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3.3.3 · Textaufgaben

Textaufgaben: Die Ableitung von 1/x

Fünf Sachaufgaben zur Ableitung der Hyperbel und zur Tafel der Grundableitungen — mit Operatoren, Teilaufgaben, gestuften Hinweisen und Erwartungshorizont.

1

Rechteck mit festem Flächeninhalt

AFB I

Ein Rechteck soll stets den Flächeninhalt \(1\ \text{m}^{2}\) haben. Zu der Breite \(x\) (in Metern) gehört dann die Höhe \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) (in Metern). Betrachtet wird die Stelle \(x=2\).

  1. Geben Sie den Differenzenquotienten von \(f\) an der Stelle \(2\) mit dem Abstand \(h\) an.
  2. Zeigen Sie, dass sich dieser Term zu \(-\dfrac{1}{2\,(2+h)}\) vereinfachen lässt.
  3. Geben Sie \(f'(2)\) an und deuten Sie das Vorzeichen im Sachzusammenhang.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Differenzenquotient lautet \(\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\) mit \(f(2)=\tfrac{1}{2}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Bringen Sie zuerst \(\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}\) auf den Hauptnenner \(2(2+h)\). Im Zähler bleibt dann \(-h\), das gegen das \(h\) im Nenner gekürzt werden kann.Ein Doppelbruch wird gelöst, indem man mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Hauptnenner: \(\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-(2+h)}{2\,(2+h)}=\dfrac{-h}{2\,(2+h)}\).

Damit ist \(\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{-h}{2\,(2+h)}\cdot\dfrac{1}{h}=-\dfrac{1}{2\,(2+h)}\) für alle \(h\neq 0\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Lassen Sie \(h\) gegen null gehen und überlegen Sie, was mit der Höhe passiert, wenn das Rechteck breiter wird.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für \(h\to 0\) folgt \(f'(2)=-\dfrac{1}{2\cdot 2}=-\dfrac{1}{4}=-0{,}25\), also \(-0{,}25\ \tfrac{\text{m}}{\text{m}}\).

Das Minuszeichen bedeutet: Wird das Rechteck breiter, so muss es flacher werden. Bei einer Breite von 2 m nimmt die Höhe im Moment um 0,25 m je zusätzlichem Meter Breite ab.

2

Gasdruck in einer Spritze

AFB II

In einer verschlossenen Spritze wird Luft zusammengedrückt. Bei konstanter Temperatur gilt das Gesetz von Boyle-Mariotte \(p\cdot V=\text{konstant}\); für die betrachtete Spritze ergibt sich \(p(V)=\dfrac{12}{V}\), wobei \(V\) das Volumen in Litern und \(p(V)\) den Druck in bar angibt.

  1. Zeigen Sie mit dem Differenzenquotienten und \(h\to 0\), dass \(p'(V)=-\dfrac{12}{V^{2}}\) gilt.
  2. Berechnen Sie \(p'(3)\) und deuten Sie den Wert.
  3. Begründen Sie, bei welchen Volumina sich der Druck besonders stark ändert.
Hinweis zu Aufgabe a)
Gehen Sie vor wie in Aufgabe 1: Hauptnenner bilden, im Zähler bleibt \(-12h\), dann durch \(h\) kürzen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(p(V+h)-p(V)=\dfrac{12}{V+h}-\dfrac{12}{V}=\dfrac{12V-12(V+h)}{V\,(V+h)}=\dfrac{-12h}{V\,(V+h)}\).

Also \(\dfrac{p(V+h)-p(V)}{h}=-\dfrac{12}{V\,(V+h)}\), und für \(h\to 0\) folgt \(p'(V)=-\dfrac{12}{V^{2}}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie \(V=3\) ein. Die Einheit ist \(\tfrac{\text{bar}}{\ell}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(p'(3)=-\dfrac{12}{9}=-\dfrac{4}{3}\approx-1{,}33\), also rund \(-1{,}33\ \tfrac{\text{bar}}{\ell}\). Deutung: Bei einem Volumen von 3 Litern sinkt der Druck um etwa 1,33 bar, wenn das Volumen um einen Liter vergrößert wird — beim Zusammendrücken steigt er entsprechend.

Hinweis zu Aufgabe c)
Sehen Sie sich den Nenner \(V^{2}\) an: Was passiert mit dem Betrag von \(p'\), wenn \(V\) klein wird?
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Betrag \(\left|p'(V)\right|=\dfrac{12}{V^{2}}\) wächst, je kleiner \(V\) wird: Bei \(V=6\) sind es nur \(0{,}33\ \tfrac{\text{bar}}{\ell}\), bei \(V=1\) dagegen \(12\ \tfrac{\text{bar}}{\ell}\). Der Druck ändert sich also besonders stark, wenn die Luft bereits stark zusammengedrückt ist — deshalb lässt sich eine fast leere Spritze nur noch schwer weiter eindrücken.

3

Fahrzeit und Reisegeschwindigkeit

AFB II

Für eine Strecke von 300 km beträgt die reine Fahrzeit \(t(v)=\dfrac{300}{v}\); dabei ist \(v\) die mittlere Reisegeschwindigkeit in \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\) und \(t(v)\) die Fahrzeit in Stunden.

  1. Berechnen Sie \(t(100)\) und \(t(120)\) und geben Sie die eingesparte Zeit in Minuten an.
  2. Zeigen Sie mit dem Differenzenquotienten und \(h\to 0\), dass \(t'(v)=-\dfrac{300}{v^{2}}\) gilt.
  3. Berechnen Sie \(t'(100)\), deuten Sie das Ergebnis in Minuten je \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\) und vergleichen Sie es mit dem Ergebnis aus a).
Hinweis zu Aufgabe a)
Rechnen Sie den Nachkommaanteil der Stunden in Minuten um: \(0{,}5\ \text{h}=30\ \text{min}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(t(100)=3\ \text{h}\) und \(t(120)=2{,}5\ \text{h}\). Die Ersparnis beträgt \(0{,}5\ \text{h}=30\ \text{min}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Der Rechenweg ist derselbe wie in Aufgabe 2, nur mit dem Zähler 300 statt 12.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(t(v+h)-t(v)=\dfrac{300}{v+h}-\dfrac{300}{v}=\dfrac{300v-300(v+h)}{v\,(v+h)}=\dfrac{-300h}{v\,(v+h)}\).

Also \(\dfrac{t(v+h)-t(v)}{h}=-\dfrac{300}{v\,(v+h)}\) und für \(h\to 0\) schließlich \(t'(v)=-\dfrac{300}{v^{2}}\).

Hinweis zu Aufgabe c)
\(t'(100)\) ist eine Zeit je Geschwindigkeitseinheit — rechnen Sie den Wert in Minuten um und vergleichen Sie ihn mit dem Zwanzigstel der Ersparnis aus a).Die Ableitung gibt eine momentane Rate an; über 20 km/h hinweg ändert sie sich bereits merklich.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(t'(100)=-\dfrac{300}{10\,000}=-0{,}03\ \tfrac{\text{h}}{\text{km/h}}\); das sind \(-1{,}8\ \tfrac{\text{min}}{\text{km/h}}\). Bei Tempo 100 spart jeder zusätzliche Kilometer pro Stunde also rund 1,8 Minuten Fahrzeit.

Vergleich: Linear hochgerechnet ergäben 20 km/h mehr eine Ersparnis von \(20\cdot 1{,}8=36\ \text{min}\); tatsächlich sind es laut a) nur 30 min. Der Grund: Die Ersparnis je km/h nimmt mit wachsender Geschwindigkeit ab — bei 120 km/h beträgt sie mit \(t'(120)\approx-0{,}0208\ \text{h}\) nur noch rund 1,25 Minuten.

4

Die Tafel der Grundableitungen

AFB III

Material M1 fasst die Grundableitungen dieses Kapitels zusammen. Zwei Einträge fehlen noch.

M1Die Grundableitungen des Kapitels
Zwei Einträge der Ableitungszeile fehlen und sind in Teilaufgabe a) zu ergänzen.
\(f(x)\)\(c\)\(x\)\(x^{2}\)\(x^{3}\)\(\dfrac{1}{x}\)\(\sqrt{x}\)
\(f'(x)\)01\(2x\)??\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
Alle Einträge lassen sich mit der Potenzregel \(\big(x^{n}\big)'=n\cdot x^{n-1}\) erzeugen.
  1. Geben Sie die beiden fehlenden Ableitungen an.
  2. Begründen Sie, dass sich \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) mit der Potenzregel \(\big(x^{n}\big)'=n\cdot x^{n-1}\) behandeln lässt.
  3. Überprüfen Sie mit der Potenzregel die Ableitung von \(\sqrt{x}\) an der Stelle \(4\) und vergleichen Sie sie mit der Steigung der Sekante über \([4;9]\).
Hinweis zu Aufgabe a)
Für \(x^{3}\) liefert die Potenzregel den Exponenten als Faktor; für \(\tfrac{1}{x}\) haben Sie das Ergebnis in Aufgabe 1 bereits an einer konkreten Stelle bestimmt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\big(x^{3}\big)'=3x^{2}\) und \(\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Schreiben Sie \(\dfrac{1}{x}\) als Potenz mit negativem Exponenten und wenden Sie die Regel formal an.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Es gilt \(\dfrac{1}{x}=x^{-1}\). Die Potenzregel liefert \(\big(x^{-1}\big)'=-1\cdot x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}\).

Das stimmt mit der Rechnung aus Aufgabe 1 überein: Dort ergab sich \(f'(2)=-\tfrac{1}{4}\), und die Formel liefert \(-\tfrac{1}{2^{2}}=-\tfrac{1}{4}\). Die Potenzregel gilt also nicht nur für natürliche, sondern auch für negative Exponenten.

Hinweis zu Aufgabe c)
\(\sqrt{x}=x^{1/2}\). Für die Sekante brauchen Sie \(\sqrt{4}=2\) und \(\sqrt{9}=3\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\sqrt{x}=x^{1/2}\), also \(\big(x^{1/2}\big)'=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\). An der Stelle 4: \(\dfrac{1}{2\sqrt{4}}=\dfrac{1}{4}=0{,}25\).

Sekante über \([4;9]\): \(m=\dfrac{\sqrt{9}-\sqrt{4}}{9-4}=\dfrac{3-2}{5}=0{,}2\). Die Sekantensteigung ist kleiner als die Tangentensteigung im linken Randpunkt — passend dazu, dass die Wurzelkurve nach rechts immer flacher verläuft.

5

Ist 1/x überall fallend?

AFB III

Material M1 zeigt den Graphen von \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) mit dem Definitionsbereich \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Eine Schülerin schreibt: „Weil \(f'(x)\) für jedes \(x\) negativ ist, ist \(f\) auf dem ganzen Definitionsbereich streng monoton fallend. Also gilt \(f(-1)>f(1)\).“

M1Graph von \(f(x)=\dfrac{1}{x}\)
(0,5 | 2)(−0,5 | −2) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y
Der Graph besteht aus zwei getrennten Ästen; an der Stelle \(x=0\) ist \(f\) nicht definiert.
  1. Berechnen Sie \(f'(0{,}5)\) und \(f'(-0{,}5)\).
  2. Zeigen Sie, dass \(f'(x)<0\) für alle \(x\in D\) gilt.
  3. Beurteilen Sie die Aussage der Schülerin.
Hinweis zu Aufgabe a)
Verwenden Sie \(f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\) aus Aufgabe 4.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f'(0{,}5)=-\dfrac{1}{0{,}25}=-4\) und \(f'(-0{,}5)=-\dfrac{1}{0{,}25}=-4\). Beide Werte sind gleich, weil im Nenner das Quadrat steht.

Hinweis zu Aufgabe b)
Untersuchen Sie das Vorzeichen von \(x^{2}\) für \(x\neq 0\).Ein Quadrat ist niemals negativ — und für \(x\neq 0\) auch nicht null.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für alle \(x\neq 0\) ist \(x^{2}>0\), also ist \(\dfrac{1}{x^{2}}>0\) und damit \(f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}<0\). Die Ableitung nimmt also auf ganz \(D\) ausschließlich negative Werte an.

Hinweis zu Aufgabe c)
Berechnen Sie \(f(-1)\) und \(f(1)\) und schauen Sie sich in M1 an, ob die beiden Punkte auf demselben Ast liegen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Rechnung stimmt, der Schluss ist falsch. Es gilt \(f(-1)=-1\) und \(f(1)=1\), also \(f(-1)<f(1)\) — genau umgekehrt zur Behauptung.

Der Fehler liegt im Definitionsbereich: \(D\) besteht aus zwei getrennten Intervallen, und der Monotoniesatz gilt immer nur auf einem zusammenhängenden Intervall. Richtig ist deshalb: \(f\) ist auf \((-\infty;0)\) streng monoton fallend und auf \((0;\infty)\) streng monoton fallend — aber nicht auf \(D\) insgesamt. Zwischen den beiden Ästen liegt die Definitionslücke, über die hinweg sich Funktionswerte nicht vergleichen lassen.