Die Ableitung von 1/x: Übungen – Mathe Klasse 11

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDie Hyperbel, der Grenzübergang und die acht Grundableitungen.

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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zur Funktion \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) und zur Potenzregel mit negativen Exponenten. Der Schwerpunkt liegt auf dem Rechnen mit Brüchen: Sekantensteigungen bestimmen, Doppelbrüche zusammenfassen und Ableitungswerte exakt angeben.

1Eine Sekante an der HyperbelAFB I

Gegeben ist \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) mit \(P(1\mid 1)\) und \(Q(2\mid 0{,}5)\).

Berechnen Sie die Steigung der Sekante durch \(P\) und \(Q\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(m=\dfrac{0{,}5-1}{2-1}=\dfrac{-0{,}5}{1}=-0{,}5\). Die Sekante fällt — die Hyperbel fällt auf dem rechten Ast überall.

2Die Ableitung als BruchAFB I

\(f(x)=\dfrac{1}{x}\) hat die Ableitung \(f\,\'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\). Berechnen Sie \(f\,\'(3)\) und geben Sie das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1, ein Minus gehört in den Zähler. Enter prüft.

\(f\,\'(3)=-\dfrac{1}{3^{2}}=-\dfrac{1}{9}\). Das Minus gehört in den Zähler, das Quadrat in den Nenner — \(-\tfrac19\) ist ungefähr \(-0{,}11\), die Hyperbel ist dort schon recht flach.

3Sekantensteigung Schritt für SchrittAFB II

\(f(x)=\dfrac{1}{x}\), Stelle \(x_0=2\), Schrittweite \(h=0{,}5\). Rechnen Sie den Differenzenquotienten aus und vergleichen Sie ihn mit der Ableitung.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Wie groß ist \(f(2)\)?
Wie groß ist \(f(2{,}5)\)?
Wie groß ist der Zähler \(f(2{,}5)-f(2)\)?
Und die Sekantensteigung \(-0{,}1:0{,}5\)?
Welchen Wert hat \(f\,\'(2)=-\dfrac{1}{2^{2}}\) exakt?

Die Sekantensteigung \(-0{,}2\) liegt schon nah an der Tangentensteigung \(-0{,}25\). Mit der Formel \(m=-\dfrac{1}{x_0(x_0+h)}=-\dfrac{1}{2\cdot 2{,}5}=-0{,}2\) geht es in einem Schritt.

4Die Sekantensteigung allgemeinAFB III

\(f(x)=\dfrac{1}{x}\), Stelle \(x\), Schrittweite \(h\neq 0\).

Vereinfachen Sie \(\dfrac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\) zu einem einzigen Bruch.

Schreibweise: Brüche mit /, Potenzen mit ^, Klammern wie üblich. Enter prüft.

Auf den Hauptnenner bringen: \(\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)}=\dfrac{-h}{x(x+h)}\). Geteilt durch \(h\) bleibt \(-\dfrac{1}{x(x+h)}\). Für \(h\to 0\) folgt \(f\,\'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\).

5Exponent und AbleitungswertAFB II

Jede dieser Funktionen lässt sich als \(x^{n}\) schreiben. Bestimmen Sie den Exponenten \(n\) und den Wert der Ableitung an der Stelle 2. Runden Sie, wenn nötig, auf drei Nachkommastellen.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, negative Zahlen mit Minuszeichen.

\(f(x)\)	Exponent \(n\)	\(f\,\'(2)\)
\(x^{2}\)
\(x^{3}\)
\(x^{4}\)
\(\dfrac{1}{x}\)
\(\dfrac{1}{x^{2}}\)
\(\sqrt{x}\)

\(\tfrac{1}{x}=x^{-1}\Rightarrow f\,\'(x)=-x^{-2}=-\tfrac{1}{x^{2}}\), also \(-0{,}25\). \(\tfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}\Rightarrow f\,\'(x)=-2x^{-3}=-\tfrac{2}{x^{3}}\), an der Stelle 2 ebenfalls \(-\tfrac{2}{8}=-0{,}25\). Bei \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) ist \(f\,\'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}\), also \(\tfrac{1}{2\sqrt2}\approx 0{,}354\).

6Potenzregel mit negativem ExponentenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\). Schreiben Sie die Funktion als Potenz und wenden Sie die Regel \(f\,\'(x)=n\cdot x^{\,n-1}\) an.

Trage alle Werte ein und prüfe dann gemeinsam. Enter prüft.

Exponent \(n\) von \(f\):Faktor vor der Potenz in \(f\,\'\):Exponent in \(f\,\'\):

\(\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}\). Der Exponent \(-2\) wandert als Faktor nach vorn, der neue Exponent ist \(-2-1=-3\): \(f\,\'(x)=-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^{3}}\). Achtung: \(-2-1\) ist \(-3\), nicht \(-1\).

7Richtig als Potenz geschrieben?AFB I

Markieren Sie alle korrekten Umschreibungen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert, nicht negatives Vorzeichen: \(x^{-3}=\tfrac{1}{x^{3}}\). Ein Faktor im Zähler bleibt beim Umschreiben einfach stehen.

8Fehlersuche: Bruch im BruchAFB II

Ein Lösungsweg für die Ableitung von \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) an der Stelle \(x_0\). Markieren Sie genau die fehlerhaften Zeilen.

In diesem Lösungsweg stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Beide Fehler drehen sich um Vorzeichen. Eine schnelle Probe hilft: Die Hyperbel fällt überall, also muss die Ableitung für jedes \(x\neq 0\) negativ sein.

9Steilheit nahe an der NullAFB II

\(f(x)=\dfrac{1}{x}\). Berechnen Sie \(f\,\'(0{,}5)\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(f\,\'(0{,}5)=-\dfrac{1}{0{,}5^{2}}=-\dfrac{1}{0{,}25}=-4\). Je näher \(x\) an der Null liegt, desto steiler fällt die Hyperbel — bei \(x=0{,}1\) wäre die Steigung schon \(-100\).

10Die Grundableitungen zuordnenAFB II

Verbinden Sie jede Funktion mit ihrer Ableitung.

Wähle links einen Eintrag aus (Klick oder Enter) und klicke dann rechts den passenden Partner an.

Sechs dieser acht Zeilen sind nur Anwendungen der Potenzregel mit den Exponenten \(3\), \(-1\), \(-2\) und \(\tfrac12\). Nur die konstante und die lineare Funktion stammen aus der Wiederholung.

11Stimmt das über 1/x?AFB I

Entscheiden Sie, ob die Aussage zutrifft.

6 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 6

Der Definitionsbereich \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) ist der wichtigste Merkposten: Alles, was über Steigungen gesagt wird, gilt nur für \(x\neq 0\).

12Eine höhere negative PotenzAFB III

Gegeben ist \(f(x)=\dfrac{1}{x^{3}}\). Bestimmen Sie \(f\,\'(x)\) — schreiben Sie die Funktion dazu zuerst als Potenz.

Schreibweise: Brüche mit /, Potenzen mit ^, Klammern wie üblich. Enter prüft.

\(\dfrac{1}{x^{3}}=x^{-3}\Rightarrow f\,\'(x)=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^{4}}\). Probe an der Stelle 1: \(f\,\'(1)=-3\) — die Kurve fällt dort steil.

13Steigungen der Größe nachAFB II

\(f(x)=\dfrac{1}{x}\). Ordnen Sie die Stellen so, dass die zugehörigen Ableitungswerte \(f\,\'(x)\) von klein nach groß stehen.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.

1\(x=0{,}5\)

2\(x=1\)

3\(x=2\)

4\(x=4\)

5\(x=10\)

\(f\,\'(0{,}5)=-4\), \(f\,\'(1)=-1\), \(f\,\'(2)=-0{,}25\), \(f\,\'(4)=-0{,}0625\), \(f\,\'(10)=-0{,}01\). Alle Werte sind negativ; „größer“ heißt hier „näher an null“, also flacher.

14Funktionswert und Steigung im VergleichAFB II

\(f(x)=\dfrac{1}{x}\). Kreuzen Sie alle zutreffenden Aussagen an.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.

Stelle	\(f(x)>0\)	\(f\,\'(x)<0\)	\(\|f\,\'(x)\|>1\)
\(x=0{,}5\)
\(x=2\)
\(x=-1\)
\(x=-0{,}5\)

Das Vorzeichen von \(f\) hängt am Vorzeichen von \(x\), die Steigung dagegen ist überall negativ. \(|f\,\'(x)|=\tfrac{1}{x^{2}}\) ist genau dann größer als 1, wenn \(|x|<1\) ist. Bei \(x=-1\) ist \(f\,\'(-1)=-1\) — der Betrag ist gleich 1, also nicht größer.

15Die Regel in WortenAFB I

Fünf Begriffe fehlen. Setzen Sie die passenden Wörter ein — zwei bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die \(f\,\'(x)=n\cdot x^{\,n-1}\) gilt für alle rationalen . Schreibt man \(\tfrac{1}{x}\) als \(x^{-1}\), so ist der Exponent ; ein negativer Exponent bedeutet den . Weil durch null nicht geteilt werden darf, fehlt die Stelle \(x=0\) im — dort gibt es auch keine Steigung.

Zwei Wörter bleiben übrig. Der Kern des Unterkapitels steht in diesem Satz: negativer Exponent = Kehrwert, und die Potenzregel funktioniert trotzdem unverändert.

16Wie leite ich das ab?AFB III

Gegeben ist \(f(x)=\dfrac{1}{x^{3}}\). Beantworten Sie die Fragen des Baums für diese Funktion.

Beantworte die Fragen mit „Ja“ oder „Nein“, bis du bei einem Ergebnis landest. Mit „Neu“ startest du den Baum noch einmal.

\(\tfrac{1}{x^{3}}=x^{-3}\): eine Potenz, Exponent negativ, aber ganzzahlig. Der Baum führt damit auf den Weg „umschreiben, dann Potenzregel“ — genau die Rechnung aus Aufgabe 12.

17Welcher Exponent steckt dahinter?AFB II

Jede Funktion lässt sich als Potenz \(x^{n}\) schreiben. Sortieren Sie nach der Art des Exponenten.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1negativer Exponent

2positiver ganzzahliger Exponent

3gebrochener Exponent

\(x\cdot x=x^{2}\) ist eine getarnte Potenz mit positivem Exponenten. Die Wurzeln haben die Exponenten \(\tfrac12\) und \(\tfrac13\), die Brüche die Exponenten \(-1\), \(-2\) und \(-6\).

18Vier Ableitungswerte als BrücheAFB III

\(f(x)=\dfrac{1}{x}\). Berechnen Sie \(f\,\'(x)\) an den vier Stellen und tragen Sie jeweils Zähler und Nenner des vollständig gekürzten Bruchs ein. Das Minuszeichen gehört in den Zähler.

In jedes Feld gehört eine ganze Zahl; links steht der Zähler, rechts der Nenner. Enter prüft.

Stelle	\(x=2\)	\(x=3\)	\(x=5\)	\(x=10\)
\(f\,'(x)\)	/	/	/	/

\(f\,\'(x)=-\tfrac{1}{x^{2}}\) liefert \(-\tfrac14\), \(-\tfrac19\), \(-\tfrac{1}{25}\) und \(-\tfrac{1}{100}\). Der Zähler bleibt immer \(-1\), nur der Nenner wächst — und zwar quadratisch.

19Rückwärts mit VorzeichenAFB III

\(f(x)=\dfrac{1}{x}\). Bestimmen Sie die negative Stelle \(x\), an der die Tangente die Steigung \(-\dfrac{1}{9}\) hat.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(-\dfrac{1}{x^{2}}=-\dfrac{1}{9}\) führt auf \(x^{2}=9\), also \(x=3\) oder \(x=-3\). Gesucht war die negative Stelle: \(x=-3\). Beide Äste der Hyperbel haben dort dieselbe Steigung.

20Wo ist die Hyperbel fast waagerecht?AFB III

\(f(x)=\dfrac{1}{x}\). Bestimmen Sie die positive Stelle \(x\), an der die Tangente die Steigung \(-0{,}01\) hat, und stellen Sie den Regler darauf ein.

Schiebe den Regler auf den berechneten Wert — Pfeiltasten bewegen ihn in Schritten. Der Regler muss exakt stimmen.

020

\(-\dfrac{1}{x^{2}}=-0{,}01\) bedeutet \(x^{2}=100\), also \(x=10\) (positiv gesucht). Dort ist die Hyperbel schon fast waagerecht — sie nähert sich der \(x\)-Achse, ohne sie zu erreichen.

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