondern nur die Kurzform der \(h\)-Methode — für jeden Exponenten wurde dieselbe Rechnung einmal allgemein durchgeführt.
14Die h-Methode in der richtigen ReihenfolgeAFB I

Ordnen Sie die Schritte der Herleitung von \(f\,\'(x)\) für \(f(x)=x^{3}\).

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1\(\dfrac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}\) aufstellen
2\((x+h)^{3}\) mit der binomischen Formel ausmultiplizieren
3\(x^{3}\) im Zähler wegkürzen
4Im Zähler den Faktor \(h\) ausklammern
5Den Bruch mit \(h\) kürzen
6\(h\to 0\) gehen lassen und \(3x^{2}\) notieren
Ausklammern und Kürzen sind zwei getrennte Schritte — ohne den ausgeklammerten Faktor \(h\) lässt sich der Bruch nicht kürzen.
15Eigenschaften der AbleitungsfunktionAFB II

Für die folgenden Potenzfunktionen: Kreuzen Sie alle zutreffenden Aussagen an.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
Funktion\(f\,\'(0)=0\)\(f\,\'(-2)<0\)\(f\,\'\) ist wieder eine Potenzfunktion
\(f(x)=x\)
\(f(x)=x^{2}\)
\(f(x)=x^{3}\)
\(f(x)=x^{4}\)
\(f(x)=x^{5}\)
\(f\,\'(x)=1\) ist konstant, also nie null. Bei geraden Exponenten ist die Ableitung ungerade und links von null negativ; bei ungeraden Exponenten ist sie gerade und dort positiv. Eine Ableitung von \(x^{n}\) ist immer wieder ein Vielfaches einer Potenz von \(x\).
16Sekantensteigung bei x³ als BruchAFB II

\(f(x)=x^{3}\). Berechnen Sie die Steigung der Sekante durch \(A(0\mid 0)\) und \(B\!\left(\tfrac12 \mid \tfrac18\right)\) als vollständig gekürzten Bruch.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.
\(m=\dfrac{\frac18-0}{\frac12-0}=\dfrac18\cdot 2=\dfrac14\). Zum Vergleich: \(f\,\'(0)=0\) und \(f\,\'\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac34\) — die Sekantensteigung liegt dazwischen.
17x³ ableiten — Schritt für SchrittAFB III

\(f(x)=x^{3}\), Stelle \(x_0=1\). Wählen Sie in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.

Spiele den Ablauf durch: Wähle bei jedem Schritt die passende Fortsetzung. Falsche Klicks werden gesperrt, der Weg wird darunter protokolliert.
    Derselbe Ablauf funktioniert für jede Stelle \(x_0\) und liefert allgemein \(f\,\'(x_0)=3x_0^{2}\).
    18Zu welcher Funktion gehört der Term?AFB II

    Sortieren Sie jeden Term in den Korb der Funktion, deren Ableitung er ist. Terme, die zu keiner der drei passen, kommen in den letzten Korb.

    Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
    1Ableitung von \(x^{2}\)
    2Ableitung von \(x^{3}\)
    3Ableitung von \(x^{4}\)
    4gehört zu keiner davon
    \(x^{2}\) ist die Funktion selbst, nicht ihre Ableitung. \(3x\) und \(2x^{2}\) sehen zwar ähnlich aus, haben aber den falschen Exponenten oder den falschen Faktor.
    19Rückwärts: Wo ist die Steigung 7?AFB III

    \(f(x)=x^{2}\). Bestimmen Sie die Stelle \(x\), an der die Tangente die Steigung 7 hat.

    Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
    \(f\,\'(x)=2x\). Aus \(2x=7\) folgt \(x=3{,}5\). Solche Rückwärtsaufgaben sind der Standardtyp: Ableitung bilden, gleich der gesuchten Steigung setzen, Gleichung lösen.
    20Steigung vorgegeben — Stelle gesuchtAFB III

    Bestimmen Sie jeweils die Stelle \(x\), an der die Funktion die angegebene Steigung hat. Wo mehrere Stellen möglich sind, ist die positive gesucht.

    Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, negative Zahlen mit Minuszeichen.
    Funktiongeforderte SteigungStelle \(x\)
    \(f(x)=x^{2}\)\(-5\)
    \(f(x)=x^{3}\)\(27\)
    \(f(x)=x^{4}\)\(32\)
    \(f(x)=x^{3}\)\(0\)
    \(f(x)=x^{5}\)\(5\)
    \(2x=-5\Rightarrow x=-2{,}5\); \(3x^{2}=27\Rightarrow x^{2}=9\Rightarrow x=3\); \(4x^{3}=32\Rightarrow x^{3}=8\Rightarrow x=2\); \(3x^{2}=0\Rightarrow x=0\); \(5x^{4}=5\Rightarrow x^{4}=1\Rightarrow x=1\). Bei geraden Potenzen im Ergebnis gibt es je zwei Lösungen — gefragt war die positive.
    Nächster SchrittZu den TextaufgabenFünf Sachaufgaben zur allgemeinen Ableitung von x² — mit Operatoren und Erwartungshorizont. WeiterZurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel der Differenzialrechnung auf einen Blick.