Exponentielles Wachstum
Linear kommt pro Schritt derselbe Betrag dazu, exponentiell wird pro Schritt mit demselben Faktor multipliziert.
Linear oder exponentiell?
Bei gleichen \( x \)-Schritten prüfen: gleiche Differenzen heißt linear, gleiche Quotienten heißt exponentiell. Immer alle Schritte prüfen, nicht nur den ersten.
\( \text{exponentiell: }\tfrac{y_2}{y_1}=b \)
Wachstumsfaktor \( b \)
Zunahme um \( p\,\% \): \( b=1+\tfrac{p}{100} \); Abnahme: \( b=1-\tfrac{p}{100} \). Aus \( +5\,\% \) wird \( 1{,}05 \), nicht \( 0{,}05 \).
Rekursive Darstellung
Jeder Wert entsteht aus dem vorigen — praktisch für Tabellen, aber für \( N(50) \) braucht man alle 49 Werte davor.
Verdopplungs- und Halbwertszeit
\( T_D \) bzw. \( T_H \) ist die Zeit, in der sich der Bestand verdoppelt bzw. halbiert — unabhängig vom Startwert.
\( N(t)=N_0\cdot\left(\tfrac12\right)^{t/T_H} \)
\( n \) Schritte heißt \( n \)-mal mit \( b \) multiplizieren. Beispiel: \( 2000\,€ \) bei \( 3\,\% \) Zinsen, nach 10 Jahren \( 2000\cdot1{,}03^{10}\approx2687{,}83\,€ \).
Prozente nicht addieren
Zweimal \( +10\,\% \) ergibt den Faktor \( 1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21 \), also \( +21\,\% \) — denn beim zweiten Mal wächst schon der vergrößerte Bestand.
Exponentialfunktionen
Der Funktionsterm beschreibt den Vorgang für jedes reelle \( x \) — Parameter legen Startwert, Faktor und Verschiebung fest.
Graph von \( f(x)=b^x \)
Für \( b>0,\ b\ne1 \): durch \( (0\,|\,1) \) und \( (1\,|\,b) \), steigend bei \( b>1 \), fallend bei \( 0<b<1 \), keine Nullstelle.
Parameter \( a \) und \( c \)
\( a \) streckt in \( y \)-Richtung (\( a<0 \): an der \( x \)-Achse gespiegelt), \( c \) verschiebt nach oben oder unten: Asymptote \( y=c \), \( f(0)=a+c \).
Gleichung aus zwei Punkten
Quotient der \( y \)-Werte, dann Wurzel nach dem \( x \)-Abstand ziehen; \( a \) durch Einsetzen. \( P(1\,|\,6),\,Q(3\,|\,24) \): \( b^2=4 \), \( b=2 \), \( a=3 \).
Exponentielle Regression
fx-CG50: MENU STAT, Werte in List 1 und List 2, dann F2 CALC → F3 REG → F6 ▷ → F2 EXP → F2 \( a\cdot b^x \). \( r^2 \) nahe 1 heißt: passt gut.
Der Abstand \( S-f(t) \) nimmt exponentiell ab. Rekursiv: \( f(t+1)=f(t)+k\cdot\big(S-f(t)\big) \) mit \( k=1-b \). Der Graph nähert sich \( y=S \), überschreitet die Grenze aber nie.
Asymptote ist keine Nullstelle
\( f(x)=2\cdot0{,}5^x \) kommt der \( x \)-Achse beliebig nahe, erreicht sie aber nie. Eine Nullstelle gibt es erst, wenn \( a \) und \( c \) verschiedene Vorzeichen haben.
Logarithmus und Gleichungen
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welcher Hochzahl muss man \( b \) potenzieren, um \( a \) zu erhalten?
Logarithmus
\( \log_b a \) ist die Hochzahl \( x \) mit \( b^x=a \) (für \( a,b>0,\ b\ne1 \)). Beispiel: \( \log_2 8=3 \), denn \( 2^3=8 \).
Verdopplungszeit aus \( b \)
Gesucht ist die Zeit, nach der der Faktor \( 2 \) erreicht ist. Bei \( b=1{,}05 \) ist \( T_D=\log_{1{,}05}2\approx14{,}2 \) Schritte.
Grafisch mit dem GTR
fx-CG50, Menü Graph: linke Seite als Y1, rechte als Y2, F6 zeichnen, SHIFT F5 (G-Solv) → F5 ISCT, \( x \)-Wert ablesen.
Mit dem CAS
TI-Nspire: solve löst exakt, ctrl + enter liefert den Näherungswert; log(8,2) ist \( \log_2 8 \). Beispiel: \( 3\cdot1{,}2^x=12 \) liefert \( x\approx7{,}60 \).
solve(3*1.2^x=12,x)Erst durch \( a \) teilen, dann logarithmieren: \( 500\cdot1{,}04^x=800 \Rightarrow 1{,}04^x=1{,}6 \Rightarrow x=\log_{1{,}04}1{,}6\approx11{,}98 \).
Regel 1 — Modell begründen
Linear, exponentiell oder begrenzt? Die Wahl gehört mit einem Satz begründet: „Die Quotienten sind alle etwa \( 1{,}2 \), also exponentiell.“
Regel 2 — Gerundet heißt ≈
Mit ungerundeten Werten weiterrechnen und erst am Ende runden: \( x\approx11{,}98 \), im Sachkontext mit Einheit und Antwortsatz.