Quadratische Grundstücke
AFB IEin Landvermesser rechnet mit quadratischen Grundstücken: Zu der Seitenlänge \(x\) (in Metern) gehört der Flächeninhalt \(f(x)=x^{2}\) (in Quadratmetern). Er möchte die Ableitung nicht für jede Seitenlänge einzeln bestimmen, sondern ein für alle Mal an einer beliebigen Stelle \(x_0\).
- Geben Sie den Differenzenquotienten von \(f\) an der Stelle \(x_0\) mit dem Abstand \(h\) an.
- Zeigen Sie durch Vereinfachen und Kürzen, dass \(f'(x_0)=2x_0\) gilt.
- Berechnen Sie damit \(f'(2{,}5)\) und deuten Sie den Wert im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\dfrac{(x_0+h)^{2}-x_0^{2}}{h}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\dfrac{(x_0+h)^{2}-x_0^{2}}{h}=\dfrac{x_0^{2}+2x_0h+h^{2}-x_0^{2}}{h}=\dfrac{2x_0h+h^{2}}{h}=\dfrac{h\,(2x_0+h)}{h}=2x_0+h\).
Für \(h\to 0\) strebt dieser Term gegen \(2x_0\); also gilt \(f'(x_0)=2x_0\) für jede Stelle \(x_0\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f'(2{,}5)=2\cdot 2{,}5=5\), also \(5\ \tfrac{\text{m}^{2}}{\text{m}}\). Deutung: Bei einer Seitenlänge von 2,5 m wächst der Flächeninhalt in diesem Moment um rund 5 m² je zusätzlichem Meter Seitenlänge.
Wasserstrahl einer Fontäne
AFB IIEine Fontäne stößt Wasser senkrecht nach oben aus. Für die Höhe eines Wasserteilchens gilt \(h(t)=-5t^{2}+20t\); dabei ist \(t\) die Zeit in Sekunden und \(h(t)\) die Höhe in Metern über der Düse.
- Zeigen Sie mit dem Differenzenquotienten und \(h\to 0\), dass \(h'(t)=-10t+20\) gilt.
- Berechnen Sie den Zeitpunkt des höchsten Punktes sowie die zugehörige Steighöhe.
- Berechnen Sie die Geschwindigkeit beim Auftreffen auf die Düsenhöhe und erläutern Sie das Vorzeichen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(h(t+k)=-5\big(t^{2}+2tk+k^{2}\big)+20t+20k=-5t^{2}-10tk-5k^{2}+20t+20k\).
\(h(t+k)-h(t)=-10tk-5k^{2}+20k\), also \(\dfrac{h(t+k)-h(t)}{k}=-10t-5k+20\). Für \(k\to 0\) folgt \(h'(t)=-10t+20\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(h'(t)=0 \Leftrightarrow -10t+20=0 \Leftrightarrow t=2\). Steighöhe: \(h(2)=-20+40=20\). Der höchste Punkt wird nach 2 Sekunden in 20 m Höhe erreicht.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(h(t)=0 \Leftrightarrow t(-5t+20)=0 \Leftrightarrow t=0\) oder \(t=4\). Also \(h'(4)=-40+20=-20\), das Wasserteilchen trifft mit \(20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) wieder auf Düsenhöhe auf.
Das Minuszeichen bedeutet, dass die Höhe abnimmt: Die Bewegung ist nach unten gerichtet. Der Betrag stimmt mit der Anfangsgeschwindigkeit \(h'(0)=20\) überein — ohne Luftwiderstand kommt das Teilchen genauso schnell zurück, wie es gestartet ist.
Die Ableitungsfunktion von x² im Überblick
AFB IIMaterial M1 zeigt eine Wertetabelle zu \(f(x)=x^{2}\). In der zweiten Zeile fehlen die Werte der Ableitungsfunktion.
| \(x\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| \(f'(x)\) | ? | ? | 0 | ? | ? |
- Berechnen Sie die fehlenden Werte von \(f'\) und geben Sie die vollständige Zeile an.
- Beschreiben Sie den Graphen von \(f'\).
- Begründen Sie, warum der Graph von \(f'\) eine Ursprungsgerade ist, während der Graph von \(f\) eine Parabel ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f'(-2)=-4\), \(f'(-1)=-2\), \(f'(0)=0\), \(f'(1)=2\), \(f'(2)=4\). Die vollständige Zeile lautet also \(-4\); \(-2\); \(0\); \(2\); \(4\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Graph von \(f'\) ist eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung 2, also die Gerade \(y=2x\). Sie verläuft für \(x<0\) unterhalb und für \(x>0\) oberhalb der \(x\)-Achse.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f'(x)=2x\) ist eine lineare Funktion ohne konstantes Glied, ihr Graph geht deshalb durch den Ursprung. Inhaltlich passt das zur Parabel: Links vom Scheitel fällt sie, dort sind alle Tangentensteigungen negativ; im Scheitel ist die Tangente waagerecht, also \(f'(0)=0\); rechts davon steigt sie immer steiler an. Je weiter man sich vom Scheitel entfernt, desto größer wird der Betrag der Steigung — und zwar proportional zum Abstand.
Brückenbogen
AFB IIIDer Bogen einer Brücke wird im Querschnitt durch \(f(x)=-0{,}02x^{2}+8\) beschrieben; dabei ist \(x\) die waagerechte Entfernung vom Scheitel in Metern und \(f(x)\) die Höhe über der Fahrbahn in Metern (Material M1). Der Bogen reicht von \(x=-20\) bis \(x=20\).
- Zeigen Sie mit dem Differenzenquotienten und \(h\to 0\), dass für \(g(x)=ax^{2}+c\) allgemein \(g'(x)=2ax\) gilt.
- Berechnen Sie die Steigung des Bogens an der Stelle \(x=15\).
- Deuten Sie das Ergebnis als Gefälle in Prozent und beurteilen Sie, ob der Bogen am Rand für einen Fußweg begehbar wäre (üblich sind höchstens 6 % Gefälle).
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(g(x+h)-g(x)=\big(a(x+h)^{2}+c\big)-\big(ax^{2}+c\big)=a\big(x^{2}+2xh+h^{2}\big)-ax^{2}=2axh+ah^{2}\).
Also \(\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=2ax+ah\), und für \(h\to 0\) folgt \(g'(x)=2ax\). Der konstante Summand \(c\) hat keinen Einfluss — er verschiebt den Graphen nur nach oben oder unten, ohne die Steigung zu ändern.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Mit \(a=-0{,}02\) gilt \(f'(x)=-0{,}04x\), also \(f'(15)=-0{,}04\cdot 15=-0{,}6\). Zur Kontrolle: \(f(15)=-4{,}5+8=3{,}5\); die Tangente in \(P(15\mid 3{,}5)\) fällt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Eine Steigung von \(-0{,}6\) entspricht einem Gefälle von \(60\;\%\): Auf einem Meter waagerechter Strecke geht es 60 cm bergab.
Beurteilung: Das ist ein Vielfaches der üblichen 6 % und damit als Fußweg völlig ungeeignet — an dieser Stelle ist der Bogen fast so steil wie eine Treppe. Begehbar wäre nur der Bereich um den Scheitel: Aus \(|-0{,}04x|\le 0{,}06\) folgt \(|x|\le 1{,}5\), also lediglich die mittleren drei Meter.
Bremsweg-Faustformel
AFB IIIFür den Bremsweg eines Pkw wird in der Fahrschule die Faustformel \(s(v)=\dfrac{v^{2}}{100}\) verwendet; dabei ist \(v\) die Geschwindigkeit in \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\) und \(s(v)\) der Bremsweg in Metern. Ein Fahrlehrer sagt: „Wer 10 km/h schneller fährt, braucht ungefähr 10 Meter mehr Bremsweg.“
- Zeigen Sie mit dem Differenzenquotienten und \(h\to 0\), dass \(s'(v)=0{,}02v\) gilt.
- Berechnen Sie \(s'(50)\) und deuten Sie den Wert im Sachzusammenhang.
- Überprüfen Sie die Aussage des Fahrlehrers für den Übergang von 50 auf 60 km/h und beurteilen Sie, ob sie auch bei 150 km/h noch brauchbar ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(s(v+h)-s(v)=0{,}01\big((v+h)^{2}-v^{2}\big)=0{,}01\big(2vh+h^{2}\big)\), also \(\dfrac{s(v+h)-s(v)}{h}=0{,}02v+0{,}01h\). Für \(h\to 0\) folgt \(s'(v)=0{,}02v\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(s'(50)=0{,}02\cdot 50=1\), also \(1\ \tfrac{\text{m}}{\text{km/h}}\). Deutung: Bei Tempo 50 wächst der Bremsweg im Moment um etwa einen Meter je zusätzlichem Kilometer pro Stunde.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Exakt: \(s(60)-s(50)=36-25=11\ \text{m}\); die lineare Näherung liefert \(10\cdot s'(50)=10\ \text{m}\). Die Faustregel unterschätzt den Zuwachs also um einen Meter — bei Tempo 50 ist sie brauchbar.
Bei 150 km/h ist \(s'(150)=3\ \tfrac{\text{m}}{\text{km/h}}\); exakt gilt \(s(160)-s(150)=256-225=31\ \text{m}\). Statt 10 m kommen also gut 31 m hinzu. Beurteilung: Die Aussage gilt nur in der Nähe von Tempo 50. Weil \(s'\) mit \(v\) wächst, wird der Zuwachs bei hohen Geschwindigkeiten um ein Vielfaches größer — genau das macht Raserei so gefährlich.