Die A-Saite einer Gitarre
AFB IIDie A-Saite einer Konzertgitarre ist zwischen Sattel und Steg über die Länge \(L = 0{,}65\ \mathrm{m}\) eingespannt. Frei angezupft klingt sie mit ihrer Grundfrequenz \(f_1 = 110\ \mathrm{Hz}\). Auf der Saite bildet sich dabei eine stehende Welle aus (Material M1).
Die gestrichelte Kurve zeigt die Lage der Saite eine halbe Periode später. An den Einspannstellen liegt immer ein Knoten.
- Beschreiben Sie, wie die stehende Welle auf der Saite zustande kommt, und begründen Sie, warum an beiden Einspannstellen zwingend ein Knoten liegen muss.
- Berechnen Sie die Wellenlänge der Grundschwingung, die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) auf der Saite sowie Wellenlänge und Frequenz der 2. Oberschwingung.
- Beim Greifen im fünften Bund verkürzt sich die schwingende Länge auf \(L' = 0{,}487\ \mathrm{m}\). Berechnen Sie die neue Grundfrequenz und erklären Sie, warum die Ausbreitungsgeschwindigkeit dabei unverändert bleibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Beim Anzupfen läuft eine Welle über die Saite und wird an der Einspannstelle reflektiert. Die reflektierte Welle überlagert sich mit der weiterhin hinlaufenden Welle. Da beide dieselbe Frequenz und Amplitude haben, aber in entgegengesetzte Richtungen laufen, entsteht durch Superposition ein Schwingungsmuster, das nicht mehr wandert: die stehende Welle. An festen Stellen — den Knoten — heben sich die Auslenkungen zu jedem Zeitpunkt auf; dazwischen liegen die Bäuche mit maximaler Auslenkung.
An den Einspannstellen ist die Saite festgeklemmt und kann sich dort überhaupt nicht bewegen. Ihre Auslenkung ist dort zu jeder Zeit null — genau das ist die Definition eines Knotens. Deshalb muss an beiden Enden ein Knoten liegen. Nur solche Wellenlängen sind möglich, bei denen diese Bedingung an beiden Enden gleichzeitig erfüllt ist; daraus folgt \(\lambda_n = \dfrac{2L}{n}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Grundschwingung (\(n = 1\)):
\(\lambda_1 = 2L = 2\cdot 0{,}65\ \mathrm{m} = 1{,}30\ \mathrm{m}\).
\(c = \lambda_1 f_1 = 1{,}30\ \mathrm{m}\cdot 110\ \mathrm{Hz} = 143\ \mathrm{\frac{m}{s}}\).
2. Oberschwingung (\(n = 3\)):
\(\lambda_3 = \dfrac{2L}{3} = \dfrac{1{,}30\ \mathrm{m}}{3} = 0{,}433\ \mathrm{m}\).
\(f_3 = \dfrac{c}{\lambda_3} = \dfrac{143\ \mathrm{\frac{m}{s}}}{0{,}433\ \mathrm{m}} = 330\ \mathrm{Hz}\).
Das ist genau \(3\cdot f_1\) — die Eigenfrequenzen sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz: \(\lambda_1' = 2L' = 2\cdot 0{,}487\ \mathrm{m} = 0{,}974\ \mathrm{m}\).
\(f_1' = \dfrac{c}{\lambda_1'} = \dfrac{143\ \mathrm{\frac{m}{s}}}{0{,}974\ \mathrm{m}} \approx 147\ \mathrm{Hz}\).
Die Saite klingt also um etwa ein Drittel höher; das Verhältnis \(\dfrac{f_1'}{f_1} = \dfrac{147}{110} \approx 1{,}33\) entspricht dem musikalischen Intervall einer Quarte — genau dem, was der fünfte Bund liefern soll.
Die Geschwindigkeit \(c\) bleibt unverändert, weil sie eine Eigenschaft der Saite ist: Sie hängt von der Spannkraft und von der Masse je Längeneinheit ab. Beim Greifen wird nur festgelegt, welcher Abschnitt der Saite frei schwingen darf; die Spannung und das Material ändern sich dabei nicht. Deshalb ändert sich allein die mögliche Wellenlänge, und über \(f = \dfrac{c}{\lambda}\) steigt die Frequenz. Anders ist es beim Stimmen: Dort wird die Spannkraft verändert, und mit ihr auch \(c\).
Der Melde-Versuch im Praktikum
AFB IIIEine \(L = 1{,}20\ \mathrm{m}\) lange Schnur ist an beiden Enden fest eingespannt. Ein Schwinger regt sie zu Schwingungen an; seine Frequenz wird langsam von 0 Hz an erhöht. Nur bei bestimmten Frequenzen entsteht ein deutlich sichtbares, stehendes Muster. Die dabei abgelesenen Frequenzen und die Zahl der beobachteten Bäuche sind in Material M1 zusammengestellt.
| Anzahl der Bäuche \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f_n\) in Hz | 20,3 | 39,8 | 60,4 | 79,6 | 100,3 |
Die Frequenz lässt sich am Generator auf ±0,2 Hz genau einstellen.
- Weisen Sie nach, dass die gemessenen Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind, und bestimmen Sie daraus die Ausbreitungsgeschwindigkeit auf der Schnur.
- Berechnen Sie die Wellenlänge der Eigenschwingung mit vier Bäuchen und geben Sie an, an welchen Stellen der Schnur die Knoten liegen.
- Ein Kursmitglied stellt \(50\ \mathrm{Hz}\) ein und wundert sich, dass kein stehendes Muster entsteht: „50 Hz liegt doch zwischen 40 und 60 Hz — irgendetwas müsste die Schnur doch machen.“ Beurteilen Sie diese Erwartung und entwickeln Sie ein Auswerteverfahren, mit dem sich \(c\) genauer bestimmen lässt als aus einem einzelnen Messwert.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Quotienten \(\dfrac{f_n}{n}\):
\(\dfrac{20{,}3}{1} = 20{,}3\); \(\dfrac{39{,}8}{2} = 19{,}9\); \(\dfrac{60{,}4}{3} = 20{,}1\); \(\dfrac{79{,}6}{4} = 19{,}9\); \(\dfrac{100{,}3}{5} = 20{,}1\) (alle in Hz).
Alle fünf Quotienten stimmen bis auf höchstens \(0{,}4\ \mathrm{Hz}\) überein; das entspricht 2 % und liegt im Rahmen der Ablesegenauigkeit. Es gilt also \(f_n = n\cdot f_1\) mit \(f_1 \approx 20{,}1\ \mathrm{Hz}\) als Mittelwert.
Ausbreitungsgeschwindigkeit über die Grundschwingung:
\(\lambda_1 = 2L = 2{,}40\ \mathrm{m}\);
\(c = \lambda_1 f_1 = 2{,}40\ \mathrm{m}\cdot 20{,}1\ \mathrm{Hz} \approx 48{,}2\ \mathrm{\frac{m}{s}}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(\lambda_n = \dfrac{2L}{n}\) mit \(n = 4\).
\(\lambda_4 = \dfrac{2\cdot 1{,}20\ \mathrm{m}}{4} = 0{,}60\ \mathrm{m}\).
Kontrolle: \(c = \lambda_4 f_4 = 0{,}60\ \mathrm{m}\cdot 79{,}6\ \mathrm{Hz} = 47{,}8\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) — in guter Übereinstimmung mit a).
Bei vier Bäuchen liegen fünf Knoten in gleichen Abständen von \(\dfrac{\lambda_4}{2} = 0{,}30\ \mathrm{m}\), also bei
\(x = 0\ \mathrm{m};\ 0{,}30\ \mathrm{m};\ 0{,}60\ \mathrm{m};\ 0{,}90\ \mathrm{m};\ 1{,}20\ \mathrm{m}\) — die beiden Einspannstellen eingeschlossen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Beurteilung der Erwartung. Die Erwartung ist falsch, und zwar aus einem grundsätzlichen Grund. Eine stehende Welle kann sich nur ausbilden, wenn an beiden festen Enden ein Knoten liegt. Diese Randbedingung ist nur für die Wellenlängen \(\lambda_n = \dfrac{2L}{n}\) mit ganzzahligem \(n\) erfüllt und damit nur für die Frequenzen \(f_n = n\cdot f_1\).
Bei 50 Hz wäre \(\dfrac{f}{f_1} = \dfrac{50}{20{,}1} \approx 2{,}5\) — es müsste eine halbe Anzahl von Bäuchen entstehen, was geometrisch unmöglich ist. Die hin- und die rücklaufende Welle treffen dann bei jedem Umlauf mit wechselnder Phasenlage aufeinander; die Anregungen aus aufeinanderfolgenden Umläufen heben sich im Mittel auf. Die Schnur bewegt sich zwar leicht, es entsteht aber kein stabiles Muster. Der Zwischenwert wird also nicht „ein bisschen“ angeregt — die möglichen Zustände sind diskret.
Genaueres Auswerteverfahren. Man trägt die gemessenen Frequenzen \(f_n\) über der Anzahl der Bäuche \(n\) in ein Diagramm ein. Nach \(f_n = n\cdot\dfrac{c}{2L}\) muss sich eine Ursprungsgerade ergeben. Ihre Steigung ist \(m = \dfrac{c}{2L}\), woraus
\(c = 2L\cdot m\)
folgt. Der Vorteil: In die Steigung gehen alle fünf Messwerte gleichzeitig ein, sodass sich zufällige Ablesefehler weitgehend herausmitteln. Außerdem prüft die Gerade zugleich die Theorie — eine gekrümmte Punktfolge oder ein deutlicher Achsenabschnitt würde einen systematischen Fehler anzeigen, etwa eine nicht ganz feste Einspannung. Noch genauer wird es, wenn man die Messreihe bis zu höheren Ordnungen (\(n = 8\) oder \(n = 10\)) fortsetzt, da sich die Knoten dort schärfer lokalisieren lassen.