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Wellengleichung und Zeiger

Ort und Zeit in einer Formel: Jeder Punkt schwingt harmonisch, nur zeitlich versetzt — der Zeiger liefert den Phasenunterschied.

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Erklärung — Wellengleichung und Phase

Die Wellengleichung

Jeder Punkt der Welle schwingt harmonisch wie in 4.1.2 — nur später, je weiter er vom Erreger entfernt ist.

Herleitung:

  • Erreger bei x = 0:\(y(t)=\hat{y}\sin(\omega t)\) mit \(\omega=\tfrac{2\pi}{T}\) (4.1.2)
\(y=\hat{y}\sin\!\big(\omega(t-\tfrac{x}{c})\big)\)
| ausmultiplizieren
Bis zum Ort \(x\) braucht die Welle die Zeit \(\tfrac{x}{c}\).
\(y=\hat{y}\sin\!\big(\omega t-\tfrac{\omega}{c}\,x\big)\)
| \(k=\tfrac{2\pi}{\lambda}\)
Die Klammer ausmultipliziert.
\(y(x,t)=\hat{y}\cdot\sin(\omega t-k\,x)\)
Ergebnis
Denn \(\tfrac{\omega}{c}=\tfrac{2\pi}{T\,c}=\tfrac{2\pi}{\lambda}=k\) (5.1.1).
  • Wellenzahl:\(k=\tfrac{2\pi}{\lambda}\) zählt die Phase pro Meter, so wie \(\omega\) die Phase pro Sekunde.
Wellengleichung

\(y(x,t)=\hat{y}\cdot\sin(\omega t-kx)\)

\(\omega=\tfrac{2\pi}{T}\): Kreisfrequenz, \(k=\tfrac{2\pi}{\lambda}\): Wellenzahl

Phasendifferenz zweier Punkte

Zwei Punkte im Abstand \(\Delta x\) unterscheiden sich in der Phase um \(k\cdot\Delta x\) — die Phasendifferenz:

Phasendifferenz

\(\Delta\varphi=\dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot\Delta x\)

\(\Delta x=\lambda\Rightarrow\Delta\varphi=2\pi\) (gleichphasig); \(\Delta x=\tfrac{\lambda}{2}\Rightarrow\Delta\varphi=\pi\) (gegenphasig)

Phasendifferenz zweier Punkte

Die Welle hat \(\lambda=4\,\mathrm m\). Die beiden Zeiger zeigen die Phasenlage von A und B — ihr Winkelunterschied ist die Phasendifferenz \(\Delta\varphi\).

A B Zeiger A Zeiger B
Zwei Punkte im Abstand Δx schwingen mit der Phasendifferenz \(\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x\). Punkte im Abstand einer ganzen Wellenlänge (Δx = λ) schwingen gleichphasig (Δφ = 360°), im Abstand λ/2 gegenphasig.

Phasendifferenz berechnen

Eine Welle hat \(\lambda=4{,}0\,\mathrm m\). Welche Phasendifferenz besteht zwischen zwei Punkten im Abstand \(\Delta x=1{,}0\,\mathrm m\)?

Formel\(\Delta\varphi=\dfrac{2\pi}{\lambda}\Delta x\)
Einsetzen\(\Delta\varphi=\dfrac{2\pi}{4{,}0}\cdot1{,}0=\dfrac{\pi}{2}\)
Ergebnis\(\Delta\varphi=\tfrac{\pi}{2}=90^\circ\) (ein Viertel einer Wellenlänge).
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Allgemeine Hinweise

Phasenregel

\(\Delta\varphi=2\pi\,\Delta x/\lambda\).

Bogenmaß

\(2\pi\) entspricht 360° — Umrechnung beachten.

Gleich/gegen

Δx = λ gleichphasig, Δx = λ/2 gegenphasig.

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