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Zusammenfassung

Alles Wichtige zu Einheitskreis, Bogenmaß, Sinusfunktion, Gleichungen und Modellen auf einer Seite.

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Einheitskreis und Bogenmaß

Sinus und Kosinus sind die Koordinaten eines Punktes auf dem Kreis mit Radius 1; Winkel misst man als Bogenlänge.

Einheitskreis

Winkel ab der positiven \( x \)-Achse gegen den Uhrzeigersinn; \( P \) liegt auf dem Kreis mit Radius 1.

\( P(\cos\alpha\,|\,\sin\alpha) \)

Vorzeichen

I: beide +, II: cos −, III: beide −, IV: sin −. Werte immer zwischen −1 und 1.

\( \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \)

Bogenmaß

Länge des Bogens auf dem Einheitskreis. Voller Kreis \( 2\pi \), halber Kreis \( \pi \).

\( 180^\circ\mathrel{\widehat{=}}\pi \)

Rechner

fx-CG50: SHIFT MENU (SET UP) → Angle → Rad. TI-Nspire: Dokumenteinstellungen → Winkel: Bogenmaß.

\( \sin(\tfrac{\pi}{2})=1 \)
Umrechnung Grad ↔ Bogenmaß
\( x=\dfrac{\pi}{180^\circ}\cdot\alpha \qquad \alpha=\dfrac{180^\circ}{\pi}\cdot x \)

Wichtige Werte: \( 30^\circ\mathrel{\widehat{=}}\tfrac{\pi}{6} \), \( 45^\circ\mathrel{\widehat{=}}\tfrac{\pi}{4} \), \( 60^\circ\mathrel{\widehat{=}}\tfrac{\pi}{3} \), \( 90^\circ\mathrel{\widehat{=}}\tfrac{\pi}{2} \).

Modus zuerst

Vor jeder Rechnung prüfen: \( \sin(\tfrac{\pi}{2}) \) muss 1 ergeben. Sonst steht der Rechner auf Grad.

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Sinus- und Kosinusfunktion

Die Höhe bzw. die x-Koordinate des Kreispunkts als Funktion des Bogens — und wie vier Parameter sie verformen.

Sinusfunktion

Periode \( 2\pi \), Amplitude 1, Nullstellen \( k\cdot\pi \), punktsymmetrisch zum Ursprung.

\( \sin(x+2\pi)=\sin(x) \)

Kosinusfunktion

Beginnt oben bei \( (0|1) \), achsensymmetrisch, Nullstellen \( \tfrac{\pi}{2}+k\pi \).

\( \cos(x)=\sin(x+\tfrac{\pi}{2}) \)

Parameter a und b

\( |a| \) ist die Amplitude, \( a<0 \) spiegelt. \( b \) staucht oder streckt in x-Richtung.

\( p=\tfrac{2\pi}{b} \)

Parameter c und d

\( c \) verschiebt nach rechts, \( d \) nach oben. \( y=d \) ist die Mittellinie.

\( y_{max}=d+|a| \)
Allgemeine Sinusfunktion
\( f(x)=a\cdot\sin\big(b\,(x-c)\big)+d \)

Aus dem Graphen in der Reihenfolge ablesen: \( d=\tfrac{\text{Max}+\text{Min}}{2} \), \( a=\tfrac{\text{Max}-\text{Min}}{2} \), \( b=\tfrac{2\pi}{p} \), \( c \) = steigender Durchgang durch die Mittellinie.

b ausklammern

\( \sin(2x-\pi)=\sin\big(2(x-\tfrac{\pi}{2})\big) \): Die Verschiebung ist \( \tfrac{\pi}{2} \), nicht \( \pi \).

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Gleichungen und Modelle

Lösungen am Einheitskreis, mit GTR und CAS — und periodische Vorgänge beschreiben und bewerten.

Am Einheitskreis

Rechner liefert \( x_1=\sin^{-1}(y_0) \). Zweite Lösung durch Spiegeln, weitere durch \( +k\cdot2\pi \).

\( x_2=\pi-x_1 \)

GTR (fx-CG50)

Menü Graph: Y1 und Y2, V-Window anpassen, F6 zeichnen, SHIFT F5 (G-Solv) → F5 (INTSECT).

Schnittpunkte

CAS (TI-Nspire)

Exakt: solve(sin(x)=0.5,x) mit Intervall nach dem senkrechten Strich; ohne Intervall steht n1 für eine beliebige ganze Zahl.

solve(…, x)

Modellieren

Max, Min, Periode und steigenden Mitteldurchgang ablesen; danach Abweichungen und Gültigkeitsbereich prüfen.

\( f(t)=a\sin(b(t-c))+d \)
Lösungen von \( \sin(x)=y_0 \), \( -1<y_0<1 \)
\( x=x_1+k\cdot2\pi \;\text{ oder }\; x=\pi-x_1+k\cdot2\pi \)

Beim Kosinus: \( x_2=2\pi-x_1 \). Für \( |y_0|>1 \) gibt es keine Lösung.

Regel 1 — Intervall beachten

Nur Lösungen angeben, die im gefragten Intervall liegen — negative Rechnerwerte vorher um \( 2\pi \) verschieben.

Regel 2 — Antwortsatz

Im Sachkontext mit Einheit antworten: „Nach etwa 1,96 Minuten ist die Gondel 25 m hoch.“

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