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Übung AFB I

Faktor, Funktionswert, Logarithmus: zehn Handgriffe, mit denen du in jeder Klausur zu exponentiellem Wachstum sichere Punkte holst.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Faktor bilden, Werte einsetzen, ablesen, einfache Gleichungen lösen. Das sind die sicheren Punkte in jeder Arbeit — wer Wachstumsfaktor, Potenzgesetze und den Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens beherrscht, hat den Grundstock.

A1
Wachstumsfaktor zu einer Zunahme
AFB I

Die Mitgliederzahl eines Kletterhallen-Vereins wächst jedes Jahr um \(3{,}5\,\%\). Geben Sie den Wachstumsfaktor \(b\) an.

Zunahme um p %: \(b=1+\tfrac{p}{100}\). Setze ein: \(p=3{,}5\).
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\(b=1+0{,}035\) = 1,035
A2
Prozentuale Abnahme aus dem Faktor
AFB I

Der Akku einer Smartwatch hat nach jeder Stunde nur noch das \(0{,}92\)-Fache seiner Ladung. Ordnen Sie dem Faktor \(b=0{,}92\) die prozentuale Abnahme pro Stunde zu.

%
Abnahme um p %: \(b=1-\tfrac{p}{100}\), also \(p=(1-b)\cdot100\).
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\((1-0{,}92)\cdot100=0{,}08\cdot100\) = 8 % pro Stunde
A3
Wertetabelle aus der rekursiven Vorschrift
AFB I

Für einen Bestand gilt \(B(n+1)=1{,}5\cdot B(n)\) mit \(B(0)=80\). Erstellen Sie die Wertetabelle vollständig.

\(n\)0123
\(B(n)\)80120??
Rekursiv: Jeder Wert ist der vorige mal \(1{,}5\): \(B(2)=1{,}5\cdot B(1)\).
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\(1{,}5\cdot120=180\), \(1{,}5\cdot180=270\) → B(2) = 180, B(3) = 270
A4
Funktionswert einer Exponentialfunktion
AFB I

Berechnen Sie den Funktionswert von \(f(x)=500\cdot0{,}8^x\) an der Stelle \(x=3\).

Potenz vor Punkt: erst \(0{,}8^3\), dann mal \(500\) — nicht \((500\cdot0{,}8)^3\).
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\(500\cdot0{,}8^3=500\cdot0{,}512\) = 256
A5
Parameter am Graphen ablesen
AFB I

Der Graph gehört zu einer Funktion \(f(x)=a\cdot b^x\). Lesen Sie \(a\) und \(b\) am Graphen ab.

Ablesen: \(a=f(0)\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt, \(b=\tfrac{f(1)}{f(0)}\).
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\(f(0)=2\), \(f(1)=3\), \(b=\tfrac32\) → a = 2, b = 1,5
−2−11231234567xyf
Graph von \(f\) mit markierten Gitterpunkten
A6
Potenzen zusammenfassen
AFB I

Fassen Sie \(3\cdot1{,}2^x\cdot1{,}2^2\) zu einem Term der Form \(a\cdot1{,}2^x\) zusammen. Gesucht ist \(a\).

Potenzgesetz: \(1{,}2^x\cdot1{,}2^2=1{,}2^{x+2}\) — und \(1{,}2^2=1{,}44\) ist nur ein Zahlfaktor.
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\(3\cdot1{,}44\cdot1{,}2^x\) = 4,32 · 1,2ˣ, also a = 4,32
A7
Waagerechte Asymptote
AFB I

Nennen Sie die Gleichung der waagerechten Asymptote des Graphen von \(f(x)=2\cdot0{,}5^x+4\).

Asymptote: Für große \(x\) gilt \(0{,}5^x\to0\); übrig bleibt der Summand \(c\).
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\(2\cdot0{,}5^x\to0\) → Asymptote y = 4
A8
Exponentialgleichung ohne Rechner
AFB I

Lösen Sie die Gleichung \(3^x=\tfrac{1}{81}\) ohne Rechner.

Gleiche Basis: \(81=3^4\) und \(\tfrac{1}{3^4}=3^{-4}\). Dann Exponenten vergleichen.
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\(3^x=3^{-4}\) → x = −4
A9
Lösung als Logarithmus
AFB I

Stellen Sie die Lösung von \(5^x=40\) als Logarithmus dar. Welcher Wert ergibt sich, auf zwei Nachkommastellen gerundet?

Logarithmus: \(b^x=a\iff x=\log_b(a)\). Am Rechner die Logarithmus-Vorlage mit Basis nutzen.
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\(x=\log_5(40)\); Probe: \(5^{2{,}29}\approx39{,}9\) ≈ 2,29
A10
Bestand nach mehreren Verdopplungen
AFB I

Eine Hefekultur mit 300 Zellen verdoppelt sich alle 5 Stunden. Bestimmen Sie die Zellzahl nach 20 Stunden.

Zellen
Verdopplungszeit: \(N(t)=N_0\cdot2^{t/T_D}\) mit \(T_D=5\,\mathrm h\). Setze ein: \(t=20\).
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\(300\cdot2^{20/5}=300\cdot2^4=300\cdot16\) = 4800 Zellen