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Erklärung — Knoten, Bäuche und Eigenschwingungen
Knoten und Bäuche
Eine Welle läuft auf ein festes Ende zu, wird dort reflektiert (5.1.3) und überlagert sich mit der hinlaufenden Welle (5.2.1). Es entsteht eine stehende Welle.
- Knoten:Orte, an denen sich die beiden Wellen ständig auslöschen — die Saite ruht dort dauerhaft.
- Bäuche:Orte größter Schwingung zwischen den Knoten.
- Kein Energietransport:Anders als die laufende Welle transportiert die stehende Welle keine Energie weiter — sie pendelt nur am Ort.
Eingespannte Saite
Herleitung:
- Enden:an den eingespannten Enden kann die Saite nicht schwingen: dort liegen immer Knoten.
- Knotenabstand:benachbarte Knoten liegen \(\tfrac{\lambda}{2}\) auseinander.
\(L=n\cdot\dfrac{\lambda}{2}\)
| · 2, : \(n\)
Auf die Länge \(L\) müssen \(n\) halbe Wellen passen.
\(\lambda_n=\dfrac{2\,L}{n}\)
Ergebnis
Nur diese Wellenlängen sind möglich (\(n=1,2,3,\dots\)).
- Eigenschwingungen:\(n\) zählt die Bäuche; \(n=1\) heißt Grundschwingung, \(n=2,3,\dots\) Oberschwingungen (Harmonische).
Mögliche Wellenlängen
\(\lambda_n=\dfrac{2L}{n}\qquad(n=1,2,3,\dots)\)
n = 1: Grundschwingung; n = 2, 3, …: Oberschwingungen (n = Anzahl der Bäuche)
Die Saite ist an beiden Enden fest eingespannt — es passen nur Wellenlängen \(\lambda_n=2L/n\). Die schwarzen Punkte sind Knoten (immer in Ruhe).
An den festen Enden und an den Knoten ruht die Saite immer, dazwischen schwingen die Bäuche mit größter Amplitude. Auf die Länge L passen nur bestimmte Wellenlängen: \(\lambda_n=\tfrac{2L}{n}\).
Wellenlängen einer Saite
Eine Gitarrensaite ist \(L=0{,}60\,\mathrm m\) lang. Welche Wellenlänge hat die Grundschwingung (n=1), welche die 2. Harmonische?
Formel\(\lambda_n=\dfrac{2L}{n}\)
Grundschwingung\(\lambda_1=\dfrac{2\cdot0{,}60}{1}=1{,}2\,\mathrm m\)
2. Harmonische\(\lambda_2=\dfrac{2\cdot0{,}60}{2}=0{,}60\,\mathrm m\)
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Allgemeine Hinweise
Enden = Knoten
Bei fester Einspannung sind die Enden immer Knoten.
2L
In \(\lambda_n=2L/n\) steht die doppelte Länge.
Kein Transport
Stehende Wellen transportieren keine Energie.