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AbituraufgabenWellengleichung und Zeiger

Zwei Aufgaben im Stil der schriftlichen Abiturprüfung — mit Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont zur Selbstkontrolle.

1

Eine Welle in Formelschreibweise

AFB II

Eine harmonische Welle auf einem langen Seil wird durch die Gleichung

\(y(x,t) = 4{,}0\ \mathrm{cm}\cdot\sin\!\left(50\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\cdot t - 2{,}0\ \tfrac{1}{\mathrm{m}}\cdot x\right)\)

beschrieben. Sie läuft in einem homogenen Medium, sodass ihre Amplitude nicht abnimmt.

  1. Geben Sie Amplitude \(\hat{y}\), Kreisfrequenz \(\omega\) und Wellenzahl \(k\) an und begründen Sie, in welche Richtung die Welle läuft.
  2. Berechnen Sie Schwingungsdauer \(T\), Frequenz \(f\), Wellenlänge \(\lambda\) und Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\).
  3. Zwei Seilpunkte haben den Abstand \(\Delta x = 0{,}50\ \mathrm{m}\). Berechnen Sie ihre Phasendifferenz \(\Delta\varphi\) und bestimmen Sie den kleinsten Abstand, für den zwei Punkte gegenphasig schwingen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Vergleiche die gegebene Gleichung Term für Term mit der allgemeinen Form \(y(x,t)=\hat{y}\sin(\omega t - kx)\). Für die Richtung: Ein Wellenberg wandert dorthin, wo das Argument der Sinusfunktion zu einer späteren Zeit denselben Wert hat.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Vergleich mit \(y(x,t)=\hat{y}\sin(\omega t - kx)\):

\(\hat{y} = 4{,}0\ \mathrm{cm} = 0{,}040\ \mathrm{m}\); \(\omega = 50\ \mathrm{\frac{1}{s}}\); \(k = 2{,}0\ \mathrm{\frac{1}{m}}\).

Richtung: Im Argument steht \(\omega t - kx\), also ein Minuszeichen vor \(kx\). Damit ein bestimmter Schwingungszustand (z. B. ein Wellenberg) erhalten bleibt, muss das Argument konstant bleiben. Wächst \(t\), so muss deshalb auch \(x\) wachsen. Der Wellenberg wandert also in positive \(x\)-Richtung. (Bei \(\omega t + kx\) liefe die Welle in negative \(x\)-Richtung.)

Hinweis zu Aufgabe b)
\(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\) und \(k = \dfrac{2\pi}{\lambda}\) — beide Gleichungen nach der gesuchten Größe umstellen. Für \(c\) genügt anschließend \(c=\lambda f\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(\omega = \dfrac{2\pi}{T} \Rightarrow T = \dfrac{2\pi}{\omega}\).
\(T = \dfrac{2\pi}{50\ \mathrm{\frac{1}{s}}} = 0{,}1257\ \mathrm{s} \approx 0{,}13\ \mathrm{s}\).

\(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{50}{2\pi}\ \mathrm{Hz} \approx 7{,}96\ \mathrm{Hz}\).

Ansatz: \(k = \dfrac{2\pi}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \dfrac{2\pi}{k}\).
\(\lambda = \dfrac{2\pi}{2{,}0\ \mathrm{\frac{1}{m}}} = 3{,}14\ \mathrm{m}\).

\(c = \lambda f = 3{,}14\ \mathrm{m}\cdot 7{,}96\ \mathrm{Hz} = 25\ \mathrm{\frac{m}{s}}\).

Kontrolle: \(c = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{50\ \mathrm{\frac{1}{s}}}{2{,}0\ \mathrm{\frac{1}{m}}} = 25\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) — dasselbe Ergebnis. Diese kurze Form folgt direkt aus \(c=\lambda f = \dfrac{2\pi}{k}\cdot\dfrac{\omega}{2\pi}\).

Hinweis zu Aufgabe c)
\(\Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot\Delta x = k\cdot\Delta x\). Gegenphasig heißt \(\Delta\varphi = \pi\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: \(\Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot\Delta x = k\cdot\Delta x\).
\(\Delta\varphi = 2{,}0\ \mathrm{\frac{1}{m}} \cdot 0{,}50\ \mathrm{m} = 1{,}0\) (im Bogenmaß), das entspricht \(1{,}0\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ\).

Die beiden Punkte schwingen also weder gleich- noch gegenphasig, sondern um knapp ein Sechstel einer vollen Periode gegeneinander versetzt.

Gegenphasig bedeutet \(\Delta\varphi = \pi\):
\(\Delta x = \dfrac{\Delta\varphi}{k} = \dfrac{\pi}{2{,}0\ \mathrm{\frac{1}{m}}} = 1{,}57\ \mathrm{m}\).

Das ist genau \(\dfrac{\lambda}{2}\) — wie erwartet, denn eine halbe Wellenlänge Abstand entspricht immer einer halben Periode Phasenverschiebung.

2

Phasendifferenz vor einem Lautsprecher

AFB III

Ein Lautsprecher gibt einen reinen Ton der Frequenz \(f = 1700\ \mathrm{Hz}\) ab. Zwei gleichartige Mikrofone stehen in gerader Linie vor dem Lautsprecher; das zweite ist \(\Delta x = 0{,}25\ \mathrm{m}\) weiter entfernt als das erste. Beide Signale werden auf ein Zweikanal-Oszilloskop gegeben (Material M1). Die Schallgeschwindigkeit beträgt \(c = 340\ \mathrm{\frac{m}{s}}\).

M1Messaufbau und Oszilloskopbild
Lautsprecher M₁ M₂ Δx = 0,25 m M₁ M₂ Zweikanal-Oszilloskop

Beide Mikrofone stehen auf einer Geraden vor dem Lautsprecher. Die Luft gilt als homogen; Reflexionen an den Wänden werden vernachlässigt.

  1. Berechnen Sie die Wellenlänge und die Wellenzahl \(k\) des Tons.
  2. Berechnen Sie die Phasendifferenz der beiden Mikrofonsignale und erklären Sie, warum das Oszilloskopbild in M1 mit Ihrem Ergebnis vereinbar ist, obwohl der berechnete Wert größer als \(2\pi\) ist.
  3. Entwickeln Sie ein Verfahren, mit dem sich aus diesem Aufbau die Schallgeschwindigkeit in Luft bestimmen lässt, und beurteilen Sie, wie sich die Messunsicherheit verringern lässt.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(\lambda = \dfrac{c}{f}\), anschließend \(k = \dfrac{2\pi}{\lambda}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: \(c = \lambda f \Rightarrow \lambda = \dfrac{c}{f}\).
\(\lambda = \dfrac{340\ \mathrm{\frac{m}{s}}}{1700\ \mathrm{Hz}} = 0{,}20\ \mathrm{m}\).

\(k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{0{,}20\ \mathrm{m}} = 31{,}4\ \mathrm{\frac{1}{m}}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Rechne mit \(\Delta\varphi = k\cdot\Delta x\) und drücke das Ergebnis als Vielfaches von \(\pi\) aus. Überlege dann, welche Phasenverschiebungen am Oszilloskop überhaupt unterscheidbar sind.„Erklären“ verlangt hier den Bezug auf die Periodizität der Sinusfunktion.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(\Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot\Delta x\).
\(\Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{0{,}20\ \mathrm{m}}\cdot 0{,}25\ \mathrm{m} = 2{,}5\pi \approx 7{,}85\).

Der Abstand entspricht \(\dfrac{\Delta x}{\lambda} = 1{,}25\) Wellenlängen, also einer vollen Wellenlänge plus einer Viertelwellenlänge.

Erklärung: Die Sinusfunktion ist \(2\pi\)-periodisch. Eine Phasendifferenz von \(2\pi\) — also von genau einer vollen Wellenlänge — liefert exakt dasselbe Signal. Am Oszilloskop ist deshalb nur der „Rest“ nach Abzug ganzer Vielfacher von \(2\pi\) sichtbar:
\(2{,}5\pi - 2\pi = 0{,}5\pi\), das sind \(90^\circ\) bzw. \(\dfrac{T}{4}\).

Genau das zeigt M1: Die beiden Kurven sind um eine Viertelperiode gegeneinander verschoben. Das Oszilloskop allein kann also nicht unterscheiden, ob die Mikrofone \(0{,}05\ \mathrm{m}\), \(0{,}25\ \mathrm{m}\) oder \(0{,}45\ \mathrm{m}\) auseinanderstehen — die Zusatzinformation über den tatsächlichen Abstand muss aus der Messung mit dem Maßband kommen.

Hinweis zu Aufgabe c)
Umgekehrt gedacht: Wenn du \(\lambda\) misst und \(f\) am Funktionsgenerator abliest, kannst du \(c\) berechnen. Wie erkennst du am Oszilloskop, dass du das Mikrofon um genau eine Wellenlänge verschoben hast?
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Verfahren: Beide Mikrofone werden zunächst so aufgestellt, dass die Kurven auf dem Oszilloskop deckungsgleich sind (Phasendifferenz null). Dann wird Mikrofon M₂ auf der Verbindungslinie langsam vom Lautsprecher weggeschoben. Die Kurven laufen auseinander und sind erst dann wieder deckungsgleich, wenn M₂ um genau eine Wellenlänge verschoben wurde. Die Verschiebestrecke wird mit einem Maßband gemessen und liefert \(\lambda\). Mit der am Funktionsgenerator eingestellten Frequenz \(f\) folgt
\(c = \lambda\cdot f\).

Beurteilung der Unsicherheit: Die Ablesung des Deckungspunktes gelingt auf etwa \(\pm 3\ \mathrm{mm}\) genau. Bei nur einer Wellenlänge von 20 cm entspricht das bereits einer relativen Unsicherheit von rund 1,5 %.

Verbessern lässt sich das auf zwei Wegen. Erstens: Man verschiebt M₂ nicht um eine, sondern um zehn Wellenlängen, bis die Kurven zum zehnten Mal deckungsgleich sind. Der absolute Ablesefehler bleibt derselbe, verteilt sich aber auf die zehnfache Strecke — die relative Unsicherheit sinkt auf etwa 0,15 %. Zweitens: Man wählt eine höhere Frequenz, weil dann mehr Wellenlängen auf die verfügbare Schiene passen. Zu hoch darf man aber nicht gehen, da die Schallschwächung in Luft mit der Frequenz zunimmt und das Signal-Rausch-Verhältnis schlechter wird.

Zusätzlich sollte die Messung mehrfach und bei bekannter Raumtemperatur durchgeführt werden, da die Schallgeschwindigkeit temperaturabhängig ist; Reflexionen an Wänden und Tischplatte lassen sich durch schallschluckende Unterlagen verringern.